En matemáticas , un D -módulo es un módulo sobre un anillo D de operadores diferenciales . El principal interés de tales D -módulos es como un enfoque a la teoría de ecuaciones diferenciales parciales lineales . Desde aproximadamente 1970, la teoría del D -módulo se ha desarrollado, principalmente como una respuesta a las ideas de Mikio Sato sobre el análisis algebraico y ampliando el trabajo de Sato y Joseph Bernstein sobre el polinomio de Bernstein-Sato .
Los primeros resultados importantes fueron el teorema de constructibilidad de Kashiwara y el teorema del índice de Kashiwara de Masaki Kashiwara . Los métodos de la teoría de D -módulos siempre se han extraído de la teoría de haces y otras técnicas con inspiración en el trabajo de Alexander Grothendieck en geometría algebraica . Este enfoque es de carácter global y difiere de las técnicas de análisis funcional tradicionalmente utilizadas para estudiar operadores diferenciales. Los resultados más sólidos se obtienen para sistemas sobredeterminados ( sistemas holonómicos ) y en la variedad característica recortada por los símbolos , que en el buen caso es una subvariedad lagrangiana del fibrado cotangente de dimensión máxima ( sistemas involutivos ). Las técnicas fueron retomadas del lado de la escuela de Grothendieck por Zoghman Mebkhout , quien obtuvo una versión general derivada de la categoría de la correspondencia de Riemann-Hilbert en todas las dimensiones.
El primer caso de D -módulos algebraicos son los módulos sobre el álgebra de Weyl A n ( K ) sobre un cuerpo K de característica cero. Es el álgebra que consta de polinomios en las siguientes variables
donde las variables x i y ∂ j conmutan por separado entre sí, y x i y ∂ j conmutan para i ≠ j , pero el conmutador satisface la relación
Para cualquier polinomio f ( x 1 , ..., x n ), esto implica la relación
Relacionando así el álgebra de Weyl con las ecuaciones diferenciales.
Un D -módulo (algebraico) es, por definición, un módulo izquierdo sobre el anillo A n ( K ). Entre los ejemplos de D -módulos se incluyen la propia álgebra de Weyl (que actúa sobre sí misma mediante multiplicación izquierda), el anillo polinómico (conmutativo) K [ x 1 , ..., x n ], donde x i actúa mediante multiplicación y ∂ j actúa mediante diferenciación parcial con respecto a x j y, en una línea similar, el anillo de funciones holomorfas sobre C n (funciones de n variables complejas).
Dado un operador diferencial P = a n ( x ) ∂ n + ... + a 1 ( x ) ∂ 1 + a 0 ( x ), donde x es una variable compleja, a i ( x ) son polinomios, el módulo cociente M = A 1 ( C )/ A 1 ( C ) P está estrechamente ligado al espacio de soluciones de la ecuación diferencial.
donde f es una función holomorfa en C , por ejemplo. El espacio vectorial que consiste en las soluciones de esa ecuación está dado por el espacio de homomorfismos de D -módulos .
La teoría general de los D -módulos se desarrolla sobre una variedad algebraica suave X definida sobre un cuerpo algebraicamente cerrado K de característica cero, tal como K = C . El haz de operadores diferenciales D X se define como la O X -álgebra generada por los cuerpos vectoriales sobre X , interpretados como derivaciones . Un D X -módulo (izquierdo) M es un O X -módulo con una acción izquierda de D X sobre él. Dar tal acción es equivalente a especificar una función K -lineal
satisfactorio
Aquí f es una función regular sobre X , v y w son cuerpos vectoriales, , y [−, −] denota el conmutador . Por lo tanto, si M es además un módulo O X localmente libre , dar a M una estructura de módulo D no es otra cosa que dotar al fibrado vectorial asociado a M de una conexión plana (o integrable) . [1]
Como el anillo D X es no conmutativo, se deben distinguir los D -módulos izquierdos y derechos . Sin embargo, las dos nociones se pueden intercambiar, ya que existe una equivalencia de categorías entre ambos tipos de módulos, dada por la aplicación de un módulo izquierdo M al producto tensorial M ⊗ Ω X , donde Ω X es el fibrado lineal dado por la potencia exterior más alta de 1-formas diferenciales en X . Este fibrado tiene una acción derecha natural determinada por
donde v es un operador diferencial de orden uno, es decir un campo vectorial, ω una n -forma ( n = dim X ), y Lie denota la derivada de Lie . [2]
Localmente, después de elegir algún sistema de coordenadas x 1 , ..., x n ( n = dim X ) en X , que determina una base ∂ 1 , ..., ∂ n del espacio tangente de X , las secciones de D X se pueden representar de forma única como expresiones
En particular, cuando X es el espacio afín n -dimensional , este D X es el álgebra de Weyl en n variables.
Muchas propiedades básicas de los D -módulos son locales y paralelas a la situación de haces coherentes . Esto se basa en el hecho de que D X es un haz localmente libre de O X -módulos, aunque de rango infinito, como lo demuestra la O X -base mencionada anteriormente . Se puede demostrar que un D X -módulo que es coherente como un O X -módulo es necesariamente localmente libre (de rango finito).
Los módulos D de distintas variedades algebraicas están conectados mediante funtores de retroceso y avance comparables a los de haces coherentes. Para una función f : X → Y de variedades suaves, las definiciones son las siguientes:
Está equipado con una acción D X izquierda de una manera que emula la regla de la cadena , y con la acción derecha natural de f −1 ( D Y ). El retroceso se define como
Aquí M es un módulo izquierdo D Y , mientras que su pullback es un módulo izquierdo sobre X . Este funtor es exacto derecho , su funtor derivado izquierdo se denota L f ∗ . Por el contrario, para un módulo derecho D X N ,
es un módulo D Y derecho . Dado que esto mezcla el producto tensorial exacto derecho con el empuje hacia adelante exacto izquierdo, es común establecer en su lugar
Debido a esto, gran parte de la teoría de los D -módulos se desarrolla utilizando todo el poder del álgebra homológica , en particular las categorías derivadas .
Se puede demostrar que el álgebra de Weyl es un anillo noetheriano (izquierdo y derecho) . Además, es simple , es decir, sus únicos ideales bilaterales son el ideal cero y el anillo completo. Estas propiedades hacen que el estudio de los D -módulos sea manejable. En particular, las nociones estándar del álgebra conmutativa como polinomio de Hilbert , multiplicidad y longitud de módulos se trasladan a los D -módulos. Más precisamente, D X está equipado con la filtración de Bernstein , es decir, la filtración tal que F p A n ( K ) consiste en K -combinaciones lineales de operadores diferenciales x α ∂ β con | α | + | β | ≤ p (usando notación multiíndice ). Se ve que el anillo graduado asociado es isomorfo al anillo polinomial en 2 n indeterminados. En particular, es conmutativo.
Los D -módulos M finitamente generados están dotados de las llamadas filtraciones "buenas" F ∗ M , que son compatibles con F ∗ A n ( K ), esencialmente paralelas a la situación del lema de Artin-Rees . El polinomio de Hilbert se define como el polinomio numérico que concuerda con la función
para n grande . La dimensión d ( M ) de un A n ( K )-módulo M se define como el grado del polinomio de Hilbert. Está acotado por la desigualdad de Bernstein
Un módulo cuya dimensión alcanza el menor valor posible, n , se llama holonómico .
El módulo A 1 ( K ) M = A 1 ( K )/ A 1 ( K ) P (ver arriba) es holonómico para cualquier operador diferencial P distinto de cero , pero una afirmación similar para álgebras de Weyl de dimensiones superiores no se sostiene.
Como se mencionó anteriormente, los módulos sobre el álgebra de Weyl corresponden a D -módulos en el espacio afín. Al no estar disponible la filtración de Bernstein en D X para variedades generales X , la definición se generaliza a variedades afines arbitrarias X mediante la filtración de orden en D X , definida por el orden de los operadores diferenciales . El anillo graduado asociado gr D X está dado por funciones regulares en el fibrado cotangente T ∗ X .
La variedad característica se define como la subvariedad del fibrado cotangente recortado por el radical del aniquilador de gr M , donde nuevamente M está dotado de una filtración adecuada (con respecto a la filtración de orden en D X ). Como es habitual, la construcción afín se adhiere entonces a variedades arbitrarias.
La desigualdad de Bernstein sigue siendo válida para cualquier variedad (suave) X. Si bien el límite superior es una consecuencia inmediata de la interpretación anterior de gr D X en términos del fibrado cotangente, el límite inferior es más sutil.
Los módulos holonómicos tienen tendencia a comportarse como espacios vectoriales de dimensión finita. Por ejemplo, su longitud es finita. Además, M es holonómico si y solo si todos los grupos de cohomología del complejo L i ∗ ( M ) son espacios vectoriales K de dimensión finita , donde i es la inmersión cerrada de cualquier punto de X .
Para cualquier D -módulo M , el módulo dual se define por
Los módulos holonómicos también pueden caracterizarse por una condición homológica : M es holonómico si y solo si D( M ) está concentrado (visto como un objeto en la categoría derivada de D -módulos) en grado 0. Este hecho es un primer vistazo a la dualidad de Verdier y la correspondencia de Riemann-Hilbert . Se demuestra extendiendo el estudio homológico de los anillos regulares (especialmente lo que está relacionado con la dimensión homológica global ) al anillo filtrado D X .
Otra caracterización de los módulos holonómicos es mediante geometría simpléctica . La variedad característica Ch( M ) de cualquier D -módulo M es, vista como una subvariedad del fibrado cotangente T ∗ X de X , una variedad involutiva . El módulo es holonómico si y solo si Ch( M ) es lagrangiano .
Una de las primeras aplicaciones de los módulos D holonómicos fue el polinomio de Bernstein-Sato .
La conjetura de Kazhdan-Lusztig se demostró utilizando D -módulos.
La correspondencia de Riemann-Hilbert establece un vínculo entre ciertos módulos D y haces construibles. Como tal, proporcionó una motivación para introducir haces perversos .
Los módulos D también se aplican en la teoría de la representación geométrica. Un resultado principal en esta área es la localización de Beilinson-Bernstein . Relaciona los módulos D en variedades de bandera G / B con representaciones del álgebra de Lie de un grupo reductivo G. Los módulos D también son cruciales en la formulación del programa geométrico de Langlands .
![{\displaystyle \nabla _{[v,w]}(m)=[\nabla _{v},\nabla _{w}](m)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a06bb187657aa1ad15ccde4ae43b5f323ca374fc)
![{\displaystyle \mathrm {D} (M):={\mathcal {R}}\operatorname {Hom} (M,D_{X})\otimes \Omega _{X}^{-1}[\dim X ].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f8b3408ba48524655bdd8c1830519ff88430c80)
