En matemáticas , una operación es una función que toma cero o más valores de entrada (también llamados " operandos " o "argumentos") a un valor de salida bien definido. El número de operandos es la aridad de la operación.
Las operaciones más comúnmente estudiadas son las operaciones binarias (es decir, operaciones de aridad 2), como la suma y la multiplicación , y las operaciones unarias (es decir, operaciones de aridad 1), como el inverso aditivo y el inverso multiplicativo . Una operación de aridad cero, u operación nula , es una constante . [1] [2] El producto mixto es un ejemplo de una operación de aridad 3, también llamada operación ternaria .
Generalmente, la aridad se considera finita. Sin embargo, a veces se consideran operaciones infinitarias , [1] en cuyo caso las operaciones "habituales" de aridad finita se denominan operaciones finitarias .
Una operación parcial se define de manera similar a una operación, pero con una función parcial en lugar de una función.
Hay dos tipos comunes de operaciones: unarias y binarias . Las operaciones unarias involucran solo un valor, como la negación y las funciones trigonométricas . [3] Las operaciones binarias, por otro lado, toman dos valores e incluyen suma , resta , multiplicación , división y exponenciación . [4]
Las operaciones pueden involucrar objetos matemáticos distintos de los números. Los valores lógicos verdadero y falso se pueden combinar mediante operaciones lógicas , como y , o, y no . Los vectores se pueden sumar y restar. [5] Las rotaciones se pueden combinar usando la operación de composición de funciones , realizando la primera rotación y luego la segunda. Las operaciones sobre conjuntos incluyen las operaciones binarias de unión e intersección y la operación unaria de complementación . [6] [7] [8] Las operaciones sobre funciones incluyen composición y convolución . [9] [10]
Es posible que no se definan operaciones para todos los valores posibles de su dominio . Por ejemplo, en los números reales no se puede dividir por cero [11] ni sacar raíces cuadradas de números negativos. Los valores para los que se define una operación forman un conjunto llamado su dominio de definición o dominio activo . El conjunto que contiene los valores producidos se llama codominio , pero el conjunto de valores reales alcanzados por la operación es su codominio de definición, codominio activo, imagen o rango . [12] [ verificación fallida ] Por ejemplo, en los números reales, la operación de elevar al cuadrado solo produce números no negativos; el codominio es el conjunto de los números reales, pero el rango son los números no negativos.
Las operaciones pueden involucrar objetos diferentes: un vector se puede multiplicar por un escalar para formar otro vector (una operación conocida como multiplicación escalar ), [13] y la operación del producto interno en dos vectores produce una cantidad escalar. [14] [15] Una operación puede tener o no ciertas propiedades, por ejemplo puede ser asociativa , conmutativa , anticonmutativa , idempotente , etc.
Los valores combinados se denominan operandos , argumentos o entradas , y el valor producido se denomina valor , resultado o salida . Las operaciones pueden tener menos o más de dos entradas (incluido el caso de entrada cero e infinitas entradas [1] ).
Un operador es similar a una operación en que se refiere al símbolo o al proceso utilizado para denotar la operación, por lo que su punto de vista es diferente. Por ejemplo, a menudo se habla de "la operación de suma" o "la operación de suma", cuando se centra en los operandos y el resultado, pero se cambia a "operador de suma" (raramente "operador de suma"), cuando se centra en el proceso. , o desde el punto de vista más simbólico, la función +: X × X → X .
Una operación n -aria ω de X 1 , …, X n a Y es una función ω : X 1 × … × X n → Y . El conjunto X 1 × … × X n se llama dominio de la operación, el conjunto Y se llama codominio de la operación y el entero fijo no negativo n (el número de operandos) se llama aridad de la operación. Así, una operación unaria tiene aridad uno y una operación binaria tiene aridad dos. Una operación de aridad cero, llamada operación nula , es simplemente un elemento del codominio Y. Una operación n -aria también puede verse como una relación ( n + 1) -aria que es total en sus n dominios de entrada y única en su dominio de salida.
Una operación parcial n -aria ω de X 1 , …, X n a Y es una función parcial ω : X 1 × … × X n → Y . Una operación parcial n -aria también puede verse como una relación ( n + 1) -aria que es única en su dominio de salida.
Lo anterior describe lo que generalmente se llama operación finita , refiriéndose al número finito de operandos (el valor n ). Hay extensiones obvias en las que la aridad se considera un ordinal o cardinal infinito , [1] o incluso un conjunto arbitrario que indexa los operandos.
A menudo, el uso del término operación implica que el dominio de la función incluye una potencia del codominio (es decir, el producto cartesiano de una o más copias del codominio), [16] aunque esto no es de ninguna manera universal, como en el caso del producto escalar , donde los vectores se multiplican y dan como resultado un escalar. Una operación n -aria ω : X n → X se llamafuncionamiento interno . Unaoperaciónn -aria ω : X i × S × X n − i − 1 → X donde0 ≤ i < n es llamadaoperación externapor elconjunto escalaroconjunto de operadoresS. En particular, para una operación binaria, ω : S × X → X se denominaoperación externa izquierdaporS, y ω : X × S → X se denominaoperación externa derechaporS. Un ejemplo de operación interna esla suma de vectores, donde se suman dos vectores y se obtiene un vector. Un ejemplo de operación externa esla multiplicación escalar, donde un vector se multiplica por un escalar y el resultado es un vector.
Una multifunción n -aria omultioperación ωes un mapeo de una potencia cartesiana de un conjunto al conjunto de subconjuntos de ese conjunto, formalmente ω : X n → P ( X ). [17]
Los vectores se pueden sumar (suma de vectores), restar (resta de vectores)...
