Topología equivariante

Estudio de espacios con acciones grupales

En matemáticas , la topología equivariante es el estudio de espacios topológicos que poseen ciertas simetrías. Al estudiar espacios topológicos, a menudo se consideran aplicaciones continuas y, si bien la topología equivariante también considera dichas aplicaciones, existe la restricción adicional de que cada aplicación "respeta la simetría" tanto en su dominio como en el espacio de destino . ${\displaystyle f:X\to Y}$

La noción de simetría se capta generalmente considerando una acción grupal de un grupo sobre y y requiriendo que sea equivariante bajo esta acción, de modo que para todo , una propiedad generalmente denotada por . Heurísticamente hablando, la topología estándar considera dos espacios como equivalentes "hasta la deformación", mientras que la topología equivariante considera espacios equivalentes hasta la deformación siempre que preste atención a cualquier simetría poseída por ambos espacios. Un famoso teorema de la topología equivariante es el teorema de Borsuk-Ulam , que afirma que cada mapa -equivariante necesariamente se desvanece. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(g\cdot x)=g\cdot f(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f:X\to _{G}Y}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} _{2}}$ ${\displaystyle f:S^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$

InducidoGRAMO-paquetes

Una construcción importante utilizada en la cohomología equivariante y otras aplicaciones incluye un haz de grupos de origen natural (ver haz principal para más detalles).

Consideremos primero el caso en el que actúa libremente sobre . Entonces, dada una función -equivariante , obtenemos secciones dadas por , donde obtiene la acción diagonal , y el fibrado es , con fibra y proyección dadas por . A menudo, el espacio total se escribe . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle f:X\to _{G}Y}$ ${\displaystyle s_{f}:X/G\to (X\times Y)/G}$ ${\displaystyle [x]\mapsto [x,f(x)]}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle g(x,y)=(gx,gy)}$ ${\displaystyle p:(X\times Y)/G\to X/G}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle p([x,y])=[x]}$ ${\displaystyle X\times _{G}Y}$

En términos más generales, la asignación en realidad no se asigna a en general. Dado que es equivariante, si (el subgrupo de isotropía), entonces por equivariancia, tenemos que , por lo que de hecho se asignará a la colección de . En este caso, se puede reemplazar el fibrado por un cociente de homotopía donde actúa libremente y es fibrado homotópico al fibrado inducido en por . ${\displaystyle s_{f}}$ ${\displaystyle (X\times Y)/G}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g\in G_{x}}$ ${\displaystyle g\cdot f(x)=f(g\cdot x)=f(x)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \{[x,y]\in (X\times Y)/G\mid G_{x}\subset G_{y}\}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$

Aplicaciones a la geometría discreta

De la misma manera que se puede deducir el teorema del sándwich de jamón a partir del teorema de Borsuk-Ulam, se pueden encontrar muchas aplicaciones de la topología equivariante a problemas de geometría discreta . ^{[1] [2]} Esto se logra utilizando el paradigma del mapa de prueba del espacio de configuración:

Dado un problema geométrico , definimos el espacio de configuración , , que parametriza todas las soluciones asociadas al problema (como puntos, líneas o arcos). Además, consideramos un espacio de prueba y una función donde es una solución a un problema si y solo si . Finalmente, es habitual considerar simetrías naturales en un problema discreto por algún grupo que actúa sobre y de modo que es equivariante bajo estas acciones. El problema se resuelve si podemos demostrar la inexistencia de una función equivariante . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z\subset V}$ ${\displaystyle f:X\to V}$ ${\displaystyle p\in X}$ ${\displaystyle f(p)\in Z}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f:X\to V\setminus Z}$

Las obstrucciones a la existencia de tales mapas se formulan a menudo algebraicamente a partir de los datos topológicos de y . ^[3] Un ejemplo arquetípico de tal obstrucción se puede derivar teniendo un espacio vectorial y . En este caso, un mapa no evanescente también induciría una sección no evanescente a partir de la discusión anterior, por lo que , la clase superior de Stiefel–Whitney tendría que desaparecer. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V\setminus Z}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Z=\{0\}}$ ${\displaystyle s_{f}:x\mapsto [x,f(x)]}$ ${\displaystyle \omega _{n}(X\times _{G}Y)}$

Ejemplos

• El mapa de identidad siempre será equivariante. ${\displaystyle i:X\to X}$
• Si dejamos que actúe antípoda sobre el círculo unitario, entonces es equivariante, ya que es una función impar . ${\displaystyle \mathbf {Z} _{2}}$ ${\displaystyle z\mapsto z^{3}}$
• Cualquier mapa es equivariante cuando actúa trivialmente sobre el cociente, ya que para todo . ${\displaystyle h:X\to X/G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle h(g\cdot x)=h(x)}$ ${\displaystyle x}$

Véase también

• Cohomología equivariante
• Teoría de homotopía estable equivariante
• Espectro G

Referencias

1. Matoušek, Jiří (2003). Uso del teorema de Borsuk-Ulam: lecciones sobre métodos topológicos en combinatoria y geometría . Universitext. Springer.
2. Goodman, Jacob E.; O'Rourke, Joseph, eds. (15 de abril de 2004). Manual de geometría discreta y computacional, segunda edición (2.ª ed.). Boca Raton: Chapman and Hall/CRC. ISBN 9781584883012.
3. Matschke, Benjamin. "Métodos de topología equivariante en geometría discreta" (PDF) .