En matemáticas , una pseudovariedad es un tipo especial de espacio topológico . Parece una variedad en la mayoría de sus puntos, pero puede contener singularidades . Por ejemplo, el cono de soluciones de forma una pseudovariedad.
Figura 1: Un toro pinzado
Una pseudovariedad puede considerarse como una realización combinatoria de la idea general de una variedad con singularidades. Los conceptos de orientabilidad , orientación y grado de aplicación tienen sentido para las pseudovariedades y, además, dentro del enfoque combinatorio, las pseudovariedades forman el dominio natural de definición para estos conceptos. [1] [2]
Definición
Un espacio topológico X dotado de una triangulación K es una pseudovariedad n -dimensional si se cumplen las siguientes condiciones: [3]
( puro ) X = | K | es la unión de todos los n - símplices .
Cada ( n –1)-símplice es una cara de exactamente uno o dos n -símplices para n > 1 .
Para cada par de n -símplices σ y σ' en K , existe una secuencia de n -símplices σ = σ 0 , σ 1 , ..., σ k = σ' tales que la intersección σ i ∩ σ i +1 es un ( n −1)-símplice para todo i = 0, ..., k −1.
La condición 3 significa que X es un complejo simplicial fuertemente conexo . [4]
Si requerimos que la Condición 2 se cumpla solo para ( n −1)-símplex en secuencias de n -símplex en la Condición 3, obtenemos una definición equivalente solo para n = 2. Para n ≥ 3 hay ejemplos de variedades no pseudo-combinatorias que están fuertemente conectadas a través de secuencias de n -símplex que satisfacen la Condición 2. [5]
Descomposición
Los n-complejos fuertemente conectados siempre se pueden ensamblar a partir de n -símplex pegando solo dos de ellos en ( n −1)-símplex . Sin embargo, en general, la construcción mediante pegado puede conducir a una no pseudovariedad (ver Figura 2).
Figura 2: pegar una variedad a lo largo de los bordes de la variedad (en verde) puede crear bordes que no sean pseudovariedades (en rojo). Es posible realizar una descomposición cortando (en azul) en un borde singular
Sin embargo, siempre es posible descomponer una superficie no pseudovariedad en partes variedad que se cortan solo en aristas y vértices singulares (véase la Figura 2 en azul). Para algunas superficies son posibles varias opciones no equivalentes (véase la Figura 3).
Figura 3: La superficie no pseudovariedad de la izquierda se puede descomponer en una variedad orientable (central) o en una no orientable (derecha).
Por otro lado, en dimensiones superiores, para n>2, la situación se vuelve bastante complicada.
En general, para n≥3, las n-pseudovariedades no se pueden descomponer en partes de variedad solo cortando en singularidades (ver Figura 4).
Figura 4: Dos 3-pseudovariedades con singularidades (en rojo) que no se pueden dividir en partes múltiples solo cortando en las singularidades.
Para n≥3, hay n-complejos que no se pueden descomponer, ni siquiera en partes pseudovariedades, solo cortando en singularidades. [5]
Definiciones relacionadas
Una pseudovariedad se denomina normal si el enlace de cada símplex con codimensión ≥ 2 es una pseudovariedad.
(Nótese que las variedades algebraicas reales no siempre son pseudovariedades, ya que sus singularidades pueden ser de codimensión 1, tomemos xy=0 como ejemplo).
Las variedades triangulables, compactas, conexas y de homología sobre Z son ejemplos de pseudovariedades. [4]
Los complejos obtenidos al pegar dos 4-símplices en un tetraedro común son un superconjunto adecuado de 4-pseudovariedades utilizadas en la formulación de espuma de espín de la gravedad cuántica de bucles . [6]
Los n-complejos combinatorios definidos mediante la unión de dos n -símplex en una cara (n-1) no siempre son n-pseudovariedades. La unión puede inducir una no pseudovariedad. [5]
^ Seifert, H.; Threlfall, W. (1980), Libro de texto de topología , Academic Press Inc., ISBN 0-12-634850-2
^ Spanier, H. (1966), Topología algebraica , McGraw-Hill Education, ISBN0-07-059883-5
^ ab Brasselet, JP (1996). "Intersección de ciclos algebraicos". Revista de ciencias matemáticas . 82 (5). Springer Nueva York: 3625–3632. doi :10.1007/bf02362566. S2CID 122992009.
^ abc F. Morando. Descomposición y modelado en el dominio no múltiple (PhD). págs. 139–142. arXiv : 1904.00306v1 .
^ Baez, John C; Christensen, J Daniel; Halford, Thomas R; Tsang, David C (22 de agosto de 2002). "Modelos de espuma de espín de la gravedad cuántica de Riemann". Gravedad clásica y cuántica . 19 (18). IOP Publishing: 4627–4648. arXiv : gr-qc/0202017 . doi :10.1088/0264-9381/19/18/301. ISSN 0264-9381.
