El lema de Bhaskara

Lema matemático

El lema de Bhaskara es una identidad que se utiliza como lema durante el método chakravala . En él se afirma que:

${\displaystyle \,Nx^{2}+k=y^{2}\implies \,N\left({\frac {mx+y}{k}}\right)^{2}+{\frac {m^{2}-N}{k}}=\left({\frac {my+Nx}{k}}\right)^{2}}$

para números enteros y enteros distintos de cero . ${\displaystyle m,\,x,\,y,\,N,}$ ${\displaystyle k}$

Prueba

La prueba se obtiene a partir de simples manipulaciones algebraicas como las siguientes: multiplicar ambos lados de la ecuación por , sumar , factorizar y dividir por . ${\displaystyle m^{2}-N}$ ${\displaystyle N^{2}x^{2}+2Nmxy+Ny^{2}}$ ${\displaystyle k^{2}}$

${\displaystyle \,Nx^{2}+k=y^{2}\implies Nm^{2}x^{2}-N^{2}x^{2}+k(m^{2}-N)=m^{2}y^{2}-Ny^{2}}$

${\displaystyle \implies Nm^{2}x^{2}+2Nmxy+Ny^{2}+k(m^{2}-N)=m^{2}y^{2}+2Nmxy+N^{2}x^{2}}$

${\displaystyle \implies N(mx+y)^{2}+k(m^{2}-N)=(my+Nx)^{2}}$

${\displaystyle \implies \,N\left({\frac {mx+y}{k}}\right)^{2}+{\frac {m^{2}-N}{k}}=\left({\frac {my+Nx}{k}}\right)^{2}.}$

Mientras ni ni sean cero, la implicación va en ambas direcciones. (El lema se aplica tanto a números reales o complejos como a números enteros). ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle m^{2}-N}$

Referencias

• CO Selenius, "Justificación del proceso chakravala de Jayadeva y Bhaskara II", Historia Mathematica , 2 (1975), 167-184.
• CO Selenius, Kettenbruch theoretische Erklarung der zyklischen Methode zur Losung der Bhaskara-Pell-Gleichung , Acta Acad. Arriba. Matemáticas. Física. 23 (10) (1963).
• George Gheverghese Joseph, La cresta del pavo real: raíces no europeas de las matemáticas (1975).

Enlaces externos

• Introducción a Chakravala