Dualidad de Alexander

Teoría matemática

En matemáticas , la dualidad de Alexander se refiere a una teoría de dualidad iniciada por un resultado de J. W. Alexander en 1915, y posteriormente desarrollada, en particular por Pavel Alexandrov y Lev Pontryagin . Se aplica a las propiedades de la teoría de homología del complemento de un subespacio X en el espacio euclidiano , una esfera u otra variedad . Se generaliza mediante la dualidad de Spanier-Whitehead .

Declaración general para esferas

Sea un subespacio compacto , localmente contráctil , de la esfera de dimensión n . Sea el complemento de en . Entonces, si representa homología reducida o cohomología reducida , con coeficientes en un grupo abeliano dado , existe un isomorfismo. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle S^{n}\setminus X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle {\tilde {H}}}$

${\displaystyle {\tilde {H}}_{q}(S^{n}\setminus X)\cong {\tilde {H}}^{n-q-1}(X)}$

para todos . Nótese que podemos descartar la contractibilidad local como parte de la hipótesis si utilizamos la cohomología de Čech , que está diseñada para tratar patologías locales. ${\displaystyle q\geq 0}$

Aplicaciones

Esto es útil para calcular la cohomología de los complementos de nudo y enlace en . Recordemos que un nudo es una incrustación y un enlace es una unión disjunta de nudos, como los anillos borromeos . Entonces, si escribimos el enlace/nudo como , tenemos ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle K\colon S^{1}\hookrightarrow S^{3}}$ ${\displaystyle L}$

${\displaystyle {\tilde {H}}_{q}(S^{3}\setminus L)\cong {\tilde {H}}^{3-q-1}(L)}$,

dando un método para calcular los grupos de cohomología. Entonces, es posible diferenciar entre diferentes enlaces utilizando los productos de Massey . ^[1] Por ejemplo, para los anillos de Borromeo , los grupos de homología son ${\displaystyle L}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {H}}_{0}(S^{3}\setminus L)&\cong {\tilde {H}}^{2}(L)=0\\{\tilde {H}}_{1}(S^{3}\setminus L)&\cong {\tilde {H}}^{1}(L)=\mathbb {Z} ^{\oplus 3}\\{\tilde {H}}_{2}(S^{3}\setminus L)&\cong {\tilde {H}}^{0}(L)=\mathbb {Z} ^{\oplus 2}\\{\tilde {H}}_{3}(S^{3}\setminus L)&\cong 0\\\end{aligned}}}$

Dualidad combinatoria de Alexander

Sea un complejo simplicial abstracto sobre un conjunto de vértices de tamaño . El dual de Alexander de se define como el complejo simplicial sobre cuyas caras hay complementos de no caras de . Es decir ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle X^{*}=\{\sigma \ \colon \ V\setminus \sigma \not \in X\}}$.

Tenga en cuenta que . ${\displaystyle (X^{*})^{*}=X}$

La dualidad de Alexander implica el siguiente análogo combinatorio (para homología y cohomología reducidas , con coeficientes en cualquier grupo abeliano dado ):

${\displaystyle {\tilde {H}}_{q}(X^{*})\cong {\tilde {H}}^{n-q-3}(X)}$

para todo . De hecho, esto se puede deducir dejando que sea el -esqueleto del símplex completo en (es decir, es la familia de todos los subconjuntos de tamaño como máximo ) y mostrando que la realización geométrica es homotópicamente equivalente a . Björner y Tancer presentaron una prueba combinatoria elemental y resumieron algunas generalizaciones. ^[2] ${\displaystyle q\geq 0}$ ${\displaystyle Y\simeq S^{n-2}}$ ${\displaystyle (n-2)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle |X^{*}|}$ ${\displaystyle |Y|\setminus |X|}$

Dualidad de Alexander para haces construibles

Para variedades suaves , la dualidad de Alexander es una consecuencia formal de la dualidad de Verdier para haces de grupos abelianos . Más precisamente, si denotamos una variedad suave y dejamos que sea un subespacio cerrado (como un subespacio que representa un ciclo o una subvariedad) representado por la inclusión , y si es un cuerpo, entonces si es un haz de espacios vectoriales - tenemos el siguiente isomorfismo ^{[3] : 307} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y\subset X}$ ${\displaystyle i\colon Y\hookrightarrow X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\in \operatorname {Sh} _{k}(Y)}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle H_{c}^{s}(Y,{\mathcal {F}})^{\vee }\cong \operatorname {Ext} _{k}^{n-s}(i_{*}{\mathcal {F}},\omega _{X}[n-s])}$,

donde el grupo de cohomología de la izquierda es una cohomología de soporte compacto . Podemos descomponer más esta afirmación para comprender mejor lo que significa. Primero, si es el haz constante y es una subvariedad suave, entonces obtenemos ${\displaystyle {\mathcal {F}}={\underline {k}}}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{k}^{n-s}(i_{*}{\mathcal {F}},\omega _{X}[n-r])\cong H_{Y}^{n-s}(X,\omega _{X})}$,

donde el grupo de cohomología de la derecha es la cohomología local con soporte en . Mediante reducciones adicionales, es posible identificar la homología de con la cohomología de . Esto es útil en geometría algebraica para calcular los grupos de cohomología de variedades proyectivas , y se aprovecha para construir una base de la estructura de Hodge de hipersuperficies de grado utilizando el anillo jacobiano . ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X\setminus Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle d}$

El resultado de Alexander en 1915

Refiriéndonos al trabajo original de Alexander, se supone que X es un complejo simplicial .

Alexander tenía poco de los aparatos modernos, y su resultado fue sólo para los números de Betti , con coeficientes tomados módulo 2. Lo que se puede esperar viene de los ejemplos. Por ejemplo, la construcción del toro de Clifford en la 3-esfera muestra que el complemento de un toro sólido es otro toro sólido; que estará abierto si el otro está cerrado, pero esto no afecta a su homología. Cada uno de los toros sólidos es desde el punto de vista de la homotopía un círculo . Si simplemente escribimos los números de Betti

1, 1, 0, 0

del círculo (hasta , ya que estamos en la 3-esfera), luego invierta como ${\displaystyle H_{3}}$

0, 0, 1, 1

y luego desplaza uno hacia la izquierda para obtener

0, 1, 1, 0

Hay una dificultad, ya que no estamos obteniendo lo que teníamos al principio. Por otra parte, el mismo procedimiento aplicado a los números de Betti reducidos , para los cuales el número de Betti inicial se decrementa en 1, comienza con

0, 1, 0, 0

y da

0, 0, 1, 0

De dónde

0, 1, 0, 0.

Esto funciona , prediciendo los números de Betti reducidos del complemento.

El prototipo aquí es el teorema de la curva de Jordan , que topológicamente se refiere al complemento de un círculo en la esfera de Riemann . También cuenta la misma historia. Tenemos los números honestos de Betti

1, 1, 0

del círculo, y por lo tanto

0, 1, 1

Dándole la vuelta y

1, 1, 0

desplazándose hacia la izquierda. Esto devuelve algo diferente de lo que establece el teorema de Jordan, que es que hay dos componentes, cada uno contráctil ( teorema de Schoenflies , para ser precisos sobre lo que se usa aquí). Es decir, la respuesta correcta en números de Betti honestos es

2, 0, 0.

Una vez más, son los números reducidos de Betti los que funcionan. Con ellos, comenzamos con

0, 1, 0

Para terminar con

1, 0, 0.

De estos dos ejemplos, por tanto, se puede inferir la formulación de Alexander: los números de Betti reducidos están relacionados en complementos por ${\displaystyle {\tilde {b}}_{i}}$

${\displaystyle {\tilde {b}}_{i}\to {\tilde {b}}_{n-i-1}}$.

Referencias

1. Massey, William S. (1 de mayo de 1998). "Números de enlace de orden superior" (PDF) . Journal of Knot Theory and Its Ramifications . 7 (3): 393–414. doi :10.1142/S0218216598000206. ISSN  0218-2165. Archivado desde el original el 2 de febrero de 2021.
2. Björner, Anders; Tancer, Martin (diciembre de 2009). "Nota: Dualidad de Alexander combinatoria: una prueba breve y elemental". Geometría discreta y computacional . 42 (4): 586–593. arXiv : 0710.1172 . doi :10.1007/s00454-008-9102-x.
3. Iversen, Birger (1986). Cohomología de gavillas . Texto universitario. Berlín: Springer-Verlag . doi :10.1007/978-3-642-82783-9. ISBN 0-387-16389-1.OCLC 13269489  .

• Hatcher, Allen (2002). Topología algebraica (PDF) . Cambridge: Cambridge University Press . pág. 254. ISBN. 0-521-79540-0.
• "Dualidad de Alexander", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]

Lectura adicional

• Molinero, Esdras; Sturmfels, Bernd (2005). Álgebra conmutativa combinatoria . Textos de Posgrado en Matemáticas . vol. 227. Nueva York, Nueva York: Springer-Verlag . Cap. 5 Alejandro Dualidad . ISBN 0-387-22356-8.