Secuencia espectral de Atiyah-Hirzebruch

En matemáticas , la secuencia espectral de Atiyah–Hirzebruch es una secuencia espectral para calcular la cohomología generalizada , introducida por Michael Atiyah y Friedrich Hirzebruch  (1961) en el caso especial de la teoría K topológica . Para un complejo CW y una teoría de cohomología generalizada , relaciona los grupos de cohomología generalizada ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E^{\bullet }}$

${\displaystyle E^{i}(X)}$

con grupos de cohomología 'ordinarios' con coeficientes en la cohomología generalizada de un punto. Más precisamente, el término de la secuencia espectral es , y la secuencia espectral converge condicionalmente a . ${\displaystyle H^{j}}$ ${\displaystyle E_{2}}$ ${\displaystyle H^{p}(X;E^{q}(pt))}$ ${\displaystyle E^{p+q}(X)}$

Atiyah y Hirzebruch señalaron una generalización de su secuencia espectral que también generaliza la secuencia espectral de Serre y la reduce a ella en el caso en que . Puede derivarse de una pareja exacta que da la página de la secuencia espectral de Serre, excepto con los grupos de cohomología ordinarios reemplazados por . En detalle, supongamos que es el espacio total de una fibración de Serre con fibra y espacio base . La filtración de por sus -esqueletos da lugar a una filtración de . Existe una secuencia espectral correspondiente con término ${\displaystyle E=H_{\text{Sing}}}$ ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E_{2}}$

${\displaystyle H^{p}(B;E^{q}(F))}$

y convergiendo al anillo graduado asociado del anillo filtrado

${\displaystyle E_{\infty }^{p,q}\Rightarrow E^{p+q}(X)}$.

Esta es la secuencia espectral de Atiyah-Hirzebruch en el caso donde la fibra es un punto. ${\displaystyle F}$

Ejemplos

Teoría K topológica

Por ejemplo, la teoría topológica ${\displaystyle K}$ compleja de un punto es

${\displaystyle KU(*)=\mathbb {Z} [x,x^{-1}]}$¿Dónde está en grado? ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 2}$

Por definición, los términos en la página de un complejo CW finito se ven así ${\displaystyle E_{2}}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle E_{2}^{p,q}(X)=H^{p}(X;KU^{q}(pt))}$

Dado que la teoría de un punto es ${\displaystyle K}$

${\displaystyle K^{q}(pt)={\begin{cases}\mathbb {Z} &{\text{if q is even}}\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

Siempre podemos garantizar que

${\displaystyle E_{2}^{p,2k+1}(X)=0}$

Esto implica que la secuencia espectral colapsa en para muchos espacios. Esto se puede comprobar en cada , curvas algebraicas o espacios con cohomología distinta de cero en grados pares. Por lo tanto, colapsa para todas las intersecciones completas suaves de dimensión par (complejas) en . ${\displaystyle E_{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$

Filo cotangente en un círculo

Por ejemplo, considere el fibrado cotangente de . Este es un fibrado con fibra, por lo que la página - se lee como ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle E_{2}}$

${\displaystyle {\begin{array}{c|cc}\vdots &\vdots &\vdots \\2&H^{0}(S^{1};\mathbb {Q} )&H^{1}(S^{1};\mathbb {Q} )\\1&0&0\\0&H^{0}(S^{1};\mathbb {Q} )&H^{1}(S^{1};\mathbb {Q} )\\-1&0&0\\-2&H^{0}(S^{1};\mathbb {Q} )&H^{1}(S^{1};\mathbb {Q} )\\\vdots &\vdots &\vdots \\\hline &0&1\end{array}}}$

Diferenciales

Las diferenciales de dimensión impar de la AHSS para la teoría K topológica compleja se pueden calcular fácilmente, ya que es el cuadrado de Steenrod donde lo tomamos como la composición ${\displaystyle d_{3}}$ ${\displaystyle Sq^{3}}$

${\displaystyle \beta \circ Sq^{2}\circ r}$

donde es la reducción mod y es el homomorfismo de Bockstein (morfismo de conexión) de la secuencia exacta corta ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /2\to 0}$

Intersección completa 3 veces

Consideremos una intersección completa suave de 3 pliegues (como una intersección completa de Calabi-Yau de 3 pliegues). Si observamos la página de la secuencia espectral ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E_{2}}$

${\displaystyle {\begin{array}{c|ccccc}\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\2&H^{0}(X;\mathbb {Z} )&0&H^{2}(X;\mathbb {Z} )&H^{3}(X;\mathbb {Z} )&H^{4}(X;\mathbb {Z} )&0&H^{6}(X;\mathbb {Z} )\\1&0&0&0&0&0&0&0\\0&H^{0}(X;\mathbb {Z} )&0&H^{2}(X;\mathbb {Z} )&H^{3}(X;\mathbb {Z} )&H^{4}(X;\mathbb {Z} )&0&H^{6}(X;\mathbb {Z} )\\-1&0&0&0&0&0&0&0\\-2&H^{0}(X;\mathbb {Z} )&0&H^{2}(X;\mathbb {Z} )&H^{3}(X;\mathbb {Z} )&H^{4}(X;\mathbb {Z} )&0&H^{6}(X;\mathbb {Z} )\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\\hline &0&1&2&3&4&5&6\end{array}}}$

Podemos ver inmediatamente que los únicos diferenciales potencialmente no triviales son

${\displaystyle {\begin{aligned}d_{3}:E_{3}^{0,2k}\to E_{3}^{3,2k-2}\\d_{3}:E_{3}^{3,2k}\to E_{3}^{6,2k-2}\end{aligned}}}$

Resulta que estas diferenciales se anulan en ambos casos, por lo tanto . En el primer caso, dado que es trivial porque tenemos el primer conjunto de diferenciales que son cero. El segundo conjunto es trivial porque envía la identificación muestra que la diferencial es trivial. ${\displaystyle E_{2}=E_{\infty }}$ ${\displaystyle Sq^{k}:H^{i}(X;\mathbb {Z} /2)\to H^{k+i}(X;\mathbb {Z} /2)}$ ${\displaystyle k>i}$ ${\displaystyle Sq^{2}}$ ${\displaystyle H^{3}(X;\mathbb {Z} /2)\to H^{5}(X)=0}$ ${\displaystyle Sq^{3}=\beta \circ Sq^{2}\circ r}$

Teoría K retorcida

La secuencia espectral de Atiyah–Hirzebruch también se puede utilizar para calcular grupos de teoría K torcida. En resumen, la teoría K torcida es la compleción de grupo de las clases de isomorfismo de los fibrados vectoriales definidos mediante la unión de datos donde ${\displaystyle (U_{ij},g_{ij})}$

${\displaystyle g_{ij}g_{jk}g_{ki}=\lambda _{ijk}}$

para alguna clase de cohomología . Entonces, la secuencia espectral se lee como ${\displaystyle \lambda \in H^{3}(X,\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle E_{2}^{p,q}=H^{p}(X;KU^{q}(*))\Rightarrow KU_{\lambda }^{p+q}(X)}$

pero con diferentes diferenciales. Por ejemplo,

${\displaystyle E_{3}^{p,q}=E_{2}^{p,q}={\begin{array}{c|cccc}\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\2&H^{0}(S^{3};\mathbb {Z} )&0&0&H^{3}(S^{3};\mathbb {Z} )\\1&0&0&0&0\\0&H^{0}(S^{3};\mathbb {Z} )&0&0&H^{3}(S^{3};\mathbb {Z} )\\-1&0&0&0&0\\-2&H^{0}(S^{3};\mathbb {Z} )&0&0&H^{3}(S^{3};\mathbb {Z} )\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\\hline &0&1&2&3\end{array}}}$

En la página -el diferencial es ${\displaystyle E_{3}}$

${\displaystyle d_{3}=Sq^{3}+\lambda }$

Los productos Massey dan diferenciales de dimensión impar más altos para la teoría K retorcida tensada por . Por lo tanto ${\displaystyle d_{2k+1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}d_{5}&=\{\lambda ,\lambda ,-\}\\d_{7}&=\{\lambda ,\lambda ,\lambda ,-\}\end{aligned}}}$

Nótese que si el espacio subyacente es formal , es decir, su tipo de homotopía racional está determinado por su cohomología racional, por lo tanto tiene productos Massey que se desvanecen, entonces las diferenciales de dimensión impar son cero. Pierre Deligne , Phillip Griffiths , John Morgan y Dennis Sullivan demostraron esto para todas las variedades de Kähler compactas , por lo tanto en este caso. En particular, esto incluye todas las variedades proyectivas suaves. ${\displaystyle E_{\infty }=E_{4}}$

Teoría K retorcida de 3 esferas

La teoría K retorcida para se puede calcular fácilmente. En primer lugar, dado que y , tenemos que el diferencial en la página es simplemente cupping con la clase dada por . Esto da el cálculo ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle Sq^{3}=\beta \circ Sq^{2}\circ r}$ ${\displaystyle H^{2}(S^{3})=0}$ ${\displaystyle E_{3}}$ ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle KU_{\lambda }^{k}={\begin{cases}\mathbb {Z} &k{\text{ is even}}\\\mathbb {Z} /\lambda &k{\text{ is odd}}\end{cases}}}$

Bordismo racional

Recordemos que el grupo del bordismo racional es isomorfo al anillo ${\displaystyle \Omega _{*}^{\text{SO}}\otimes \mathbb {Q} }$

${\displaystyle \mathbb {Q} [[\mathbb {CP} ^{0}],[\mathbb {CP} ^{2}],[\mathbb {CP} ^{4}],[\mathbb {CP} ^{6}],\ldots ]}$

generado por las clases de bordismo de los espacios proyectivos (complejos) de dimensión par en grado . Esto proporciona una secuencia espectral computacionalmente manejable para calcular los grupos de bordismo racional. ${\displaystyle [\mathbb {CP} ^{2k}]}$ ${\displaystyle 4k}$

Cobordismo complejo

Recordemos que donde . Luego, podemos usar esto para calcular el cobordismo complejo de un espacio a través de la secuencia espectral. Tenemos la -página dada por ${\displaystyle MU^{*}(pt)=\mathbb {Z} [x_{1},x_{2},\ldots ]}$ ${\displaystyle x_{i}\in \pi _{2i}(MU)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E_{2}}$

${\displaystyle E_{2}^{p,q}=H^{p}(X;MU^{q}(pt))}$

Véase también

• Conjetura de Quillen-Lichtenbaum

Referencias

• Davis, James; Kirk, Paul, Lecture Notes in Algebraic Topology (PDF) , archivado desde el original (PDF) el 2016-03-04 , consultado el 2017-08-12
• Atiyah, Michael Francis ; Hirzebruch, Friedrich (1961), "Fibrados vectoriales y espacios homogéneos", Proc. Sympos. Pure Math., Vol. III, Providence, RI: American Mathematical Society , págs. 7–38, MR  0139181
• Atiyah, Michael, Teoría K retorcida y cohomología , arXiv : math/0510674 , Bibcode :2005math.....10674A