Teorema del ciclo invariante local

Teorema del ciclo invariante

En matemáticas, el teorema del ciclo invariante local fue originalmente una conjetura de Griffiths ^{[1] [2]} que establece que, dada una función propia sobreyectiva de una variedad de Kähler al disco unitario que tiene rango máximo en todas partes excepto sobre 0, cada clase de cohomología en es la restricción de alguna clase de cohomología en todo si la clase de cohomología es invariante bajo una acción circular (acción de monodromía); en resumen, ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p^{-1}(t),t\neq 0}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \operatorname {H} ^{*}(X)\to \operatorname {H} ^{*}(p^{-1}(t))^{S^{1}}}$

es sobreyectiva. La conjetura fue demostrada por primera vez por Clemens. El teorema también es una consecuencia de la descomposición BBD . ^[3]

Deligne también demostró lo siguiente. ^{[4] [5]} Dado un morfismo apropiado sobre el espectro de la henselización de , un cuerpo algebraicamente cerrado, si es esencialmente suave sobre y suave sobre , entonces el homomorfismo en -cohomología: ${\displaystyle X\to S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle k[T]}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X_{\overline {\eta }}}$ ${\displaystyle {\overline {\eta }}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle \operatorname {H} ^{*}(X_{s})\to \operatorname {H} ^{*}(X_{\overline {\eta }})^{\operatorname {Gal} ({\overline {\eta }}/\eta )}}$

es sobreyectiva, donde están los puntos especiales y genéricos y el homomorfismo es la composición ${\displaystyle s,\eta }$ ${\displaystyle \operatorname {H} ^{*}(X_{s})\simeq \operatorname {H} ^{*}(X)\to \operatorname {H} ^{*}(X_{\eta })\to \operatorname {H} ^{*}(X_{\overline {\eta }}).}$

Véase también

• Teoría de Hodge

Notas

1. Clemens 1977, Introducción
2. Griffiths 1970, Conjetura 8.1.
3. Beilinson, Bernstein y Deligne 1982, Corolaire 6.2.9.
4. Deligne 1980, Teorème 3.6.1.
5. Deligne 1980, (3.6.4.)

Referencias

• Beilinson, Alexander A .; Bernstein, José ; Deligne, Pierre (1982). "Pervertidos Faisceaux". Astérisque (en francés). 100 . París: Société Mathématique de France . SEÑOR  0751966.
• Clemens, CH (1977). "Degeneración de variedades de Kähler". Duke Mathematical Journal . 44 (2). doi :10.1215/S0012-7094-77-04410-6. S2CID  120378293.
• Deligne, Pierre (1980). «La conjetura de Weil: II» (PDF) . Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 52 : 137–252. doi :10.1007/BF02684780. SEÑOR  0601520. S2CID  189769469. Zbl  0456.14014.
• Griffiths, Phillip A. (1970). "Períodos de integrales en variedades algebraicas: Resumen de los resultados principales y discusión de problemas abiertos". Boletín de la Sociedad Americana de Matemáticas . 76 (2): 228–296. doi : 10.1090/S0002-9904-1970-12444-2 .
• Morrison, David R. La secuencia exacta de Clemens-Schmid y sus aplicaciones, Temas de geometría algebraica trascendental (Princeton, NJ, 1981/1982), 101-119, Ann. of Math. Stud., 106, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 1984. [1]