En matemáticas , la dualidad de Spanier-Whitehead es una teoría de la dualidad en la teoría de la homotopía , basada en una idea geométrica de que un espacio topológico X puede considerarse dual con respecto a su complemento en la n - esfera , donde n es lo suficientemente grande. Sus orígenes se encuentran en la teoría de la dualidad de Alexander , en la teoría de la homología , relativa a los complementos en variedades . La teoría también se conoce como S-dualidad , pero esto ahora puede causar una posible confusión con la S-dualidad de la teoría de cuerdas . Lleva el nombre de Edwin Spanier y JHC Whitehead , quienes lo desarrollaron en artículos de 1955.
El punto básico es que los complementos de esfera determinan la homología, pero no el tipo de homotopía , en general. Lo que está determinado, sin embargo, es el tipo de homotopía estable, que fue concebido como una primera aproximación al tipo de homotopía. Por tanto, la dualidad Spanier-Whitehead encaja en la teoría de la homotopía estable .
Sea X una retracción de vecindad compacta en . Entonces y son objetos duales en la categoría de espectros puntiagudos con el producto aplastante como una estructura monoide. Aquí está la unión de y un punto, y son suspensiones reducidas y no reducidas respectivamente.
Tomar homología y cohomología con respecto a un espectro de Eilenberg-MacLane recupera formalmente la dualidad de Alexander .
