Elemento primitivo (co-álgebra)

En álgebra, un elemento primitivo de una coálgebra C (sobre un elemento g ) es un elemento x que satisface

${\displaystyle \mu (x)=x\otimes g+g\otimes x}$

donde está la co-multiplicación y g es un elemento de C que se asigna a la identidad multiplicativa 1 del campo base bajo la co-unidad ( g se llama tipo grupo ). ${\displaystyle \mu }$

Si C es una biálgebra , es decir, una coálgebra que también es un álgebra (con ciertas condiciones de compatibilidad satisfechas), entonces generalmente se toma g como 1, la identidad multiplicativa de C. Se dice que la biálgebra C se genera primitivamente si está generada por elementos primitivos (como un álgebra).

Si C es una biálgebra, entonces el conjunto de elementos primitivos forma un álgebra de Lie con el soporte conmutador habitual ( conmutador graduado si C está graduado). ${\displaystyle [x,y]=xy-yx}$

Si A es un álgebra de Hopf cocommutativa graduada conectada sobre un campo de característica cero, entonces el teorema de Milnor-Moore establece que el álgebra envolvente universal del álgebra de Lie graduada de elementos primitivos de A es isomorfa a A. (Esto también se aplica a requisitos ligeramente más débiles).

Referencias

• http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Primitive_element_in_a_co-algebra