Dualidad de Koszul

¿Qué es la dualidad de Koszul en general?

En matemáticas , la dualidad de Koszul , llamada así por el matemático francés Jean-Louis Koszul , es cualquiera de los diversos tipos de dualidades que se encuentran en la teoría de la representación de las álgebras de Lie , las álgebras abstractas ( álgebra semisimple ) ^[1] y la topología (por ejemplo, la cohomología equivariante ^[2] ). El ejemplo prototipo es la correspondencia BGG, debida a Joseph Bernstein , Israel Gelfand y Sergei Gelfand. ^[3] Es una dualidad entre la categoría derivada de un álgebra simétrica y la de un álgebra exterior . La importancia de la noción se basa en la sospecha de que la dualidad de Koszul parece bastante ubicua en la naturaleza. ^{[ cita requerida ]}

Dualidad de Koszul para módulos graduados sobre álgebras de Koszul

El caso más simple, y en cierto sentido prototípico, de dualidad de Koszul surge de la siguiente manera: para un espacio vectorial unidimensional V sobre un cuerpo k , con espacio vectorial dual , el álgebra exterior de V tiene dos componentes no triviales, a saber ${\displaystyle V^{*}}$

${\displaystyle \bigwedge ^{1}V=V,\quad \bigwedge ^{0}V=k.}$

Esta álgebra exterior y el álgebra simétrica de , , sirven para construir un complejo de cadena de dos pasos ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle \operatorname {Sym} (V^{*})}$

${\displaystyle V\otimes _{k}\operatorname {Sym} (V^{*})\to k\otimes _{k}\operatorname {Sym} (V^{*})}$

cuyo diferencial es inducido por el mapa de evaluación natural

${\displaystyle V\otimes _{k}V^{*}\to k,\quad v\otimes _{k}\varphi \mapsto \varphi (v).}$

La elección de una base de V , se puede identificar con el anillo polinomial en una variable, , y el complejo de cadena anterior se vuelve isomorfo al complejo ${\displaystyle \operatorname {Sym} (V^{*})}$ ${\displaystyle k[t]}$

${\displaystyle k[t]{\stackrel {t}{\longrightarrow }}k[t]}$

cuyo diferencial es la multiplicación por t . Este cálculo muestra que la cohomología del complejo anterior es 0 en el término de la izquierda y es k en el término de la derecha. En otras palabras, k (considerado como un complejo en cadena concentrado en un solo grado) es cuasi-isomorfo al complejo anterior, lo que proporciona un vínculo estrecho entre el álgebra exterior de V y el álgebra simétrica de su dual.

Dual de Koszul de un álgebra de Koszul

La dualidad de Koszul, tal como la trataron Alexander Beilinson , Victor Ginzburg y Wolfgang Soergel ^[4], se puede formular utilizando la noción de álgebra de Koszul . Un ejemplo de dicha álgebra de Koszul A es el álgebra simétrica en un espacio vectorial de dimensión finita. De manera más general, se puede demostrar que cualquier álgebra de Koszul es un álgebra cuadrática , es decir, de la forma ${\displaystyle S(V)}$

${\displaystyle A=T(V)/R,}$

donde es el álgebra tensorial en un espacio vectorial de dimensión finita, y es un submódulo de . El dual de Koszul coincide entonces con el dual cuadrático ${\displaystyle T(V)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle T^{2}(V)=V\otimes V}$

${\displaystyle A^{!}:=T(V^{*})/R'}$

donde es el dual ( k -lineal) y consiste en aquellos elementos en los que los elementos de R (es decir, las relaciones en A ) se anulan. El dual de Koszul de está dado por , el álgebra exterior sobre el dual de V . En general, el dual de un álgebra de Koszul es nuevamente un álgebra de Koszul. Su anillo opuesto está dado por el anillo graduado de autoextensiones del cuerpo subyacente k, considerado como un A -módulo: ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle R'\subset V^{*}\otimes V^{*}}$ ${\displaystyle A=S(V)}$ ${\displaystyle A^{!}=\Lambda (V^{*})}$

${\displaystyle (A^{!})^{\text{opp}}=\operatorname {Ext} _{A}^{*}(k,k).}$

Dualidad de Koszul

Si un álgebra es Koszul, existe una equivalencia entre ciertas subcategorías de las categorías derivadas de los módulos y grados . Estas subcategorías se definen mediante ciertas condiciones de acotación en el grado de graduación frente al grado cohomológico de un complejo. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{!}}$

Variantes

Como alternativa a pasar a ciertas subcategorías de las categorías derivadas de y para obtener equivalencias, es posible en cambio obtener equivalencias entre ciertos cocientes de las categorías de homotopía. ^[5] Usualmente estos cocientes son mayores que la categoría derivada, pues se obtienen factorizando alguna subcategoría de la categoría de complejos acíclicos, pero tienen la ventaja de que todo complejo de módulos determina algún elemento de la categoría, sin necesidad de imponer condiciones de acotación. Una reformulación diferente da una equivalencia entre la categoría derivada de y la categoría 'coderivada' de la coalgebra . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{!}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (A^{!})^{*}}$

Una extensión de la dualidad de Koszul a los D -módulos establece una equivalencia similar de categorías derivadas entre los dg-módulos sobre el dg-álgebra de diferenciales de Kähler en una variedad algebraica suave X y los D-módulos. ^{[6] [7] [8]} ${\displaystyle \Omega _{X}}$ ${\displaystyle D_{X}}$

Dualidad de Koszul para operads

Una extensión del concepto anterior de dualidad de Koszul fue formulada por Ginzburg y Kapranov, quienes introdujeron la noción de un operado cuadrático y definieron el dual cuadrático de tal operado. ^[9] De manera muy general, un operado es una estructura algebraica que consiste en un objeto de operaciones n -arias para todo n . Un álgebra sobre un operado es un objeto sobre el cual actúan estas operaciones n -arias. Por ejemplo, hay un operado llamado operado asociativo cuyas álgebras son álgebras asociativas, es decir, dependiendo del contexto preciso, anillos no conmutativos (o, dependiendo del contexto, anillos graduados no conmutativos, anillos graduados diferenciales). Las álgebras sobre el llamado operado conmutativo son álgebras conmutativas, es decir, anillos conmutativos (posiblemente graduados, graduados diferenciales). Otro ejemplo más es el operado de Lie cuyas álgebras son álgebras de Lie . La dualidad cuadrática mencionada anteriormente es tal que la operación asociativa es autodual, mientras que la operación conmutativa y la de Lie se corresponden entre sí bajo esta dualidad.

La dualidad de Koszul para operadas establece una equivalencia entre álgebras sobre operadas duales. El caso especial de las álgebras asociativas devuelve el funtor mencionado anteriormente. ${\displaystyle A\mapsto A^{!}}$

Véase también

• Álgebra de Zinbiel

Notas

1. Ben Webster, Álgebras de Koszul y dualidad de Koszul. 1 de noviembre de 2007
2. Mark Goresky , Robert Kottwitz y Robert MacPherson . Cohomología equivariante, dualidad de Koszul y teorema de localización. Inventiones Mathematicae 131 (1998).
3. Joseph Bernstein , Israel Gelfand y Sergei Gelfand. Paquetes algebraicos y problemas de álgebra lineal ${\displaystyle P^{n}}$ . Funkts. Anal. Prilozh. 12 (1978); traducción al inglés en Functional Analysis and its Applications 12 (1978), 212-214
4. Alexander Beilinson , Victor Ginzburg , Wolfgang Soergel. Patrones de dualidad de Koszul en la teoría de la representación , Journal of the American Mathematical Society 9 (1996), n.º 2, 473-527.
5. Fløystad, Gunnar (1 de enero de 2006). "Dualidad Koszul y equivalencias de categorías". Transacciones de la Sociedad Matemática Estadounidense . 358 (6): 2373–2398. arXiv : matemáticas/0012264 . doi : 10.1090/S0002-9947-05-04035-3 . ISSN  0002-9947.
6. Kapranov, Mikhail M. Sobre módulos DG sobre el complejo de De Rham y el funtor de ciclos evanescentes . Geometría algebraica (Chicago, IL, 1989), 57–86, Lecture Notes in Math., 1479, Springer, Berlín, 1991.
7. Positselski, Leonid: arXiv :0905.2621 Dos tipos de categorías derivadas, dualidad de Koszul y correspondencia comodula-contramódulo. , Mem. Amer. Math. Soc. 212 (2011), núm. 996, vi+133 pp. ISBN 978-0-8218-5296-5 , véase el Apéndice B 
8. Faltings, Gerd ; Chai, Ching-Li. Degeneración de variedades abelianas. Con un apéndice de David Mumford . Springer-Verlag, Berlín, 1990. xii+316 pp. ISBN 3-540-52015-5 . Sección VI.3 
9. Ginzburg, Víctor; Kapranov, Mijaíl. Dualidad Koszul para óperas. Duque Matemáticas. J. 76 (1994), núm. 1, 203–272.

Referencias

• Priddy, Stewart B. Koszul resoluciones . Transacciones de la American Mathematical Society 152 (1970), 39–60.

Enlaces externos

• http://www.math.harvard.edu/~lurie/282ynotes/LectureXXIII-Koszul.pdf
• http://people.mpim-bonn.mpg.de/geordie/Soergel.pdf
• http://arxiv.org/pdf/1109.6117v1.pdf