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Numero negativo

Este termómetro indica una temperatura Fahrenheit negativa (-4 °F).

En matemáticas , un número negativo representa un opuesto. [1] En el sistema de números reales , un número negativo es un número menor que cero . Los números negativos se utilizan a menudo para representar la magnitud de una pérdida o deficiencia. Una deuda adeudada puede considerarse un activo negativo. Si una cantidad, como la carga de un electrón, puede tener cualquiera de dos sentidos opuestos, entonces se puede optar por distinguir entre esos sentidos (quizás arbitrariamente) como positivos y negativos . Los números negativos se utilizan para describir valores en una escala que va por debajo de cero, como las escalas de temperatura Celsius y Fahrenheit . Las leyes de la aritmética para números negativos garantizan que la idea de sentido común de un opuesto se refleje en la aritmética. Por ejemplo, −  (−3) = 3 porque el opuesto de un opuesto es el valor original.

Los números negativos generalmente se escriben con un signo menos delante. Por ejemplo, −3 representa una cantidad negativa con una magnitud de tres y se pronuncia "menos tres" o "menos tres". Para ayudar a diferenciar entre una operación de resta y un número negativo, ocasionalmente el signo negativo se coloca ligeramente más alto que el signo menos (como un superíndice ). Por el contrario, un número que es mayor que cero se llama positivo ; Generalmente ( pero no siempre ) se considera que el cero no es ni positivo ni negativo . [2] La positividad de un número se puede enfatizar colocando un signo más delante de él, por ejemplo, +3. En general, a la negatividad o positividad de un número se le llama signo .

Todo número real distinto de cero es positivo o negativo. Los números enteros no negativos se denominan números naturales (es decir, 0, 1, 2, 3...), mientras que los números enteros positivos y negativos (junto con el cero) se denominan números enteros . (Algunas definiciones de números naturales excluyen el cero).

En contabilidad , las cantidades adeudadas suelen representarse mediante números rojos, o un número entre paréntesis, como notación alternativa para representar números negativos.

Los números negativos se utilizaron en los Nueve Capítulos sobre el Arte Matemático , que en su forma actual data del período de la dinastía Han china (202 a. C. - 220 d. C.), pero bien puede contener material mucho más antiguo. [3] Liu Hui (c. siglo III) estableció reglas para sumar y restar números negativos. [4] En el siglo VII, matemáticos indios como Brahmagupta describían el uso de números negativos. Los matemáticos islámicos desarrollaron aún más las reglas de resta y multiplicación de números negativos y resolvieron problemas con coeficientes negativos . [5] Antes del concepto de números negativos, matemáticos como Diofanto consideraban que las soluciones negativas a los problemas eran "falsas" y las ecuaciones que requerían soluciones negativas se describían como absurdas. [6] Los matemáticos occidentales como Leibniz sostenían que los números negativos no eran válidos, pero aún así los usaban en los cálculos. [7] [8]

Introducción

La recta numérica

La relación entre números negativos, números positivos y cero a menudo se expresa en forma de recta numérica :

La recta numérica
La recta numérica

Los números que aparecen más a la derecha en esta línea son mayores, mientras que los números que aparecen más a la izquierda son menores. Así, el cero aparece en el medio, con los números positivos a la derecha y los negativos a la izquierda.

Tenga en cuenta que un número negativo con mayor magnitud se considera menor. Por ejemplo, aunque (positivo) 8 es mayor que (positivo) 5 , escrito

8 > 5

8 negativo se considera menor que 5 negativo :

−8 < −5.

Números firmados

En el contexto de los números negativos, un número mayor que cero se denomina positivo . Por lo tanto, todo número real distinto de cero es positivo o negativo, mientras que se considera que el cero en sí no tiene signo. Los números positivos a veces se escriben con un signo más delante, por ejemplo, +3 denota un tres positivo.

Debido a que cero no es ni positivo ni negativo, el término no negativo a veces se usa para referirse a un número que es positivo o cero, mientras que no positivo se usa para referirse a un número que es negativo o cero. El cero es un número neutro.

Como resultado de la resta

Se puede considerar que los números negativos resultan de la resta de un número mayor de uno menor. Por ejemplo, menos tres es el resultado de restar tres a cero:

0 - 3 = -3.

En general, la resta de un número mayor de un número menor produce un resultado negativo, siendo la magnitud del resultado la diferencia entre los dos números. Por ejemplo,

5 - 8 = -3

ya que 8 − 5 = 3 .

Usos cotidianos de los números negativos.

Deporte

Ciencia

Finanzas

Otro

Números de historia negativos en un ascensor.

Aritmética que involucra números negativos.

El signo menos "-" significa el operador tanto para la operación binaria (de dos operandos ) de resta (como en y − z ) como para la operación unaria (de un operando) de negación (como en − x , o dos veces en −( − x ) ). Un caso especial de negación unaria ocurre cuando opera sobre un número positivo, en cuyo caso el resultado es un número negativo (como en −5 ).

La ambigüedad del símbolo "-" generalmente no conduce a ambigüedad en las expresiones aritméticas, porque el orden de las operaciones sólo hace posible una interpretación u otra para cada "-". Sin embargo, puede generar confusión y resultar difícil para una persona comprender una expresión cuando los símbolos del operador aparecen uno al lado del otro. Una solución puede ser poner entre paréntesis el "-" unario junto con su operando.

Por ejemplo, la expresión 7 + −5 puede ser más clara si se escribe 7 + (−5) (aunque formalmente significan exactamente lo mismo). La expresión de resta 7 – 5 es una expresión diferente que no representa las mismas operaciones, pero da el mismo resultado.

A veces, en las escuelas primarias, un número puede tener como prefijo un superíndice con un signo menos o un signo más para distinguir explícitamente los números negativos y positivos, como en [23]

− 2 + − 5  da  − 7 .

Suma

Una representación visual de la suma de números positivos y negativos. Las bolas más grandes representan números con mayor magnitud.

La suma de dos números negativos es muy similar a la suma de dos números positivos. Por ejemplo,

(-3) + (-5) = -8 .

La idea es que dos deudas se puedan combinar en una sola deuda de mayor magnitud.

Al sumar una mezcla de números positivos y negativos, se puede pensar que los números negativos son cantidades positivas que se restan. Por ejemplo:

8 + (−3) = 8 − 3 = 5  y  (−2) + 7 = 7 − 2 = 5 .

En el primer ejemplo, un crédito de 8 se combina con una deuda de 3 , lo que produce un crédito total de 5 . Si el número negativo tiene mayor magnitud, entonces el resultado es negativo:

(−8) + 3 = 3 − 8 = −5  y  2 + (−7) = 2 − 7 = −5 .

Aquí el crédito es menor que la deuda, por lo que el resultado neto es una deuda.

Sustracción

Como se discutió anteriormente, es posible que la resta de dos números no negativos produzca una respuesta negativa:

5 - 8 = -3

En general, la resta de un número positivo produce el mismo resultado que la suma de un número negativo de igual magnitud. De este modo

5 - 8 = 5 + (-8) = -3

y

(-3) - 5 = (-3) + (-5) = -8

Por otro lado, restar un número negativo produce el mismo resultado que sumar un número positivo de igual magnitud. (La idea es que perder una deuda es lo mismo que obtener un crédito).

3 − (−5) = 3 + 5 = 8

y

(-5) - (-8) = (-5) + 8 = 3 .

Multiplicación

Una multiplicación por un número negativo puede verse como un cambio de dirección del vector de magnitud igual al valor absoluto del producto de los factores.

Al multiplicar números, la magnitud del producto siempre es simplemente el producto de las dos magnitudes. El signo del producto está determinado por las siguientes reglas:

De este modo

(-2) × 3 = -6

y

(-2) × (-3) = 6 .

La razón detrás del primer ejemplo es simple: sumar tres −2 produce −6 :

(-2) × 3 = (-2) + (-2) + (-2) = -6 .

El razonamiento detrás del segundo ejemplo es más complicado. La idea nuevamente es que perder una deuda es lo mismo que obtener un crédito. En este caso, perder dos deudas de tres cada una es lo mismo que ganar un crédito de seis:

(−2 deudas ) × (−3 cada una ) = +6 crédito.

La convención de que un producto de dos números negativos es positivo también es necesaria para que la multiplicación siga la ley distributiva . En este caso sabemos que

(−2) × (−3) + 2 × (−3) = (−2 + 2) × (−3) = 0 × (−3) = 0 .

Dado que 2 × (−3) = −6 , el producto (−2) × (−3) debe ser igual a 6 .

Estas reglas conducen a otra regla (equivalente): el signo de cualquier producto a × b depende del signo de a de la siguiente manera:

La justificación de por qué el producto de dos números negativos es un número positivo se puede observar en el análisis de números complejos .

División

Las reglas de signos para la división son las mismas que para la multiplicación. Por ejemplo,

8 ÷ (−2) = −4 ,
(−8) ÷ 2 = −4 ,

y

(-8) ÷ (-2) = 4 .

Si dividendo y divisor tienen el mismo signo el resultado es positivo, si tienen distinto signo el resultado es negativo.

Negación

La versión negativa de un número positivo se conoce como su negación . Por ejemplo, −3 es la negación del número positivo 3 . La suma de un número y su negación es igual a cero:

3 + (−3) = 0 .

Es decir, la negación de un número positivo es el inverso aditivo del número.

Usando álgebra , podemos escribir este principio como una identidad algebraica :

x + (- x ) = 0 .

Esta identidad es válida para cualquier número positivo x . Se puede hacer que sea válido para todos los números reales ampliando la definición de negación para incluir cero y números negativos. Específicamente:

Por ejemplo, la negación de −3 es +3 . En general,

−(− x ) =  x .

El valor absoluto de un número es el número no negativo con la misma magnitud. Por ejemplo, el valor absoluto de −3 y el valor absoluto de 3 son ambos iguales a 3 y el valor absoluto de 0 es 0 .

Construcción formal de números enteros negativos.

De manera similar a los números racionales , podemos extender los números naturales N a los enteros Z definiendo los enteros como un par ordenado de números naturales ( a , b ). Podemos extender la suma y la multiplicación a estos pares con las siguientes reglas:

( a , b ) + ( c , d ) = ( a + c , b + d )
( a , b ) × ( c , d ) = ( a × c + b × d , a × d + b × c )

Definimos una relación de equivalencia ~ sobre estos pares con la siguiente regla:

( a , b ) ~ ( c , d ) si y sólo si a + d = b + c .

Esta relación de equivalencia es compatible con la suma y multiplicación definidas anteriormente, y podemos definir Z como el conjunto cociente N ²/~, es decir, identificamos dos pares ( a , b ) y ( c , d ) si son equivalentes en el por encima del sentido. Tenga en cuenta que Z , equipado con estas operaciones de suma y multiplicación, es un anillo y es, de hecho, el ejemplo prototípico de anillo.

También podemos definir un orden total en Z escribiendo

( a , b ) ≤ ( c , d ) si y sólo si a + d ≤ b + c .

Esto conducirá a un cero aditivo de la forma ( a , a ), un inverso aditivo de ( a , b ) de la forma ( b , a ), una unidad multiplicativa de la forma ( a + 1, a ) y a definicion de resta

( una , segundo ) − ( c , re ) = ( una + re , segundo + c ) .

Esta construcción es un caso especial de la construcción de Grothendieck .

Unicidad

El inverso aditivo de un número es único, como lo demuestra la siguiente prueba. Como se mencionó anteriormente, un inverso aditivo de un número se define como un valor que cuando se suma al número da cero.

Sea x un número y sea y su inverso aditivo. Supongamos que y′ es otro inverso aditivo de x . Por definición,

Y entonces, x + y′ = x + y . Utilizando la ley de cancelación para la suma, se ve que y′ = y . Por tanto , y es igual a cualquier otro inverso aditivo de x . Es decir, y es el único inverso aditivo de x .

Historia

Durante mucho tiempo, la comprensión de los números negativos se retrasó por la imposibilidad de tener una cantidad negativa de un objeto físico, por ejemplo "menos tres manzanas", y las soluciones negativas a los problemas se consideraron "falsas".

En el Egipto helenístico , el matemático griego Diofanto en el siglo III d.C. se refirió a una ecuación que era equivalente (que tiene una solución negativa) en Arithmetica , diciendo que la ecuación era absurda. [24] Por esta razón, los geómetras griegos pudieron resolver geométricamente todas las formas de la ecuación cuadrática que dan raíces positivas; mientras que no podían tener en cuenta a los demás. [25]

Los números negativos aparecen por primera vez en la historia en los Nueve Capítulos sobre el Arte Matemático (九章算術, Jiǔ zhāng suàn-shù ), que en su forma actual data del período Han , pero bien puede contener material mucho más antiguo. [3] El matemático Liu Hui (c. siglo III) estableció reglas para la suma y resta de números negativos. El historiador Jean-Claude Martzloff teorizó que la importancia de la dualidad en la filosofía natural china hizo que a los chinos les resultara más fácil aceptar la idea de los números negativos. [4] Los chinos pudieron resolver ecuaciones simultáneas que involucraban números negativos. Los Nueve Capítulos utilizaron varillas de conteo rojas para indicar coeficientes positivos y varillas negras para los negativos. [4] [26] Este sistema es exactamente lo opuesto a la impresión contemporánea de números positivos y negativos en los campos de la banca, la contabilidad y el comercio, donde los números rojos denotan valores negativos y los números negros significan valores positivos. Liu Hui escribe:

Ahora bien, hay dos tipos opuestos de varillas para contar ganancias y pérdidas, llamémoslas positivas y negativas. Las barras de conteo rojas son positivas, las barras de conteo negras son negativas. [4]

El antiguo manuscrito indio Bakhshali realizaba cálculos con números negativos, utilizando "+" como signo negativo. [27] La ​​fecha del manuscrito es incierta. LV Gurjar lo fecha a más tardar en el siglo IV, [28] Hoernle lo fecha entre los siglos III y IV, Ayyangar y Pingree lo fechan en los siglos VIII o IX, [29] y George Gheverghese Joseph lo fecha alrededor del 400 d.C. y a más tardar a principios del siglo VII, [30]

Durante el siglo VII d.C., en la India se utilizaban números negativos para representar deudas. El matemático indio Brahmagupta , en Brahma-Sphuta-Siddhanta (escrito c. 630 d.C.), analizó el uso de números negativos para producir la fórmula cuadrática de forma general que sigue utilizándose hoy en día. [24] También encontró soluciones negativas de ecuaciones cuadráticas y dio reglas sobre operaciones que involucran números negativos y cero , como "Una deuda cortada de la nada se convierte en un crédito; un crédito cortado de la nada se convierte en una deuda". Llamó a los números positivos "fortunas", al cero "una cifra" y a los números negativos "deudas". [31] [32]

En el siglo IX, los matemáticos islámicos estaban familiarizados con los números negativos gracias a los trabajos de los matemáticos indios, pero el reconocimiento y uso de los números negativos durante este período siguió siendo tímido. [5] Al-Khwarizmi en su Al-jabr wa'l-muqabala (de donde deriva la palabra "álgebra") no usó números negativos ni coeficientes negativos. [5] Pero al cabo de cincuenta años, Abu Kamil ilustró las reglas de los signos para ampliar la multiplicación , [33] y al-Karaji escribió en su al-Fakhrī que "las cantidades negativas deben contarse como términos". [5] En el siglo X, Abū al-Wafā' al-Būzjānī consideró las deudas como números negativos en Un libro sobre lo necesario de la ciencia de la aritmética para escribas y hombres de negocios . [33]

En el siglo XII, los sucesores de al-Karaji establecieron las reglas generales de los signos y las utilizaron para resolver divisiones polinómicas . [5] Como escribe al-Samaw'al :

el producto de un número negativo— al-nāqiṣ (pérdida)—por un número positivo— al-zāʾid (ganancia)—es negativo, y por un número negativo es positivo. Si restamos un número negativo de un número negativo mayor, el resto es su diferencia negativa. La diferencia sigue siendo positiva si restamos un número negativo de un número negativo menor. Si restamos un número negativo a un número positivo, el resto es su suma positiva. Si restamos un número positivo a una potencia vacía ( martaba khāliyya ), el resto es el mismo número negativo, y si restamos un número negativo a una potencia vacía, el resto es el mismo número positivo. [5]

En el siglo XII, en la India, Bhāskara II dio raíces negativas a las ecuaciones cuadráticas, pero las rechazó porque eran inapropiadas en el contexto del problema. Afirmó que un valor negativo "en este caso no se debe tomar porque es inadecuado; la gente no aprueba las raíces negativas".

Fibonacci permitió soluciones negativas en problemas financieros donde podían interpretarse como débitos (capítulo 13 del Liber Abaci , 1202 d.C.) y posteriormente como pérdidas (en la obra de Fibonacci Flos ).

En el siglo XV, Nicolas Chuquet , un francés, utilizó números negativos como exponentes [34] pero se refirió a ellos como "números absurdos". [35]

Michael Stifel se ocupó de los números negativos en su Arithmetica Integra de 1544 d.C. , donde también los llamó numeri absurdi (números absurdos).

En 1545, Gerolamo Cardano , en su Ars Magna , proporcionó el primer tratamiento satisfactorio de los números negativos en Europa. [24] No permitió números negativos en su consideración de ecuaciones cúbicas , por lo que tuvo que tratar, por ejemplo, por separado de (con en ambos casos). En total, Cardano se vio impulsado al estudio de trece tipos de ecuaciones cúbicas, cada una con todos los términos negativos movidos al otro lado del signo = para hacerlos positivos. (Cardano también se ocupó de números complejos , pero, comprensiblemente, le gustaron aún menos).

En 1748, Leonhard Euler , manipulando formalmente series de potencias complejas mientras usaba la raíz cuadrada de Euler , obtuvo la fórmula de análisis complejo : [36]

En 1797 d. C. , Carl Friedrich Gauss publicó una prueba del teorema fundamental del álgebra , pero expresó sus dudas en ese momento sobre "la verdadera metafísica de la raíz cuadrada de −1". [37]

Sin embargo, los matemáticos europeos, en su mayor parte, se resistieron al concepto de números negativos hasta mediados del siglo XIX. [38] En el siglo XVIII era una práctica común ignorar cualquier resultado negativo derivado de las ecuaciones, bajo el supuesto de que no tenían sentido. [39] En 1759 d.C., el matemático inglés Francis Maseres escribió que los números negativos "oscurecen todas las doctrinas de las ecuaciones y oscurecen las cosas que son por naturaleza excesivamente obvias y simples". Llegó a la conclusión de que las cifras negativas no tenían sentido. [40]

Ver también

Referencias

Citas

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  2. ^ La convención de que cero no es ni positivo ni negativo no es universal. Por ejemplo, en la convención francesa, el cero se considera tanto positivo como negativo. Las palabras francesas positif y négatif significan lo mismo que las inglesas "positivo o cero" y "negativo o cero", respectivamente.
  3. ^ ab Struik, páginas 32–33. "En estas matrices encontramos números negativos, que aparecen aquí por primera vez en la historia".
  4. ^ abcd Hodgkin, Luke (2005). Una historia de las matemáticas: de Mesopotamia a la modernidad . Prensa de la Universidad de Oxford. pag. 88.ISBN _ 978-0-19-152383-0. Liu es explícito al respecto; en el punto donde los Nueve Capítulos brindan una detallada y útil 'Regla de las señales'
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Bibliografía

enlaces externos

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