Carácter de orientación

En topología algebraica , una rama de las matemáticas , un carácter de orientación en un grupo es un homomorfismo de grupo donde: ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle \omega \colon \pi \to \left\{\pm 1\right\}}$

Esta noción es de particular importancia en la teoría de la cirugía .

Motivación

Dada una variedad M , se toma (el grupo fundamental ) y luego se envía un elemento de a si y solo si la clase que representa es de inversión de orientación. ${\displaystyle \pi =\pi _{1}M}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle -1}$

Este mapa es trivial si y sólo si M es orientable . ${\displaystyle \omega }$

El carácter de orientación es una estructura algebraica en el grupo fundamental de una variedad, que captura qué bucles invierten la orientación y cuáles preservan la orientación.

Álgebra de grupos retorcidos

El carácter de orientación define una involución torcida ( estructura de anillo * ) en el anillo de grupo , mediante (es decir , según se preserva o invierte la orientación). Esto se denota . ${\displaystyle \mathbf {Z} [\pi ]}$ ${\displaystyle g\mapsto \omega (g)g^{-1}}$ ${\displaystyle \pm g^{-1}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} [\pi ]^{\omega }}$

Ejemplos

• En espacios proyectivos reales , el carácter de orientación evalúa trivialmente en bucles si la dimensión es impar y asigna -1 a bucles no contráctiles en dimensión par.

Propiedades

El carácter de orientación es trivial o tiene un subgrupo de índice 2, que determina el mapa por completo.

Ver también

• Clase característica
• sistema local
• La retorcida dualidad de Poincaré

Referencias

enlaces externos

• Carácter de orientación en el Atlas múltiple