Regularización dimensional

Método para evaluar integrales divergentes.

En física teórica , la regularización dimensional es un método introducido por Giambiagi y Bollini ^[1] , así como, de forma independiente y más completa ^[2] , por 't Hooft y Veltman ^[3] para regularizar integrales en la evaluación de diagramas de Feynman ; en otras palabras, asignándoles valores que son funciones meromórficas de un parámetro complejo d , la continuación analítica del número de dimensiones del espacio-tiempo.

La regularización dimensional escribe una integral de Feynman como una integral dependiendo de la dimensión del espacio-tiempo d y las distancias al cuadrado ( x _i − x _j ) ² de los puntos del espacio-tiempo x _i , ... que aparecen en ella. En el espacio euclidiano , la integral a menudo converge para −Re( d ) suficientemente grande y puede continuar analíticamente desde esta región hasta una función meromórfica definida para todo d complejo . En general, habrá un polo en el valor físico (generalmente 4) de d , que debe cancelarse mediante renormalización para obtener cantidades físicas. Etingof (1999) demostró que la regularización dimensional está matemáticamente bien definida, al menos en el caso de campos euclidianos masivos, utilizando el polinomio de Bernstein-Sato para llevar a cabo la continuación analítica.

Aunque el método se comprende mejor cuando se restan los polos y d se reemplaza nuevamente por 4, también ha dado algunos éxitos cuando se toma d para aproximarse a otro valor entero donde la teoría parece estar fuertemente acoplada, como en el caso de la Punto fijo de Wilson-Fisher . Un paso más es tomarse en serio la interpolación a través de dimensiones fraccionarias. Esto ha llevado a algunos autores a sugerir que la regularización dimensional puede usarse para estudiar la física de cristales que macroscópicamente parecen fractales . ^[4]

Se ha argumentado que la regularización de la función Zeta y la regularización dimensional son equivalentes ya que utilizan el mismo principio de utilizar la continuación analítica para que una serie o integral converja. ^[5]

Ejemplo: potencial de una línea cargada infinita

^[6]

Considere una línea cargada infinita con densidad de carga y calculamos el potencial de un punto alejado de la línea. La integral diverge: ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle V(x)=A\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dy}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}$$

${\displaystyle A=s/(4\pi \epsilon _{0}).}$

Dado que la línea cargada tiene "simetría esférica" ​​unidimensional (que en una dimensión es simplemente simetría especular), podemos reescribir la integral para explotar la simetría esférica:

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dy}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dt}{\sqrt {(x/x_{0})^{2}+t^{2}}}}=\int _{0}^{\infty }{\frac {\mathrm {vol} (S^{1})dr}{\sqrt {(x/x_{0})^{2}+r^{2}}}}}$$

${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$ ${\displaystyle S^{1}}$

Ahora generalizamos esto en dimensión . El volumen de una d-esfera es , donde está la función gamma . Ahora la integral se convierte ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle {\frac {2\pi ^{d/2}}{\Gamma (d/2)}}}$ ${\displaystyle \Gamma }$

$${\displaystyle {\frac {2\pi ^{d/2}}{\Gamma (d/2)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {r^{d-1}dr}{\sqrt {(x/x_{0})^{2}+r^{2}}}}}$$

notación theta grande ${\displaystyle d=1-\epsilon }$ ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {r^{d-1}dr}{\sqrt {(x/x_{0})^{2}+r^{2}}}}\sim \int _{c}^{\infty }r^{d-2}dr={\frac {1}{d-1}}c^{d-1}=\epsilon ^{-1}c^{-\epsilon },}$ ${\displaystyle c=\Theta (x/x_{0})}$ ${\displaystyle V(x)\sim (x_{0}/x)^{\epsilon }/\epsilon }$ ${\displaystyle V'(x)\sim x^{-1}}$

Ejemplo

Supongamos que se desea regularizar dimensionalmente una integral de bucle que es logarítmicamente divergente en cuatro dimensiones, como

${\displaystyle I=\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {1}{\left(p^{2}+m^{2}\right)^{2}}}.}$

Primero, escriba la integral en un número general de dimensiones no entero , donde luego se considerará pequeño, ${\displaystyle d=4-\varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon }$

$${\displaystyle I=\int {\frac {d^{d}p}{(2\pi )^{d}}}{\frac {1}{\left(p^{2}+m^{2}\right)^{2}}}.}$$

^[7] ${\displaystyle p^{2}}$

$${\displaystyle \int d^{d}p\,f(p^{2})={\frac {2\pi ^{d/2}}{\Gamma (d/2)}}\int _{0}^{\infty }dp\,p^{d-1}f(p^{2}).}$$

definimos ${\displaystyle d=3}$ ${\textstyle \int _{0}^{\infty }dp\,4\pi p^{2}f(p^{2})}$

$${\displaystyle I=\int _{0}^{\infty }{\frac {dp}{(2\pi )^{4-\varepsilon }}}{\frac {2\pi ^{(4-\varepsilon )/2}}{\Gamma \left({\frac {4-\varepsilon }{2}}\right)}}{\frac {p^{3-\varepsilon }}{\left(p^{2}+m^{2}\right)^{2}}}={\frac {2^{\varepsilon -4}\pi ^{{\frac {\varepsilon }{2}}-1}}{\sin \left({\frac {\pi \varepsilon }{2}}\right)\Gamma \left(1-{\frac {\varepsilon }{2}}\right)}}m^{-\varepsilon }={\frac {1}{8\pi ^{2}\varepsilon }}-{\frac {1}{16\pi ^{2}}}\left(\ln {\frac {m^{2}}{4\pi }}+\gamma \right)+{\mathcal {O}}(\varepsilon ).}$$

${\displaystyle \varepsilon \rightarrow 0}$ ${\displaystyle \varepsilon \neq 0}$

Referencias

1. Bollini 1972, pag. 20.
2. Bietenholz, Wolfgang; Prado, Lilian (1 de febrero de 2014). "Física revolucionaria en la Argentina reaccionaria". Física hoy . 67 (2): 38–43. Código Bib : 2014PhT....67b..38B. doi : 10.1063/PT.3.2277 . ISSN  0031-9228.
3. Hooft, G. 't; Veltman, M. (1972), "Regularización y renormalización de campos de calibre", Física Nuclear B , 44 (1): 189–213, Bibcode :1972NuPhB..44..189T, doi :10.1016/0550-3213(72) 90279-9, hdl : 1874/4845 , ISSN  0550-3213
4. Le Guillou, JC; Zinn-Justin, J. (1987). "Exponentes críticos precisos para sistemas similares a Ising en dimensiones no enteras". Revista de físico . 48 .
5. A. Bytsenko, G. Cognola, E. Elizalde, V. Moretti y S. Zerbini, Aspectos analíticos del campo cuántico , World Scientific Publishing, 2003, ISBN 981-238-364-6 
6. Olness, Fredrick; Scalise, Randall (marzo de 2011). "Regularización, renormalización y análisis dimensional: la regularización dimensional se encuentra con la E&M de primer año". Revista Estadounidense de Física . 79 (3): 306–312. arXiv : 0812.3578 . doi : 10.1119/1.3535586. ISSN  0002-9505. S2CID  13148774.
7. Peskin, Michael Edward (2019). Una introducción a la teoría cuántica de campos. Daniel V. Schroeder. Boca Ratón. ISBN 978-0-201-50397-5. OCLC  1101381398.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)

Otras lecturas

• Bollini, Carlos; Giambiagi, Juan Jose (1972), "Renormalización dimensional: el número de dimensiones como parámetro de regularización", Il Nuovo Cimento B , 12 (1): 20–26, Bibcode :1972NCimB..12...20B, doi : 10.1007/BF02895558, S2CID  123505054
• Etingof, Pavel (1999), "Nota sobre la regularización dimensional", Campos y cadenas cuánticos: un curso para matemáticos, vol. 1, (Princeton, Nueva Jersey, 1996/1997) , Providence, RI: Amer. Matemáticas. Soc., págs. 597–607, ISBN 978-0-8218-2012-4, SEÑOR  1701608
• Hooft, G. 't; Veltman, M. (1972), "Regularización y renormalización de campos de calibre", Física Nuclear B , 44 (1): 189–213, Bibcode :1972NuPhB..44..189T, doi :10.1016/0550-3213(72) 90279-9, hdl : 1874/4845 , ISSN  0550-3213