método chakravala

Algoritmo cíclico para resolver ecuaciones cuadráticas indeterminadas.

El método chakravala ( sánscrito : चक्रवाल विधि ) es un algoritmo cíclico para resolver ecuaciones cuadráticas indeterminadas , incluida la ecuación de Pell . Se atribuye comúnmente a Bhāskara II , (c. 1114 – 1185 d.C.) ^{[1] [2]} aunque algunos lo atribuyen a Jayadeva (c. 950 ~ 1000 d.C.). ^[3] Jayadeva señaló que el enfoque de Brahmagupta para resolver ecuaciones de este tipo podía generalizarse, y luego describió este método general, que luego fue refinado por Bhāskara II en su tratado Bijaganita . Lo llamó método Chakravala: chakra que significa "rueda" en sánscrito , en referencia a la naturaleza cíclica del algoritmo. ^[4] C.-O. Selenius sostuvo que ninguna actuación europea en la época de Bhāskara, ni mucho después, superó su maravillosa altura de complejidad matemática. ^{[1] [4]}

Este método también se conoce como método cíclico y contiene trazas de inducción matemática . ^[5]

Historia

Chakra en sánscrito significa ciclo. Según la leyenda popular, Chakravala indica una cadena mítica de montañas que orbita alrededor de la Tierra como un muro y no está limitada por la luz y la oscuridad. ^[6]

Brahmagupta en 628 EC estudió ecuaciones cuadráticas indeterminadas, incluida la ecuación de Pell.

${\displaystyle \,x^{2}=Ny^{2}+1,}$

para números enteros mínimos x e y . Brahmagupta podría resolverlo para varios N , pero no para todos.

Jayadeva (siglo IX) y Bhaskara (siglo XII) ofrecieron la primera solución completa a la ecuación, utilizando el método chakravala para encontrar la solución. ${\displaystyle \,x^{2}=61y^{2}+1,}$

${\displaystyle \,x=1766319049,y=226153980.}$

Este caso fue conocido por su dificultad y fue resuelto por primera vez en Europa por Brouncker en 1657-1658 en respuesta a un desafío de Fermat , utilizando fracciones continuas. Lagrange describió por primera vez de manera completamente rigurosa un método para el problema general en 1766. ^[7] Sin embargo, el método de Lagrange requiere el cálculo de 21 convergentes sucesivos de la fracción continua para la raíz cuadrada de 61, mientras que el método chakravala es mucho más simple. Selenius, en su evaluación del método chakravala , afirma

"El método representa un algoritmo de mejor aproximación de longitud mínima que, debido a varias propiedades de minimización, con un esfuerzo mínimo y evitando números grandes produce automáticamente las mejores soluciones a la ecuación. El método chakravala se anticipó a los métodos europeos en más de mil años. Pero Ninguna actuación europea en todo el campo del álgebra en una época mucho posterior a la de Bhaskara, o incluso casi igual a nuestra época, igualó la maravillosa complejidad e ingenio del chakravala . ^{[1] [4]}

Hermann Hankel llama al método chakravala

"Lo mejor logrado en teoría de números antes de Lagrange". ^[8]

El método

De la identidad de Brahmagupta , observamos que para N dado ,

${\displaystyle (x_{1}x_{2}+Ny_{1}y_{2})^{2}-N(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^{2}=(x_{1}^{2}-Ny_{1}^{2})(x_{2}^{2}-Ny_{2}^{2})}$

Para la ecuación , esto permite la "composición" ( samāsa ) de dos tripletas solución y en una nueva tripleta. ${\displaystyle x^{2}-Ny^{2}=k}$ ${\displaystyle (x_{1},y_{1},k_{1})}$ ${\displaystyle (x_{2},y_{2},k_{2})}$

${\displaystyle (x_{1}x_{2}+Ny_{1}y_{2}\,,\,x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\,,\,k_{1}k_{2}).}$

En el método general, la idea principal es que cualquier tripleta (es decir, una que satisfaga ) se puede componer con la tripleta trivial para obtener la nueva tripleta para cualquier m . Suponiendo que comenzamos con un triple para el cual , esto se puede reducir en k (este es el lema de Bhaskara ): ${\displaystyle (a,b,k)}$ ${\displaystyle a^{2}-Nb^{2}=k}$ ${\displaystyle (m,1,m^{2}-N)}$ ${\displaystyle (am+Nb,a+bm,k(m^{2}-N))}$ ${\displaystyle \gcd(a,b)=1}$

${\displaystyle a^{2}-Nb^{2}=k\Rightarrow \left({\frac {am+Nb}{k}}\right)^{2}-N\left({\frac {a+bm}{k}}\right)^{2}={\frac {m^{2}-N}{k}}}$

Dado que los signos dentro de los cuadrados no importan, son posibles las siguientes sustituciones:

${\displaystyle a\leftarrow {\frac {am+Nb}{|k|}},b\leftarrow {\frac {a+bm}{|k|}},k\leftarrow {\frac {m^{2}-N}{k}}}$

Cuando se elige un número entero positivo m de modo que ( a  +  bm )/ k es un número entero, también lo son los otros dos números del triplete. Entre tales m , el método elige uno que minimiza el valor absoluto de m ²  −  N y, por tanto, el de ( m ²  −  N )/ k . Luego se aplican las relaciones de sustitución para m igual al valor elegido. Esto da como resultado un nuevo triple ( a , b , k ). El proceso se repite hasta encontrar un triple con. Este método siempre termina con una solución (probada por Lagrange en 1768). ^[9] Opcionalmente, podemos detenernos cuando k es ±1, ±2 o ±4, ya que el enfoque de Brahmagupta ofrece una solución para esos casos. ${\displaystyle k=1}$

El método de composición de Brahmagupta.

En el año 628 d.C., Brahmagupta descubrió una forma general de encontrar y cuando se da , cuando k es ±1, ±2 o ±4. ^[10] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x^{2}=Ny^{2}+1,}$ ${\displaystyle a^{2}=Nb^{2}+k}$

k = ±1

Usando la identidad de Brahmagupta para componer el triple consigo mismo: ${\displaystyle (a,b,k)}$

${\displaystyle (a^{2}+Nb^{2})^{2}-N(2ab)^{2}=k^{2}}$ ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle (2a^{2}-k)^{2}-N(2ab)^{2}=k^{2}}$

El nuevo triple se puede expresar como . ${\displaystyle (2a^{2}-k,2ab,k^{2})}$

Sustituyendo da una solución: ${\displaystyle k=-1}$

${\displaystyle x=2a^{2}+1,y=2ab}$

Para , el original ya era una solución. Sustituyendo se obtiene un segundo: ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle k=1}$

${\displaystyle x=2a^{2}-1,y=2ab}$

k = ±2

Nuevamente usando la ecuación, ${\displaystyle (2a^{2}-k)^{2}-N(2ab)^{2}=k^{2}}$ ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle \left({\frac {2a^{2}-k}{k}}\right)^{2}-N\left({\frac {2ab}{k}}\right)^{2}=1}$

Sustituyendo , ${\displaystyle k=2}$

${\displaystyle x=a^{2}-1,y=ab}$

Sustituyendo , ${\displaystyle k=-2}$

${\displaystyle x=a^{2}+1,y=ab}$

k = 4

Sustituir en la ecuación crea el triple . ${\displaystyle k=4}$ ${\displaystyle ({\frac {2a^{2}-4}{4}})^{2}-N({\frac {2ab}{4}})^{2}=1}$ ${\displaystyle ({\frac {a^{2}-2}{2}},{\frac {ab}{2}},1)}$

Cuál es una solución si es par: ${\displaystyle a}$

${\displaystyle x={\frac {a^{2}-2}{2}},y={\frac {ab}{2}}}$

Si a es impar, comience con las ecuaciones y . ${\displaystyle ({\frac {a}{2}})^{2}-N({\frac {b}{2}})^{2}=1}$ ${\displaystyle ({\frac {2a^{2}-4}{4}})^{2}-N({\frac {2ab}{4}})^{2}=1}$

Llevando a los triples y . Componer los triples da ${\displaystyle ({\frac {a}{2}},{\frac {b}{2}},1)}$ ${\displaystyle ({\frac {a^{2}-2}{2}},{\frac {ab}{2}},1)}$ ${\displaystyle ({\frac {a}{2}}(a^{2}-3))^{2}-N({\frac {b}{2}}(a^{2}-1))^{2}=1}$

Cuando es extraño, ${\displaystyle a}$

${\displaystyle x={\frac {a}{2}}(a^{2}-3)),y=({\frac {b}{2}}(a^{2}-1))}$

k = -4

Cuando entonces . Componer consigo mismo produce . ${\displaystyle k=-4}$ ${\displaystyle ({\frac {a}{2}})^{2}-N({\frac {b}{2}})^{2}=-1}$ ${\displaystyle ({\frac {a^{2}+Nb^{2}}{4}})^{2}-N({\frac {ab}{2}})^{2}=1}$ ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle ({\frac {a^{2}+2}{2}})^{2}-N({\frac {ab}{2}})^{2}=1}$

Volver a componerse produce ${\displaystyle ({\frac {(a^{2}+2)^{2}+Na^{2}b^{2})}{4}})^{2}-N({\frac {ab(a^{2}+2)}{2}})^{2}=1}$ ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle ({\frac {a^{4}+4a^{2}+2}{2}})^{2}-N({\frac {ab(a^{2}+2)}{2}})^{2}=1}$

Finalmente, a partir de las ecuaciones anteriores, componga los triples y , para obtener ${\displaystyle ({\frac {a^{2}+2}{2}},{\frac {ab}{2}},1)}$ ${\displaystyle ({\frac {a^{4}+4a^{2}+2}{2}},{\frac {ab(a^{2}+2)}{2}},1)}$

${\displaystyle ({\frac {(a^{2}+2)(a^{4}+4a^{2}+2)+Na^{2}b^{2}(a^{2}+2)}{4}})^{2}-N({\frac {ab(a^{4}+4a^{2}+3)}{2}})^{2}=1}$ ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle ({\frac {(a^{2}+2)(a^{4}+4a^{2}+1)}{2}})^{2}-N({\frac {ab(a^{2}+3)(a^{2}+1)}{2}})^{2}=1}$ ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle ({\frac {(a^{2}+2)[(a^{2}+1)(a^{2}+3)-2)]}{2}})^{2}-N({\frac {ab(a^{2}+3)(a^{2}+1)}{2}})^{2}=1}$.

Esto nos da las soluciones.

${\displaystyle x={\frac {(a^{2}+2)[(a^{2}+1)(a^{2}+3)-2)]}{2}}y={\frac {ab(a^{2}+3)(a^{2}+1)}{2}}}$^[11]

(Tenga en cuenta que es útil encontrar una solución a la ecuación de Pell , pero no siempre es el par de enteros más pequeño. Por ejemplo , la ecuación le dará , que cuando se coloca en la ecuación de Pell produce , lo cual funciona, pero también lo hace para . ${\displaystyle k=-4}$ ${\displaystyle 36^{2}-52*5^{2}=-4}$ ${\displaystyle x=1093436498,y=151632270}$ ${\displaystyle 1195601955878350801-1195601955878350800=1}$ ${\displaystyle x=649,y=90}$ ${\displaystyle N=52}$

Ejemplos

norte = 61

Bhaskara dio como ejemplo el caso n  = 61 (determinación de una solución entera que satisfaga ), planteado como desafío por Fermat muchos siglos después. ^[9] ${\displaystyle a^{2}-61b^{2}=1}$

Comenzamos con una solución para cualquier k encontrada por cualquier medio. En este caso podemos dejar que b sea 1, así, ya que tenemos el triple . Al componerlo se obtiene el triple , que se reduce (o se usa directamente el lema de Bhaskara ) para obtener: ${\displaystyle a^{2}-61b^{2}=k}$ ${\displaystyle 8^{2}-61\cdot 1^{2}=3}$ ${\displaystyle (a,b,k)=(8,1,3)}$ ${\displaystyle (m,1,m^{2}-61)}$ ${\displaystyle (8m+61,8+m,3(m^{2}-61))}$

${\displaystyle \left({\frac {8m+61}{3}},{\frac {8+m}{3}},{\frac {m^{2}-61}{3}}\right).}$

Para que 3 divida y sea mínimo elegimos , para que nos quede el triple . Ahora que k es −4, podemos usar la idea de Brahmagupta: se puede reducir a la solución racional , que se compone consigo misma tres veces, respectivamente, cuando k se vuelve cuadrado y se puede aplicar la escala, esto da . Finalmente, dicho procedimiento se puede repetir hasta encontrar la solución (lo que requiere 9 autocomposiciones adicionales y 4 escalamientos de cuadrados adicionales): . Esta es la solución entera mínima. ${\displaystyle 8+m}$ ${\displaystyle |m^{2}-61|}$ ${\displaystyle m=7}$ ${\displaystyle (39,5,-4)}$ ${\displaystyle (39/2,5/2,-1)\,}$ ${\displaystyle m={7,11,9}}$ ${\displaystyle (1523/2,195/2,1)\,}$ ${\displaystyle (1766319049,\,226153980,\,1)}$

norte = 67

Supongamos que vamos a resolver para x e y . ^[12] ${\displaystyle x^{2}-67y^{2}=1}$

Comenzamos con una solución para cualquier k encontrada por cualquier medio; en este caso podemos dejar que b sea 1, produciendo así . En cada paso, encontramos un m  > 0 tal que k divide a  +  bm y | m2  − 67 ^| es mínimo. Luego actualizamos a , b y k a y respectivamente. ${\displaystyle a^{2}-67b^{2}=k}$ ${\displaystyle 8^{2}-67\cdot 1^{2}=-3}$ ${\displaystyle {\frac {am+Nb}{|k|}},{\frac {a+bm}{|k|}}}$ ${\displaystyle {\frac {m^{2}-N}{k}}}$

Primera iteración

Tenemos . Queremos un entero positivo m tal que k divida a  +  bm , es decir, 3 divide 8 + m, y | m2  − 67 ^| es mínimo. La primera condición implica que m es de la forma 3 t + 1 (es decir, 1, 4, 7, 10,… etc.), y entre esos m , el valor mínimo se alcanza para m = 7. Reemplazando ( a ,  b ,  k ) con , obtenemos los nuevos valores . Es decir, tenemos la nueva solución: ${\displaystyle (a,b,k)=(8,1,-3)}$ ${\displaystyle \left({\frac {am+Nb}{|k|}},{\frac {a+bm}{|k|}},{\frac {m^{2}-N}{k}}\right)}$ ${\displaystyle a=(8\cdot 7+67\cdot 1)/3=41,b=(8+1\cdot 7)/3=5,k=(7^{2}-67)/(-3)=6}$

${\displaystyle 41^{2}-67\cdot (5)^{2}=6.}$

En este punto, se completa una ronda del algoritmo cíclico.

Segunda iteración

Ahora repetimos el proceso. Tenemos . Queremos un m  > 0 tal que k divida a  +  bm , es decir 6 divide 41 + 5 m , y | m2  − 67 ^| es mínimo. La primera condición implica que m es de la forma 6 t  + 5 (es decir, 5, 11, 17,… etc.), y entre tales m , | m2  − 67 ^| es mínimo para m  = 5. Esto lleva a la nueva solución a  = (41⋅5 + 67⋅5)/6, etc.: ${\displaystyle (a,b,k)=(41,5,6)}$

${\displaystyle 90^{2}-67\cdot 11^{2}=-7.}$

Tercera iteración

Para que 7 divida 90 + 11 m , debemos tener m = 2 + 7 t (es decir, 2, 9, 16,… etc.) y entre esos m , elegimos m = 9.

${\displaystyle 221^{2}-67\cdot 27^{2}=-2.}$

Solución final

En este punto, podríamos continuar con el método cíclico (y terminaría después de siete iteraciones), pero como el lado derecho está entre ±1, ±2, ±4, también podemos usar la observación de Brahmagupta directamente. Al componer la tripleta (221, 27, −2) consigo misma, obtenemos

${\displaystyle \left({\frac {221^{2}+67\cdot 27^{2}}{2}}\right)^{2}-67\cdot (221\cdot 27)^{2}=1,}$

es decir, tenemos la solución entera:

${\displaystyle 48842^{2}-67\cdot 5967^{2}=1.}$

Esta ecuación se aproxima dentro de un margen de aproximadamente . ${\displaystyle {\sqrt {67}}}$ ${\displaystyle {\frac {48842}{5967}}}$ ${\displaystyle 2\times 10^{-9}}$

Notas

1. Hoiberg & Ramchandani - Britannica India de estudiantes: Bhaskaracharya II, página 200
2. Kumar, página 23
3. Plofker, página 474
4. Goonatilake, páginas 127-128
5. Cajori (1918), pág. 197

   "El proceso de razonamiento llamado "Inducción Matemática" ha tenido varios orígenes independientes. Se remonta al suizo Jakob (James) Bernoulli, los franceses B. Pascal y P. Fermat y el italiano F. Maurolycus. [.. .] Leyendo un poco entre líneas se pueden encontrar rastros de inducción matemática aún antes, en los escritos de los hindúes y los griegos, como, por ejemplo, en el "método cíclico" de Bhaskara, y en la demostración de Euclides de que el número de números primos es infinito."

6. Gopal, Madan (1990). KS Gautam (ed.). India a través de los tiempos. División de Publicaciones, Ministerio de Información y Radiodifusión, Gobierno de la India. pag. 79.
7. O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , "Ecuación de Pell", Archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews
8. Kaye (1919), pág. 337.
9. John Stillwell (2002), Las matemáticas y su historia (2 ed.), Springer, págs. 72–76, ISBN 978-0-387-95336-6
10. "Ecuación de Pell". Historia de las Matemáticas . Consultado el 14 de junio de 2021 .
11. Datta y Singh (1962). Historia de las matemáticas hindúes: un libro de consulta, partes I y II . Editorial Asia. págs. 157-160. ISBN 8180903907.
12. El ejemplo de esta sección se proporciona (con notación para k , para m , etc.) en: Michael J. Jacobson; Hugh C. Williams (2009), Resolviendo la ecuación de Pell, Springer, pág. 31, ISBN ${\displaystyle Q_{n}}$ ${\displaystyle P_{n}}$ 978-0-387-84922-5

Referencias

• Florian Cajori (1918), Origen del nombre "Inducción matemática", The American Mathematical Monthly 25 (5), p. 197-201.
• George Gheverghese Joseph, La cresta del pavo real: raíces no europeas de las matemáticas (1975).
• GR Kaye, "Matemáticas indias", Isis 2 :2 (1919), pág. 326–356.
• Clas-Olaf Selenius, "Justificación del proceso chakravala de Jayadeva y Bhaskara II" Archivado el 30 de noviembre de 2021 en Wayback Machine , Historia Mathematica 2 (1975), págs.
• Clas-Olaf Selenius, "Kettenbruchtheoretische Erklärung der zyklischen Methode zur Lösung der Bhaskara-Pell-Gleichung", Acta Acad. Arriba. Matemáticas. Física. 23 (10) (1963), págs. 1–44.
• Hoiberg, Dale y Ramchandani, Indu (2000). Britannica India de estudiantes . Bombay: Prakashan popular. ISBN 0-85229-760-2 
• Goonatilake, Susantha (1998). Hacia una ciencia global: conocimiento de la civilización minera . Indiana: Prensa de la Universidad de Indiana. ISBN 0-253-33388-1 . 
• Kumar, Narendra (2004). La ciencia en la antigua India . Delhi: Publicaciones Anmol Pvt Ltd. ISBN 81-261-2056-8 
• Ploker, Kim (2007) "Matemáticas en la India". Las matemáticas de Egipto, Mesopotamia, China, India y el Islam: un libro de consulta Nueva Jersey: Princeton University Press. ISBN 0-691-11485-4 
• Edwards, Harold (1977). El último teorema de Fermat . Nueva York: Springer . ISBN 0-387-90230-9.

enlaces externos

• Introducción a chakravala