Espacio de piedra

Tipo de espacio topológico

En topología y áreas relacionadas de las matemáticas , un espacio de Stone , también conocido como espacio profinito ^[1] o conjunto profinito , es un espacio totalmente desconectado de Hausdorff compacto . ^[2] Los espacios de Stone reciben su nombre de Marshall Harvey Stone, quien los introdujo y estudió en la década de 1930 en el curso de su investigación de las álgebras de Boole , que culminó en su teorema de representación para las álgebras de Boole .

Condiciones equivalentes

Las siguientes condiciones en el espacio topológico son equivalentes: ^{[2] [1]} ${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle X}$es un espacio de piedra;
• ${\displaystyle X}$es homeomorfo al límite proyectivo (en la categoría de espacios topológicos ) de un sistema inverso de espacios discretos finitos ;
• ${\displaystyle X}$es compacto y totalmente separado ;
• ${\displaystyle X}$es compacto, T 0 , y de dimensión cero (en el sentido de la pequeña dimensión inductiva );
• ${\displaystyle X}$es coherente y Hausdorff.

Ejemplos

Ejemplos importantes de espacios de Stone incluyen los espacios discretos finitos , el conjunto de Cantor y el espacio de los enteros -ádicos , donde es cualquier número primo . Generalizando estos ejemplos, cualquier producto de un número arbitrario de espacios discretos finitos es un espacio de Stone, y el espacio topológico subyacente a cualquier grupo profinito es un espacio de Stone. La compactificación de Stone-Čech de los números naturales con la topología discreta, o de hecho de cualquier espacio discreto, es un espacio de Stone. ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

Teorema de representación de Stone para álgebras de Boole

A cada álgebra de Boole podemos asociar un espacio de Stone de la siguiente manera: los elementos de son los ultrafiltros en y la topología en se llama ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle S(B)}$ ${\displaystyle S(B)}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle S(B),}$La topología de Stone , se genera mediante los conjuntos de la formadonde ${\displaystyle \{F\in S(B):b\in F\},}$ ${\displaystyle b\in B.}$

El teorema de representación de Stone para álgebras de Boole establece que toda álgebra de Boole es isomorfa al álgebra de Boole de conjuntos clopen del espacio de Stone ; y además, todo espacio de Stone es homeomorfo al espacio de Stone que pertenece al álgebra de Boole de conjuntos clopen de Estas asignaciones son funtoriales , y obtenemos una dualidad categorial-teórica entre la categoría de álgebras de Boole (con homomorfismos como morfismos) y la categoría de espacios de Stone (con mapas continuos como morfismos). ${\displaystyle S(B)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

El teorema de Stone dio lugar a una serie de dualidades similares, ahora conocidas colectivamente como dualidades de Stone .

Matemáticas condensadas

La categoría de espacios de Stone con aplicaciones continuas es equivalente a la procategoría de la categoría de conjuntos finitos , lo que explica el término "conjuntos profinitos". Los conjuntos profinitos están en el corazón del proyecto de matemáticas condensadas , que pretende sustituir los espacios topológicos por "conjuntos condensados", donde un espacio topológico X es reemplazado por el funtor que lleva un conjunto profinito S al conjunto de aplicaciones continuas de S a X. ^[3 ]

Véase también

• Compactación de Stone-Čech#Construcción con ultrafiltros  – Concepto en topología
• Filtros en topología  – Uso de filtros para describir y caracterizar todas las nociones y resultados topológicos básicos.
• Tipo (teoría de modelos)  : concepto en la teoría de modelos

Referencias

1. ^ Espacio de piedra laboratorio n
2. "Espacio de piedra", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
3. Scholze, Peter (5 de diciembre de 2020). "Experimento del tensor líquido". Xena .

Lectura adicional

• Johnstone, Peter (1982). Espacios de piedra. Estudios de Cambridge sobre matemáticas avanzadas. Vol. 3. Cambridge University Press. ISBN 0-521-33779-8.