Esfera de homología

Variedad topológica cuya homología coincide con la de una esfera.

En topología algebraica , una esfera de homología es una n - variedad X que tiene los grupos de homología de una n - esfera , para algún número entero . Eso es, ${\displaystyle n\geq 1}$

${\displaystyle H_{0}(X,\mathbb {Z} )=H_{n}(X,\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} }$

y

${\displaystyle H_{i}(X,\mathbb {Z} )=\{0\}}$para todos los demás yo .

Por lo tanto, X es un espacio conexo , con un número de Betti mayor distinto de cero , es decir ,. No se sigue que X sea simplemente conexo , sólo que su grupo fundamental es perfecto (ver teorema de Hurewicz ). ${\displaystyle b_{n}=1}$

Una esfera de homología racional se define de manera similar pero utilizando homología con coeficientes racionales.

Esfera de homología de Poincaré

La esfera de homología de Poincaré (también conocida como espacio dodecaédrico de Poincaré) es un ejemplo particular de esfera de homología, construida por primera vez por Henri Poincaré . Al ser una variedad esférica de 3 , es la única 3-esfera de homología (además de la 3-esfera misma) con un grupo fundamental finito . Su grupo fundamental se conoce como grupo icosaédrico binario y tiene orden 120. Dado que el grupo fundamental de las 3 esferas es trivial, esto muestra que existen 3 variedades con los mismos grupos de homología que las 3 esferas que no son homeomórficas para él.

Construcción

Una construcción sencilla de este espacio comienza con un dodecaedro . Cada cara del dodecaedro se identifica con su cara opuesta, utilizando el mínimo giro en el sentido de las agujas del reloj para alinear las caras. Pegar cada par de caras opuestas usando esta identificación produce una variedad 3 cerrada. (Consulte el espacio de Seifert-Weber para ver una construcción similar, que utiliza más "giro", lo que da como resultado una variedad 3 hiperbólica ).

Alternativamente, la esfera de homología de Poincaré se puede construir como el espacio cociente SO(3) /I donde I es el grupo icosaédrico (es decir, el grupo de simetría rotacional del icosaedro y dodecaedro regulares, isomorfo al grupo alterno A ₅ ). De manera más intuitiva, esto significa que la esfera de homología de Poincaré es el espacio de todas las posiciones geométricamente distinguibles de un icosaedro (con centro y diámetro fijos) en el espacio tridimensional euclidiano. En cambio, también se puede pasar a la cobertura universal de SO (3), que puede representarse como el grupo de cuaterniones unitarios y es homeomorfo a las 3 esferas. En este caso, la esfera de homología de Poincaré es isomorfa a donde está el grupo icosaédrico binario , la doble cubierta perfecta de I incrustada en . ${\displaystyle S^{3}/{\widetilde {I}}}$ ${\displaystyle {\widetilde {I}}}$ ${\displaystyle S^{3}}$

Otro enfoque es mediante la cirugía de Dehn . La esfera de homología de Poincaré resulta de la cirugía +1 en el nudo trébol diestro .

Cosmología

En 2003, la falta de estructura en las escalas más grandes (por encima de 60 grados) en el fondo cósmico de microondas , observada durante un año por la nave espacial WMAP , llevó a la sugerencia, por parte de Jean-Pierre Luminet del Observatorio de París y sus colegas, de que la forma del universo es una esfera de Poincaré . ^{[1] [2]} En 2008, los astrónomos encontraron la mejor orientación en el cielo para el modelo y confirmaron algunas de las predicciones del modelo, utilizando tres años de observaciones realizadas por la nave espacial WMAP. ^[3] A partir de 2016, la publicación del análisis de datos de la nave espacial Planck sugiere que no existe una topología no trivial observable en el universo. ^[4]

Construcciones y ejemplos.

• La cirugía en un nudo en las 3 esferas S ³ con encuadre +1 o −1 da una esfera de homología.
• De manera más general, la cirugía en un vínculo proporciona una esfera de homología siempre que la matriz dada por los números de intersección (fuera de la diagonal) y los marcos (en la diagonal) tiene determinante +1 o −1.
• Si p , q y r son números enteros positivos relativamente primos por pares, entonces el vínculo de la singularidad x ^p + y ^q + z ^r = 0 (en otras palabras, la intersección de una pequeña 3 esferas alrededor de 0 con esta superficie compleja) es una variedad de Brieskorn que es una homología de 3 esferas, llamada Brieskorn de 3 esferas Σ ( p , q , r ). Es homeomorfo a las 3 esferas estándar si una de p , q y r es 1, y Σ(2, 3, 5) es la esfera de Poincaré.
• La suma conectada de dos 3 esferas de homología orientadas es una 3 esferas de homología. Una homología de 3 esferas que no se puede escribir como una suma conectada de dos homologías de 3 esferas se llama irreducible o prima , y ​​cada homología de 3 esferas se puede escribir como una suma conectada de homologías de 3 esferas primas de una manera esencialmente única. (Ver Descomposición primaria (3 colectores) .)
• Supongamos que son números enteros todos al menos 2, de modo que dos cualesquiera sean coprimos. Entonces el espacio de fibras de Seifert ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{r}}$

${\displaystyle \{b,(o_{1},0);(a_{1},b_{1}),\dots ,(a_{r},b_{r})\}\,}$

sobre la esfera con fibras excepcionales de grados a ₁ , ..., a _r es una esfera de homología, donde las b se eligen de modo que

${\displaystyle b+b_{1}/a_{1}+\cdots +b_{r}/a_{r}=1/(a_{1}\cdots a_{r}).}$

(Siempre hay una manera de elegir las b ′, y la esfera de homología no depende (hasta el isomorfismo) de la elección de las b ′.) Si r es como máximo 2, esta es simplemente la 3 esfera habitual; de lo contrario, son esferas de homología distintas y no triviales. Si las a son 2, 3 y 5, esto da la esfera de Poincaré. Si hay al menos 3 a 's, no 2, 3, 5, entonces esta es una 3-esfera de homología acíclica con un grupo fundamental infinito que tiene una geometría de Thurston modelada en la cubierta universal de SL ₂ ( R ) .

Invariantes

• El invariante de Rokhlin es un invariante valorado de homología de 3 esferas. ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$
• El invariante de Casson es un invariante de valor entero de homología de 3 esferas, cuya reducción mod 2 es el invariante de Rokhlin.

Aplicaciones

Si A es una homología de 3 esferas no homeomórfica a la de 3 esferas estándar, entonces la suspensión de A es un ejemplo de una variedad de homología de 4 dimensiones que no es una variedad topológica . La doble suspensión de A es homeomorfa a la estándar de 5 esferas, pero su triangulación (inducida por alguna triangulación de A ) no es una variedad PL . En otras palabras, esto da un ejemplo de un complejo simplicial finito que es una variedad topológica pero no una variedad PL. (No es una variedad PL porque el vínculo de un punto no siempre es una esfera de 4).

Galewski y Stern demostraron que todas las variedades topológicas compactas (sin límite) de dimensión al menos 5 son homeomorfas a complejos simpliciales si y sólo si existe una homología 3 esfera Σ con el invariante 1 de Rokhlin tal que la suma conectada Σ#Σ de Σ consigo misma limita una variedad 4 acíclica suave. En 2013, ^[actualizar]la existencia de dicha homología de 3 esferas era un problema sin resolver. El 11 de marzo de 2013, Ciprian Manolescu demostró ^[5] que no existe tal esfera de homología con la propiedad dada y, por lo tanto, hay 5 variedades no homeomorfas a complejos simpliciales. En particular, el ejemplo dado originalmente por Galewski y Stern ^[6] no es triangular.

Ver también

• Espacio Eilenberg-MacLane
• Espacio de Moore (topología algebraica)

Referencias

1. "¿Es el universo un dodecaedro?", artículo en PhysicsWorld.
2. Luminet, Jean-Pierre ; Semanas, Jeff ; Riazuelo, Alain; Lehoucq, Roland; Uzan, Jean-Phillipe (9 de octubre de 2003). "La topología del espacio dodecaédrico como explicación de las débiles correlaciones de temperatura de gran angular en el fondo cósmico de microondas". Naturaleza . 425 (6958): 593–595. arXiv : astro-ph/0310253 . Código Bib :2003Natur.425..593L. doi : 10.1038/naturaleza01944. PMID  14534579. S2CID  4380713.
3. Roukema, Boudewijn; Buliński, Zbigniew; Szaniewska, Agnieszka; Gaudín, Nicolás E. (2008). "Una prueba de la hipótesis de la topología del espacio dodecaédrico de Poincaré con los datos WMAP CMB". Astronomía y Astrofísica . 482 (3): 747–753. arXiv : 0801.0006 . Código Bib : 2008A y A...482..747L. doi :10.1051/0004-6361:20078777. S2CID  1616362.
4. Colaboración Planck, "Resultados de Planck 2015. XVIII. Geometría y topología de fondo", (2015) ArXiv 1502.01593
5. Manolescu, Ciprián (2016). "Homología de Seiberg-Witten Floer equivalente a Pin (2) y la conjetura de triangulación". Revista de la Sociedad Matemática Estadounidense . 29 : 147-176. arXiv : 1303.2354 . doi : 10.1090/jams829 .
6. Galewski, David; Popa, Ronald (1979). "Una variedad universal de 5 con respecto a triangulaciones simpliciales". Topología geométrica (Actas de la Conferencia de topología de Georgia, Atenas, Georgia, 1977) . Nueva York-Londres: Academic Press . págs. 345–350. SEÑOR  0537740.

Lectura seleccionada

• Dror, Emmanuel (1973). "Esferas de homología". Revista Israelí de Matemáticas . 15 (2): 115-129. doi :10.1007/BF02764597. SEÑOR  0328926. S2CID  189796498.
• Galewski, David; Popa, Ronald (1980). "Clasificación de triangulaciones simpliciales de variedades topológicas". Anales de Matemáticas . 111 (1): 1–34. doi :10.2307/1971215. JSTOR  1971215. SEÑOR  0558395.
• Robion Kirby , Martin Scharlemann, Ocho caras de las 3 esferas de homología de Poincaré . Topología geométrica (Proc. Georgia Topology Conf., Atenas, Georgia, 1977), págs. 113-146, Academic Press , Nueva York-Londres, 1979.
• Kervaire, Michel (1969). "Esferas de suave homología y sus grupos fundamentales". Transacciones de la Sociedad Matemática Estadounidense . 144 : 67–72. doi : 10.1090/S0002-9947-1969-0253347-3 . JSTOR  1995269. SEÑOR  0253347. S2CID  54063849.
• Nikolai Saveliev, Invariantes de homología de 3 esferas , Encyclopaedia of Mathematical Sciences, vol 140. Topología de baja dimensión, I. Springer-Verlag, Berlín, 2002. MR 1941324 ISBN 3-540-43796-7 

enlaces externos

• Una triangulación de 16 vértices de la homología de Poincaré de 3 esferas y esferas no PL con pocos vértices por Anders Björner y Frank H. Lutz
• Conferencia de David Gillman sobre La mejor imagen de la esfera de homología de Poincaré