Polinomio de Bernstein-Sato

Polinomio relacionado con operadores diferenciales.

En matemáticas , el polinomio de Bernstein-Sato es un polinomio relacionado con operadores diferenciales , introducido de forma independiente por Joseph Bernstein  (1971) y Mikio Sato y Takuro Shintani (1972, 1974), Sato (1990). También se conoce como función b , polinomio b y polinomio de Bernstein , aunque no está relacionado con los polinomios de Bernstein utilizados en la teoría de la aproximación . Tiene aplicaciones a la teoría de la singularidad , la teoría de la monodromía y la teoría cuántica de campos .

Severino Coutinho (1995) ofrece una introducción elemental, mientras que Armand Borel  (1987) y Masaki Kashiwara  (2003) ofrecen explicaciones más avanzadas.

Definición y propiedades

Si es un polinomio en varias variables, entonces hay un polinomio distinto de cero y un operador diferencial con coeficientes polinomiales tales que ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle b(s)}$ ${\displaystyle P(s)}$

${\displaystyle P(s)f(x)^{s+1}=b(s)f(x)^{s}.}$

El polinomio de Bernstein-Sato es el polinomio mónico de menor grado entre estos polinomios . Su existencia se puede demostrar utilizando la noción de módulos D holonómicos . ${\displaystyle b(s)}$

Kashiwara (1976) demostró que todas las raíces del polinomio de Bernstein-Sato son números racionales negativos .

El polinomio de Bernstein-Sato también se puede definir para productos de potencias de varios polinomios (Sabbah 1987). En este caso es producto de factores lineales con coeficientes racionales. ^{[ cita necesaria ]}

Nero Budur, Mircea Mustață y Morihiko Saito  (2006) generalizaron el polinomio de Bernstein-Sato a variedades arbitrarias.

Tenga en cuenta que el polinomio de Bernstein-Sato se puede calcular algorítmicamente. Sin embargo, estos cálculos son difíciles en general. Existen implementaciones de algoritmos relacionados en sistemas de álgebra informática RISA/Asir, Macaulay2 y SINGULAR .

Daniel Andres, Viktor Levandovskyy y Jorge Martín-Morales (2009) presentaron algoritmos para calcular el polinomio de Bernstein-Sato de una variedad afín junto con una implementación en el sistema de álgebra informática SINGULAR .

Christine Berkesch y Anton Leykin (2010) describieron algunos de los algoritmos para calcular polinomios de Bernstein-Sato por computadora.

Ejemplos

• Si entonces ${\displaystyle f(x)=x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}\,}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\partial _{i}^{2}f(x)^{s+1}=4(s+1)\left(s+{\frac {n}{2}}\right)f(x)^{s}}$

entonces el polinomio de Bernstein-Sato es

${\displaystyle b(s)=(s+1)\left(s+{\frac {n}{2}}\right).}$

• Si entonces ${\displaystyle f(x)=x_{1}^{n_{1}}x_{2}^{n_{2}}\cdots x_{r}^{n_{r}}}$

${\displaystyle \prod _{j=1}^{r}\partial _{x_{j}}^{n_{j}}\quad f(x)^{s+1}=\prod _{j=1}^{r}\prod _{i=1}^{n_{j}}(n_{j}s+i)\quad f(x)^{s}}$

entonces

${\displaystyle b(s)=\prod _{j=1}^{r}\prod _{i=1}^{n_{j}}\left(s+{\frac {i}{n_{j}}}\right).}$

• El polinomio de Bernstein-Sato de x ²  +  y ³ es

${\displaystyle (s+1)\left(s+{\frac {5}{6}}\right)\left(s+{\frac {7}{6}}\right).}$

• Si t _ij son n ^{2 variables, entonces el polinomio} _de Bernstein-Sato de det( tij ) viene dado por

${\displaystyle (s+1)(s+2)\cdots (s+n)}$

que se sigue de

${\displaystyle \Omega (\det(t_{ij})^{s})=s(s+1)\cdots (s+n-1)\det(t_{ij})^{s-1}}$

donde Ω es el proceso omega de Cayley , que a su vez se deriva de la identidad de Capelli .

Aplicaciones

• Si es un polinomio no negativo, entonces , inicialmente definido para s con parte real no negativa, puede continuar analíticamente hasta una función meromórfica con valor de distribución de s usando repetidamente la ecuación funcional ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(x)^{s}}$

${\displaystyle f(x)^{s}={1 \over b(s)}P(s)f(x)^{s+1}.}$

Puede tener polos siempre que b ( s  +  n ) sea cero para un número entero no negativo n .

• Si f ( x ) es un polinomio, no idénticamente cero, entonces tiene una g inversa que es una distribución; ^[a] en otras palabras, f g  = 1 como distribuciones. Si f ( x ) no es negativo, la inversa se puede construir usando el polinomio de Bernstein-Sato tomando el término constante de la expansión de Laurent de f ( x ) ^s en s  = −1. Para f ( x ) arbitraria simplemente multiplica por el inverso de ${\displaystyle {\bar {f}}(x)}$ ${\displaystyle {\bar {f}}(x)f(x).}$
• El teorema de Malgrange-Ehrenpreis establece que todo operador diferencial con coeficientes constantes tiene una función de Green . Al tomar la transformada de Fourier, esto se desprende del hecho de que todo polinomio tiene una inversa distribucional, lo cual se demuestra en el párrafo anterior.
• Pavel Etingof  (1999) mostró cómo utilizar el polinomio de Bernstein para definir rigurosamente la regularización dimensional , en el caso euclidiano masivo.
• La ecuación funcional de Bernstein-Sato se utiliza en cálculos de algunos de los tipos más complejos de integrales singulares que aparecen en la teoría cuántica de campos Fyodor Tkachov (1997). Estos cálculos son necesarios para mediciones de precisión en la física de partículas elementales, como se practica, por ejemplo, en el CERN (véanse los artículos que citan a (Tkachov 1997)). Sin embargo, los casos más interesantes requieren una generalización simple de la ecuación funcional de Bernstein-Sato al producto de dos polinomios , donde x tiene de 2 a 6 componentes escalares y el par de polinomios tiene órdenes 2 y 3. Desafortunadamente, una determinación de fuerza bruta de los operadores diferenciales correspondientes y para tales casos ha resultado hasta ahora prohibitivamente engorroso. Idear formas de evitar la explosión combinatoria del algoritmo de fuerza bruta sería de gran valor en tales aplicaciones. ${\displaystyle (f_{1}(x))^{s_{1}}(f_{2}(x))^{s_{2}}}$ ${\displaystyle P(s_{1},s_{2})}$ ${\displaystyle b(s_{1},s_{2})}$

Notas

1. Advertencia: La inversa no es única en general, porque si f tiene ceros entonces hay distribuciones cuyo producto con f es cero, y sumar una de estas a una inversa de f es otra inversa de f .

Referencias

• Andrés, Daniel; Levandovskyy, Viktor; Martín-Morales, Jorge (2009). "Intersección principal y polinomio de bernstein-sato de una variedad afín". Actas del simposio internacional de 2009 sobre computación simbólica y algebraica . Asociación para Maquinaria de Computación . págs. 231-238. arXiv : 1002.3644 . doi :10.1145/1576702.1576735. ISBN 9781605586090. S2CID  2747775.
• Berkesch, Christine; Leykin, Antón (2010). "Algoritmos de Bernstein: polinomios de Sato e ideales multiplicadores". Actas del Simposio internacional de 2010 sobre computación simbólica y algebraica . págs. 99-106. arXiv : 1002.1475 . doi :10.1145/1837934.1837958. ISBN 9781450301503. S2CID  33730581.
• Bernstein, José (1971). "Módulos sobre anillo de operadores diferenciales. Estudio de las soluciones fundamentales de ecuaciones con coeficientes constantes". Análisis funcional y sus aplicaciones . 5 (2): 89-101. doi :10.1007/BF01076413. SEÑOR  0290097. S2CID  124605141.
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• Kashiwara, Masaki (1976). "Funciones B y sistemas holonómicos. Racionalidad de raíces de funciones B". Invenciones Mathematicae . 38 (1): 33–53. Código Bib : 1976 InMat..38...33K. doi :10.1007/BF01390168. SEÑOR  0430304. S2CID  17103403.
• Kashiwara, Masaki (2003). Módulos D y cálculo microlocal . Traducciones de monografías matemáticas. vol. 217. Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 978-0-8218-2766-6. SEÑOR  1943036.
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• Sato, Mikio ; Shintani, Takuro (1972). "Sobre funciones zeta asociadas a espacios vectoriales prehomogéneos". Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América . 69 (5): 1081–1082. Código bibliográfico : 1972PNAS...69.1081S. doi : 10.1073/pnas.69.5.1081 . JSTOR  61638. SEÑOR  0296079. PMC  426633 . PMID  16591979.
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