Teoría de la homotopía racional

Teoría matemática de espacios topológicos.

En matemáticas y específicamente en topología , la teoría de la homotopía racional es una versión simplificada de la teoría de la homotopía para espacios topológicos , en la que se ignora toda torsión en los grupos de homotopía . ^[1] Fue fundada por Dennis Sullivan  (1977) y Daniel Quillen  (1969). ^[1] Esta simplificación de la teoría de la homotopía hace que ciertos cálculos sean mucho más fáciles.

Los tipos de homotopía racional de espacios simplemente conectados se pueden identificar con (clases de isomorfismo de) ciertos objetos algebraicos llamados modelos mínimos de Sullivan, que son álgebras graduadas diferenciales conmutativas sobre números racionales que satisfacen ciertas condiciones.

Una aplicación geométrica fue el teorema de Sullivan y Micheline Vigué-Poirrier (1976): cada variedad de Riemann cerrada X simplemente conectada cuyo anillo de cohomología racional no es generado por un elemento tiene infinitas geodésicas cerradas geométricamente distintas . ^[2] La prueba utilizó la teoría de la homotopía racional para demostrar que los números de Betti del espacio de bucle libre de X son ilimitados. El teorema se deriva entonces de un resultado de 1969 de Detlef Gromoll y Wolfgang Meyer.

Espacios racionales

Un mapa continuo de espacios topológicos simplemente conectados se denomina equivalencia de homotopía racional si induce un isomorfismo en grupos de homotopía tensorizados con los números racionales . ^[1] De manera equivalente: f es una equivalencia de homotopía racional si y solo si induce un isomorfismo en grupos de homología singulares con coeficientes racionales. ^[3] La categoría de homotopía racional (de espacios simplemente conectados) se define como la localización de la categoría de espacios simplemente conectados con respecto a equivalencias de homotopía racional. El objetivo de la teoría de la homotopía racional es comprender esta categoría (es decir, determinar la información que puede recuperarse de las equivalencias de la homotopía racional). ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Un resultado básico es que la categoría de homotopía racional es equivalente a una subcategoría completa de la categoría de homotopía de espacios topológicos, la subcategoría de espacios racionales. Por definición, un espacio racional es un complejo CW simplemente conexo, todos cuyos grupos de homotopía son espacios vectoriales sobre números racionales. Para cualquier complejo CW simplemente conexo , existe un espacio racional , único hasta la equivalencia de homotopía , con un mapa que induce un isomorfismo en grupos de homotopía tensorizados con los números racionales. ^[4] El espacio se llama racionalización de . Este es un caso especial de la construcción de Sullivan de la localización de un espacio en un conjunto dado de números primos . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{\mathbb {Q} }}$ ${\displaystyle X\to X_{\mathbb {Q} }}$ ${\displaystyle X_{\mathbb {Q} }}$ ${\displaystyle X}$

Se obtienen definiciones equivalentes utilizando grupos de homología en lugar de homotopías. Es decir, un complejo CW simplemente conexo es un espacio racional si y sólo si sus grupos de homología son espacios vectoriales racionales para todos . ^[5] La racionalización de un complejo CW simplemente conectado es el espacio racional único (hasta la equivalencia de homotopía) con un mapa que induce un isomorfismo en la homología racional. Así, uno tiene ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H_{i}(X,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle i>0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\to X_{\mathbb {Q} }}$ ${\displaystyle X\to X_{\mathbb {Q} }}$

${\displaystyle \pi _{i}(X_{\mathbb {Q} })\cong \pi _{i}(X)\otimes {\mathbb {Q} }}$

y

${\displaystyle H_{i}(X_{\mathbb {Q} },{\mathbb {Z} })\cong H_{i}(X,{\mathbb {Z} })\otimes {\mathbb {Q} }\cong H_{i}(X,{\mathbb {Q} })}$

para todos . ${\displaystyle i>0}$

Estos resultados para espacios simplemente conectados se extienden con pocos cambios a espacios nilpotentes (espacios cuyo grupo fundamental es nilpotente y actúa de manera nilpotente sobre los grupos de homotopía superior).

Calcular los grupos de esferas de homotopía es un problema abierto central en la teoría de la homotopía. Sin embargo, Jean-Pierre Serre calculó los grupos de esferas de homotopía racional en 1951:

${\displaystyle \pi _{i}(S^{2a-1})\otimes \mathbb {Q} \cong {\begin{cases}\mathbb {Q} &{\text{if }}i=2a-1\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

y

${\displaystyle \pi _{i}(S^{2a})\otimes \mathbb {Q} \cong {\begin{cases}\mathbb {Q} &{\text{if }}i=2a{\text{ or }}i=4a-1\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

Esto sugiere la posibilidad de describir toda la categoría de homotopía racional de una manera prácticamente computable. La teoría de la homotopía racional ha logrado gran parte de ese objetivo.

En la teoría de la homotopía, las esferas y los espacios de Eilenberg-MacLane son dos tipos muy diferentes de espacios básicos a partir de los cuales se pueden construir todos los espacios. En la teoría de la homotopía racional, estos dos tipos de espacios se vuelven mucho más cercanos. En particular, el cálculo de Serre implica que es el espacio de Eilenberg-MacLane . De manera más general, sea X cualquier espacio cuyo anillo de cohomología racional sea un álgebra conmutativa graduada libre (un producto tensorial de un anillo polinomial en generadores de grado par y un álgebra exterior en generadores de grado impar). Entonces la racionalización es producto de los espacios de Eilenberg-MacLane. La hipótesis sobre el anillo de cohomología se aplica a cualquier grupo de Lie compacto (o más generalmente, a cualquier espacio de bucle ). ^[6] Por ejemplo, para el grupo unitario SU( n ) , ${\displaystyle S_{\mathbb {Q} }^{2a-1}}$ ${\displaystyle K(\mathbb {Q} ,2a-1)}$ ${\displaystyle X_{\mathbb {Q} }}$

${\displaystyle \operatorname {SU} (n)_{\mathbb {Q} }\simeq S_{\mathbb {Q} }^{3}\times S_{\mathbb {Q} }^{5}\times \cdots \times S_{\mathbb {Q} }^{2n-1}.}$

Anillo de cohomología y homotopía Álgebra de Lie

Hay dos invariantes básicos de un espacio X en la categoría de homotopía racional: el anillo de cohomología racional y el álgebra de Lie de homotopía . La cohomología racional es un álgebra conmutativa graduada sobre , y los grupos de homotopía forman un álgebra de Lie graduada a través del producto de Whitehead . (Más precisamente, escribiendo para el espacio de bucle de X , tenemos que es un álgebra de Lie graduada sobre . En vista del isomorfismo , esto equivale a un cambio de la calificación en 1.) Por ejemplo, el teorema de Serre anterior dice que es el álgebra de Lie graduada gratuita en un generador de grados . ${\displaystyle H^{*}(X,\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle \pi _{*}(X)\otimes \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \Omega X}$ ${\displaystyle \pi _{*}(\Omega X)\otimes \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \pi _{i}(X)\cong \pi _{i-1}(\Omega X)}$ ${\displaystyle \pi _{*}(\Omega S^{n})\otimes \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle n-1}$

Otra forma de pensar en el álgebra de Lie de homotopía es que la homología del espacio de bucles de X es el álgebra envolvente universal del álgebra de Lie de homotopía: ^[7]

${\displaystyle H_{*}(\Omega X,{\mathbb {Q} })\cong U(\pi _{*}(\Omega X)\otimes \mathbb {Q} ).}$

Por el contrario, se puede reconstruir la homotopía racional del álgebra de Lie a partir de la homología del espacio de bucles como subespacio de elementos primitivos en el álgebra de Hopf . ^[8] ${\displaystyle H_{*}(\Omega S^{n})\otimes \mathbb {Q} }$

Un resultado central de la teoría es que la categoría de homotopía racional puede describirse de forma puramente algebraica; de hecho, de dos formas algebraicas diferentes. Primero, Quillen demostró que la categoría de homotopía racional es equivalente a la categoría de homotopía de álgebras de Lie graduadas diferenciales conectadas . (El álgebra de Lie graduada asociada es el álgebra de Lie de homotopía). En segundo lugar, Quillen demostró que la categoría de homotopía racional es equivalente a la categoría de homotopía de coalgebras cocommutativas graduadas diferenciales 1-conectadas . ^[9] (La coalgebra asociada es la homología racional de X como coalgebra; el espacio vectorial dual es el anillo de cohomología racional). Estas equivalencias estuvieron entre las primeras aplicaciones de la teoría de categorías de modelos de Quillen . ${\displaystyle \ker(d)/\operatorname {im} (d)}$

En particular, la segunda descripción implica que para cualquier álgebra conmutativa graduada A de la forma ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle A=\mathbb {Q} \oplus A^{2}\oplus A^{3}\oplus \cdots ,}$

con cada espacio vectorial de dimensión finita, existe un espacio simplemente conexo X cuyo anillo de cohomología racional es isomorfo a A . (Por el contrario, existen muchas restricciones, que no se comprenden completamente, sobre los anillos de cohomología integral o mod p de espacios topológicos, para números primos p .) En el mismo espíritu, Sullivan demostró que cualquier álgebra conmutativa graduada que satisfaga la dualidad de Poincaré es el anillo de cohomología de alguna variedad cerrada lisa simplemente conectada , excepto en la dimensión 4 a ; en ese caso, también es necesario asumir que el par de intersección on tiene la forma over . ^[10] ${\displaystyle A^{i}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle A^{1}=0}$ ${\displaystyle A^{2a}}$ ${\displaystyle \sum \pm x_{i}^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Cabe preguntarse cómo pasar entre las dos descripciones algebraicas de la categoría de homotopía racional. En resumen, un álgebra de Lie determina un álgebra conmutativa graduada mediante cohomología de álgebra de Lie , y un álgebra conmutativa aumentada determina un álgebra de Lie graduada mediante cohomología reducida de André-Quillen . De manera más general, existen versiones de estas construcciones para álgebras graduadas diferenciales. Esta dualidad entre álgebras conmutativas y álgebras de Lie es una versión de la dualidad de Koszul .

Álgebras de Sullivan

Para espacios cuya homología racional en cada grado tiene dimensión finita, Sullivan clasificó todos los tipos de homotopía racional en términos de objetos algebraicos más simples, álgebras de Sullivan. Por definición, un álgebra de Sullivan es un álgebra graduada diferencial conmutativa sobre los racionales , cuyo álgebra subyacente es el álgebra graduada conmutativa libre en un espacio vectorial graduado. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \bigwedge (V)}$

${\displaystyle V=\bigoplus _{n>0}V^{n},}$

satisfaciendo la siguiente "condición de nilpotencia" en su diferencial d : el espacio V es la unión de una serie creciente de subespacios graduados, , donde on y está contenido en . En el contexto de las álgebras graduadas diferenciales A , "conmutativo" se utiliza para significar conmutativo graduado; eso es, ${\displaystyle V(0)\subseteq V(1)\subseteq \cdots }$ ${\displaystyle d=0}$ ${\displaystyle V(0)}$ ${\displaystyle d(V(k))}$ ${\displaystyle \bigwedge (V(k-1))}$

${\displaystyle ab=(-1)^{ij}ba}$

para a in y b in . ${\displaystyle A^{i}}$ ${\displaystyle A^{j}}$

El álgebra de Sullivan se llama mínima si la imagen de d está contenida en , donde es la suma directa de los subespacios de grado positivo de . ${\displaystyle \bigwedge ^{+}(V)^{2}}$ ${\displaystyle \bigwedge ^{+}(V)}$ ${\displaystyle \bigwedge (V)}$

Un modelo de Sullivan para un álgebra A graduada diferencial conmutativa es un álgebra de Sullivan con un homomorfismo que induce un isomorfismo en la cohomología. Si , entonces A tiene un modelo de Sullivan mínimo que es único hasta el isomorfismo. (Advertencia: un álgebra de Sullivan mínima con el mismo álgebra de cohomología que A no necesita ser un modelo de Sullivan mínimo para A : también es necesario que el isomorfismo de la cohomología sea inducido por un homomorfismo de álgebras graduadas diferenciales. Hay ejemplos de álgebras no isomorfas Modelos mínimos de Sullivan con álgebras de cohomología isomorfas.) ${\displaystyle \bigwedge (V)}$ ${\displaystyle \bigwedge (V)\to A}$ ${\displaystyle A^{0}=\mathbb {Q} }$

El modelo mínimo de Sullivan de un espacio topológico

Para cualquier espacio topológico X , Sullivan definió un álgebra graduada diferencial conmutativa , llamada álgebra de formas diferenciales polinómicas en X con coeficientes racionales. Un elemento de esta álgebra consiste en (aproximadamente) una forma polinómica en cada simplex singular de X , compatible con mapas de caras y degeneración. Esta álgebra suele ser muy grande (dimensión incontable) pero puede ser reemplazada por un álgebra mucho más pequeña. Más precisamente, cualquier álgebra diferencial graduada con el mismo modelo mínimo de Sullivan se denomina modelo para el espacio X. Cuando X es simplemente conexo, dicho modelo determina el tipo de homotopía racional de X. ${\displaystyle A_{PL}(X)}$ ${\displaystyle A_{PL}(X)}$

Para cualquier complejo CW X simplemente conectado con todos los grupos de homología racional de dimensión finita, existe un modelo de Sullivan mínimo para , que tiene la propiedad de que y todos tienen dimensión finita. Esto se llama modelo mínimo de Sullivan de X ; es único hasta el isomorfismo. ^[11] Esto da una equivalencia entre los tipos de homotopía racional de tales espacios y tales álgebras, con las propiedades: ${\displaystyle \bigwedge V}$ ${\displaystyle A_{PL}(X)}$ ${\displaystyle V^{1}=0}$ ${\displaystyle V^{k}}$

• La cohomología racional del espacio es la cohomología de su modelo mínimo de Sullivan.
• Los espacios de indescomponibles en V son los duales de los grupos de homotopía racional del espacio X.
• El producto de Whitehead sobre homotopía racional es el dual de la "parte cuadrática" del diferencial d .
• Dos espacios tienen el mismo tipo de homotopía racional si y sólo si sus álgebras mínimas de Sullivan son isomorfas.
• Existe un espacio X simplemente conexo correspondiente a cada posible álgebra de Sullivan con y todos de dimensión finita. ${\displaystyle V^{1}=0}$ ${\displaystyle V^{k}}$

Cuando X es una variedad suave, el álgebra diferencial de formas diferenciales suaves en X (el complejo de Rham ) es casi un modelo para X ; más precisamente es el producto tensorial de un modelo para X con los reales y por tanto determina el tipo de homotopía real . Se puede ir más allá y definir el tipo de homotopía completa p de X para un número primo p . El "cuadrado aritmético" de Sullivan reduce muchos problemas de la teoría de la homotopía a la combinación de la teoría de la homotopía racional y p -completa, para todos los primos p . ^[12]

La construcción de modelos minimalistas de Sullivan para espacios simplemente conectados se extiende a espacios nilpotentes. Para grupos fundamentales más generales, las cosas se complican más; por ejemplo, los grupos de homotopía racional de un complejo CW finito (como la cuña ) pueden ser espacios vectoriales de dimensión infinita. ${\displaystyle S^{1}\vee S^{2}}$

Espacios formales

Un álgebra graduada diferencial conmutativa A , nuevamente con , se llama formal si A tiene un modelo con diferencial evanescente. Esto equivale a exigir que el álgebra de cohomología de A (considerada como un álgebra diferencial con diferencial trivial) sea un modelo para A (aunque no tiene por qué ser el modelo mínimo ). Así, el tipo de homotopía racional de un espacio formal está completamente determinado por su anillo de cohomología. ${\displaystyle A^{0}=\mathbb {Q} }$

Ejemplos de espacios formales incluyen esferas, espacios H , espacios simétricos y variedades compactas de Kähler . ^[13] La formalidad se conserva en los productos y en las sumas cuña . Para las variedades, la formalidad se preserva mediante sumas conectadas .

Por otro lado, las variedades nil cerradas casi nunca son formales: si M es una variedad nil formal, entonces M debe ser el toroide de alguna dimensión. ^[14] El ejemplo más simple de una variedad nula no formal es la variedad de Heisenberg , el cociente del grupo de Heisenberg de matrices triangulares superiores reales de 3×3 con unos en la diagonal por su subgrupo de matrices con coeficientes integrales. Las variedades simplécticas cerradas no tienen por qué ser formales: el ejemplo más simple es la variedad de Kodaira-Thurston (el producto de la variedad de Heisenberg con un círculo). También hay ejemplos de variedades cerradas simplécticas no formales y simplemente conectadas. ^[15]

La informalidad a menudo puede detectarse en los productos Massey . De hecho, si un álgebra A graduada diferencial es formal, entonces todos los productos de Massey (de orden superior) deben desaparecer. Lo contrario no es cierto: formalidad significa, en términos generales, la desaparición "uniforme" de todos los productos Massey. El complemento de los anillos borromeos es un espacio no formal: soporta un triple producto Massey no trivial.

Ejemplos

• Si X es una esfera de dimensión impar , su modelo mínimo de Sullivan tiene un generador a de grado con y una base de elementos 1, a . ${\displaystyle 2n+1>1}$ ${\displaystyle 2n+1}$ ${\displaystyle da=0}$
• Si X es una esfera de dimensión par , su modelo mínimo de Sullivan tiene dos generadores a y b de grados y , con ,, y una base de elementos ,,,, donde la flecha indica la acción de d . ${\displaystyle 2n>0}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle 4n+1}$ ${\displaystyle db=a^{2}}$ ${\displaystyle da=0}$ ${\displaystyle 1,a,b\to a^{2}}$ ${\displaystyle ab\to a^{3}}$ ${\displaystyle a^{2}b\to a^{4},\ldots }$
• Si X es el espacio proyectivo complejo con , su modelo mínimo de Sullivan tiene dos generadores u y x de grados 2 y , con y . Tiene una base de elementos , , . ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$ ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle 2n+1}$ ${\displaystyle du=0}$ ${\displaystyle dx=u^{n+1}}$ ${\displaystyle 1,u,u^{2},\ldots ,u^{n}}$ ${\displaystyle x\to u^{n+1}}$ ${\displaystyle xu\to u^{n+2},\ldots }$
• Supongamos que V tiene 4 elementos a , b , x , y de grados 2, 3, 3 y 4 con diferenciales , , , . Entonces esta álgebra es un álgebra de Sullivan mínima que no es formal. El álgebra de cohomología tiene componentes no triviales solo en las dimensiones 2, 3, 6, generadas respectivamente por a , by . Cualquier homomorfismo de V a su álgebra de cohomología asignaría y a 0 y x a un múltiplo de b ; entonces se asignaría a 0. Entonces V no puede ser un modelo para su álgebra de cohomología. Los espacios topológicos correspondientes son dos espacios con anillos de cohomología racional isomórficos pero diferentes tipos de homotopía racional. Observe que está en el producto Massey . ${\displaystyle da=0}$ ${\displaystyle db=0}$ ${\displaystyle dx=a^{2}}$ ${\displaystyle dy=ab}$ ${\displaystyle xb-ay}$ ${\displaystyle xb-ay}$ ${\displaystyle xb-ay}$ ${\displaystyle \langle [a],[a],[b]\rangle }$

Espacios elípticos e hiperbólicos.

La teoría de la homotopía racional reveló una dicotomía inesperada entre los complejos CW finitos: o los grupos de homotopía racional son cero en grados suficientemente altos o crecen exponencialmente . Es decir, sea X un espacio simplemente conexo tal que sea un espacio vectorial de dimensión finita (por ejemplo, un complejo CW finito tiene esta propiedad). Defina X como racionalmente elíptico si también es un espacio vectorial de dimensión finita y, en caso contrario, racionalmente hiperbólico . Luego Félix y Halperin demostraron: si X es racionalmente hiperbólico, entonces existe un número real y un entero N tal que ${\displaystyle H_{*}(X,\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \pi _{*}(X)\otimes \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle C>1}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\dim _{\mathbb {Q} }\pi _{i}(X)\otimes {\mathbb {Q} }\geq C^{n}}$

para todos . ^[dieciséis] ${\displaystyle n\geq N}$

Por ejemplo, las esferas, los espacios proyectivos complejos y los espacios homogéneos para grupos de Lie compactos son elípticos. Por otro lado, "la mayoría" de los complejos finitos son hiperbólicos. Por ejemplo:

• El anillo de cohomología racional de un espacio elíptico satisface la dualidad de Poincaré. ^[17]
• Si X es un espacio elíptico cuyo grupo de cohomología racional superior distinto de cero está en grado n , entonces cada número de Betti es como máximo el coeficiente binomial (con igualdad para el toro n -dimensional). ^[18] ${\displaystyle b_{i}(X)}$ ${\displaystyle {\binom {n}{i}}}$
• La característica de Euler de un espacio elíptico X no es negativa. Si la característica de Euler es positiva, entonces todos los números impares de Betti son cero y el anillo de cohomología racional de X es un anillo de intersección completo . ^[19] ${\displaystyle b_{2i+1}(X)}$

Existen muchas otras restricciones sobre el anillo de cohomología racional de un espacio elíptico. ^[20]

La conjetura de Bott predice que toda variedad de Riemann cerrada simplemente conexa con curvatura seccional no negativa debería ser racionalmente elíptica. Se sabe muy poco sobre la conjetura, aunque es válida para todos los ejemplos conocidos de tales variedades. ^[21]

La conjetura de Halperin afirma que la secuencia espectral racional de Serre de una secuencia de fibras de espacios simplemente conectados con una fibra racionalmente elíptica de característica de Euler distinta de cero desaparece en la segunda página.

Un complejo finito X simplemente conexo es racionalmente elíptico si y sólo si la homología racional del espacio del bucle crece como máximo polinomialmente. De manera más general, X se llama integralmente elíptica si la homología mod p de crece como máximo polinomialmente, para cada número primo p . Todas las variedades de Riemann conocidas con curvatura seccional no negativa son, de hecho, integralmente elípticas. ^[22] ${\displaystyle \Omega X}$ ${\displaystyle \Omega X}$

Ver también

• Teorema de Mandell: análogo de la teoría de la homotopía racional en entornos p-ádicos
• Teoría de la homotopía cromática

Notas

1. Hess 1999, pag. 757.
2. Félix, Oprea y Tanré (2008), Teorema 5.13.
3. Félix, Halperin y Thomas (2001), Teorema 8.6.
4. Félix, Halperin y Thomas (2001), Teorema 9.7.
5. Félix, Halperin y Thomas (2001), Teorema 9.3.
6. Félix, Halperin & Thomas (2001), Corolario de la Proposición 16.7.
7. Félix, Halperin y Thomas (2001), Teorema 21.5 (i).
8. Félix, Halperin y Thomas (2001), Teorema 21.5 (iii).
9. Quillen (1969), Corolario II.6.2.
10. Sullivan (1977), Teorema 13.2.
11. Félix, Halperin y Thomas (2001), Proposición 12.10.
12. Mayo y Ponto (2012), sección 13.1.
13. Félix, Oprea y Tanré (2008), Teorema 4.43.
14. Félix, Oprea y Tanré (2008), Observación 3.21.
15. Félix, Oprea y Tanré (2008), Teorema 8.29.
16. Félix, Halperin y Thomas (2001), Teorema 33.2.
17. Félix, Halperin y Thomas (2001), Proposición 38.3.
18. Pavlov (2002), Teorema 1.
19. Félix, Halperin y Thomas (2001), Proposición 32.10.
20. Félix, Halperin y Thomas (2001), sección 32.
21. Félix, Oprea y Tanré (2008), Conjetura 6.43.
22. Félix, Halperin y Thomas (1993), sección 3.

Referencias

• Félix, Yves; Halperin, Stephen; Thomas, Jean-Claude (1993), "Espacios elípticos II", L'Enseignement mathématique , 39 (1–2): 25–32, doi :10.5169/seals-60412, SEÑOR  1225255
• Félix, Yves; Halperin, Stephen; Thomas, Jean-Claude (2001), Teoría de la homotopía racional , Nueva York: Springer Nature , doi :10.1007/978-1-4613-0105-9, ISBN 0-387-95068-0, SEÑOR  1802847
• Félix, Yves; Halperin, Stephen; Thomas, Jean-Claude (2015), Teoría de la homotopía racional II , Singapur: World Scientific , doi :10.1142/9473, ISBN 978-981-4651-42-4, señor  3379890
• Félix, Yves; Oprea, Juan; Tanré, Daniel (2008), Modelos algebraicos en geometría , Oxford: Oxford University Press , ISBN 978-0-19-920651-3, señor  2403898
• Griffiths, Phillip A .; Morgan, John W. (1981), Teoría de la homotopía racional y formas diferenciales , Boston: Birkhäuser, ISBN 3-7643-3041-4, SEÑOR  0641551
• Hess, Kathryn (1999), "Una historia de la teoría de la homotopía racional", en James, Ioan M. (ed.), Historia de la topología , Ámsterdam: Holanda Septentrional, págs. 757–796, doi :10.1016/B978-044482375 -5/50028-6, ISBN 0-444-82375-1, SEÑOR  1721122
• Hess, Kathryn (2007), "Teoría de la homotopía racional: una breve introducción" (PDF) , Interacciones entre la teoría de la homotopía y el álgebra , Matemáticas contemporáneas, vol. 436, Sociedad Estadounidense de Matemáticas , págs. 175–202, arXiv : math/0604626 , doi :10.1090/conm/436/08409, ISBN 9780821838143, señor  2355774
• Mayo, J. Peter ; Ponto, Kathleen (2012), Topología algebraica más concisa. Localización, finalización y categorías de modelo (PDF) , University of Chicago Press , ISBN 978-0-226-51178-8, señor  2884233
• Pavlov, Aleksandr V. (2002), "Estimaciones de los números de Betti de espacios racionalmente elípticos", Siberian Mathematical Journal , 43 (6): 1080–1085, doi :10.1023/A:1021173418920, MR  1946233
• Quillen, Daniel (1969), "Teoría de la homotopía racional", Annals of Mathematics , 90 (2): 205–295, doi :10.2307/1970725, JSTOR  1970725, MR  0258031
• Sullivan, Dennis (1977), "Cálculos infinitesimales en topología", Publications Mathématiques de l'IHÉS , 47 : 269–331, doi :10.1007/bf02684341, hdl :10338.dmlcz/128041, MR  0646078
• Sullivan, Dennis (2001) [1994], "Teoría de la homotopía racional", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Sullivan, Dennis; Vigué-Poirrier, Micheline (1976), "La teoría de la homología del problema geodésico cerrado", Journal of Differential Geometry , 11 (4): 633–644, doi : 10.4310/jdg/1214433729 , SEÑOR  0455028