Escuela de astronomía y matemáticas de Kerala

Astronomía, matemáticas y ciencias en la India

La escuela de astronomía y matemáticas de Kerala o escuela de Kerala fue una escuela de matemáticas y astronomía fundada por Madhava de Sangamagrama en Tirur , Malappuram , Kerala , India, que incluía entre sus miembros a: Parameshvara , Neelakanta Somayaji , Jyeshtadeva , Achyuta Pisharati , Melpathur Narayana Bhattathiri y Achyuta Panikkar . La escuela floreció entre los siglos XIV y XVI y sus descubrimientos originales parecen haber terminado con Narayana Bhattathiri (1559-1632). Al intentar resolver problemas astronómicos, la escuela de Kerala descubrió de forma independiente una serie de conceptos matemáticos importantes. Sus resultados más importantes (la expansión en serie de funciones trigonométricas) fueron descritos en verso sánscrito en un libro de Neelakanta llamado Tantrasangraha (alrededor de 1500), y nuevamente en un comentario sobre esta obra, llamado Tantrasangraha-vakhya , de autor desconocido. Los teoremas fueron enunciados sin prueba, pero las pruebas para la serie de seno, coseno y tangente inversa fueron proporcionadas un siglo después en la obra Yuktibhasa ( c.  1530 ), escrita en malabar , por Jyesthadeva, y también en un comentario sobre Tantrasangraha . ^[1]

Su trabajo, completado dos siglos antes de la invención del cálculo en Europa, proporcionó lo que ahora se considera el primer ejemplo de una serie de potencias (aparte de las series geométricas ). ^{[2] [3] [4]}

Fondo

Los eruditos islámicos casi desarrollaron una fórmula general para hallar integrales de polinomios hacia el año 1000 d. C. —y evidentemente podían hallar dicha fórmula para cualquier polinomio en el que estuvieran interesados. Pero, al parecer, no estaban interesados ​​en ningún polinomio de grado superior a cuatro, al menos en ninguno de los materiales que han llegado hasta nosotros. Los eruditos indios , por otra parte, hacia el año 1600 fueron capaces de utilizar una fórmula similar a la fórmula de la suma de Ibn al-Haytham para potencias integrales arbitrarias en el cálculo de series de potencias para las funciones en las que estaban interesados. Al mismo tiempo, también sabían cómo calcular las diferenciales de estas funciones. Así que algunas de las ideas básicas del cálculo se conocían en Egipto y la India muchos siglos antes de Isaac Newton . Sin embargo, no parece que ni los matemáticos islámicos ni los indios vieran la necesidad de conectar algunas de las ideas dispares que incluimos bajo el nombre de cálculo. Aparentemente, solo estaban interesados ​​en casos específicos en los que se necesitaban estas ideas. ^{[5] [6]}

Contribuciones

Páginas del Yuktibhasa, c.1530

Series infinitas y cálculo

La escuela de Kerala ha realizado numerosas contribuciones en el campo de las series infinitas y el cálculo . Entre ellas, se incluyen las siguientes series geométricas infinitas:

${\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots {\text{ for }}|x|<1}$^[7]

La escuela de Kerala hizo un uso intuitivo de la inducción matemática , aunque la hipótesis inductiva aún no estaba formulada ni empleada en demostraciones. ^[1] La utilizaron para descubrir una prueba semirrigurosidad del resultado:

${\displaystyle 1^{p}+2^{p}+\cdots +n^{p}\approx {\frac {n^{p+1}}{p+1}}}$

para n grande .

Aplicaron ideas de (lo que luego se convertiría en) cálculo diferencial e integral para obtener ( Taylor-Maclaurin ) series infinitas para , , y . ^[8] El Tantrasangraha-vakhya da la serie en verso, que cuando se traduce a notación matemática, se puede escribir como: ^[1] ${\displaystyle \sin x}$ ${\displaystyle \cos x}$ ${\displaystyle \arctan x}$

${\displaystyle r\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)={\frac {1}{1}}\cdot {\frac {ry}{x}}-{\frac {1}{3}}\cdot {\frac {ry^{3}}{x^{3}}}+{\frac {1}{5}}\cdot {\frac {ry^{5}}{x^{5}}}-\cdots ,{\text{ where }}{\frac {y}{x}}\leq 1.}$

${\displaystyle r\sin {\frac {x}{r}}=x-x\cdot {\frac {x^{2}}{(2^{2}+2)r^{2}}}+x\cdot {\frac {x^{2}}{(2^{2}+2)r^{2}}}\cdot {\frac {x^{2}}{(4^{2}+4)r^{2}}}-\cdots }$

${\displaystyle r\left(1-\cos {\frac {x}{r}}\right)=r{\frac {x^{2}}{(2^{2}-2)r^{2}}}-r{\frac {x^{2}}{(2^{2}-2)r^{2}}}\cdot {\frac {x^{2}}{(4^{2}-4)r^{2}}}+\cdots }$

donde, para la serie se reduce a la serie de potencias estándar para estas funciones trigonométricas, por ejemplo: ${\displaystyle r=1,}$

${\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots }$y

${\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots }$

(La escuela de Kerala no utilizó el simbolismo "factorial").

La escuela de Kerala utilizó la rectificación (cálculo de la longitud) del arco de un círculo para dar una prueba de estos resultados. (El método posterior de Leibniz, que utiliza la cuadratura ( es decir, el cálculo del área bajo el arco del círculo), aún no se había desarrollado.) ^[1] También utilizaron la expansión en serie de para obtener una expresión de serie infinita (más tarde conocida como serie de Gregory) para : ^[1] ${\displaystyle \arctan x}$ ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots }$

Su aproximación racional del error para la suma finita de sus series es de particular interés. Por ejemplo, el error, , (para n impar, e i = 1, 2, 3 ) para la serie: ${\displaystyle f_{i}(n+1)}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}\approx 1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-\cdots (-1)^{(n-1)/2}{\frac {1}{n}}+(-1)^{(n+1)/2}f_{i}(n+1)}$

dónde ${\displaystyle f_{1}(n)={\frac {1}{2n}},\ f_{2}(n)={\frac {n/2}{n^{2}+1}},\ f_{3}(n)={\frac {(n/2)^{2}+1}{(n^{2}+5)n/2}}.}$

Manipularon los términos, utilizando la expansión de fracciones parciales de : para obtener una serie de convergencia más rápida para : ^[1] ${\displaystyle {\frac {1}{n^{3}-n}}}$ ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}={\frac {3}{4}}+{\frac {1}{3^{3}-3}}-{\frac {1}{5^{3}-5}}+{\frac {1}{7^{3}-7}}-\cdots }$

Utilizaron la serie mejorada para derivar una expresión racional, ^[1] para corregir hasta nueve decimales, es decir , . Hicieron uso de una noción intuitiva de límite para calcular estos resultados. ^[1] Los matemáticos de la escuela de Kerala también dieron un método semirriguroso de diferenciación de algunas funciones trigonométricas, ^[9] aunque la noción de función, o de funciones exponenciales o logarítmicas, aún no estaba formulada. ${\displaystyle 104348/33215}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle 3.141592653}$

Reconocimiento

En 1825, John Warren publicó unas memorias sobre la división del tiempo en el sur de la India, ^[10] llamadas Kala Sankalita , que mencionan brevemente el descubrimiento de las series infinitas por los astrónomos de Kerala.

Las obras de la escuela de Kerala fueron escritas por primera vez para el mundo occidental por el inglés CM Whish en 1835. Según Whish, los matemáticos de Kerala habían "sentado las bases para un sistema completo de fluxiones" y estas obras abundaban "con formas y series fluxiones que no se encuentran en ninguna obra de países extranjeros". ^[11] Sin embargo, los resultados de Whish fueron casi completamente ignorados hasta más de un siglo después, cuando los descubrimientos de la escuela de Kerala fueron investigados nuevamente por CT Rajagopal y sus asociados. Su trabajo incluye comentarios sobre las pruebas de la serie arctan en Yuktibhasa dadas en dos artículos, ^{[12] [13]} un comentario sobre la prueba de Yuktibhasa de la serie seno y coseno ^[14] y dos artículos que proporcionan los versos sánscritos del Tantrasangrahavakhya para la serie de arctan, seno y coseno (con traducción al inglés y comentario). ^{[15] [16]}

En 1952 Otto Neugebauer escribió sobre astronomía tamil. ^[17]

En 1972, KV Sarma publicó su Historia de la Escuela de Astronomía Hindú de Kerala , en la que se describen características de la Escuela, como la continuidad de la transmisión de conocimientos desde el siglo XIII hasta el siglo XVII: de Govinda Bhattathiri a Parameshvara , Damodara , Nilakantha Somayaji , Jyesthadeva y Acyuta Pisarati . La transmisión de maestro a alumno conservó el conocimiento en "una disciplina práctica y demostrativa como la astronomía en una época en la que no había proliferación de libros impresos ni escuelas públicas".

En 1994 se argumentó que el modelo heliocéntrico había sido adoptado alrededor del año 1500 d. C. en Kerala. ^[18]

Posible transmisión de los resultados escolares de Kerala a Europa

AK Bag sugirió en 1979 que el conocimiento de estos resultados podría haber sido transmitido a Europa a través de la ruta comercial desde Kerala por comerciantes y misioneros jesuitas . ^[19] Kerala estaba en contacto continuo con China y Arabia , y Europa . La sugerencia de algunas rutas de comunicación y una cronología por parte de algunos eruditos ^{[20] [21]} podría hacer que tal transmisión sea una posibilidad; sin embargo, no hay evidencia directa a través de manuscritos relevantes de que tal transmisión tuvo lugar. ^[21] Según David Bressoud , "no hay evidencia de que el trabajo indio de series fuera conocido más allá de la India, o incluso fuera de Kerala, hasta el siglo XIX". ^{[8] [22]} VJ Katz señala que algunas de las ideas de la escuela de Kerala tienen similitudes con el trabajo del erudito iraquí del siglo XI Ibn al-Haytham , ^[9] lo que sugiere una posible transmisión de ideas de las matemáticas islámicas a Kerala. ^[23]

Tanto los eruditos indios como los árabes hicieron descubrimientos antes del siglo XVII que ahora se consideran parte del cálculo. ^[9] Según Katz, todavía tenían que "combinar muchas ideas diferentes bajo los dos temas unificadores de la derivada y la integral , mostrar la conexión entre los dos y convertir el cálculo en la gran herramienta de resolución de problemas que tenemos hoy", como Newton y Leibniz . ^[9] Las carreras intelectuales de Newton y Leibniz están bien documentadas y no hay indicios de que su trabajo no sea propio; ^[9] sin embargo, no se sabe con certeza si los predecesores inmediatos de Newton y Leibniz, "incluidos, en particular, Fermat y Roberval, aprendieron algunas de las ideas de los matemáticos islámicos e indios a través de fuentes de las que ahora no tenemos conocimiento". ^[9] Esta es un área activa de investigación actual, especialmente en las colecciones de manuscritos de España y el Magreb , investigación que ahora se lleva a cabo, entre otros lugares, en el Centre national de la recherche scientifique en París . ^[9]

Véase también

• Astronomía india
• Matemáticas indias
• Matemáticos indios
• Historia de las matemáticas
• Historia de la Escuela de Astronomía Hindú de Kerala
• Lista de astrónomos y matemáticos de la escuela de Kerala

Notas

1. Roy, Ranjan. 1990. "Descubrimiento de la fórmula de la serie para por Leibniz, Gregory y Nilakantha". Mathematics Magazine (Asociación Matemática de Estados Unidos) 63(5):291–306. ${\displaystyle \pi }$
2. (Stillwell 2004, pág. 173)
3. (Bressoud 2002, p. 12) Cita: "No hay evidencia de que el trabajo indio sobre series fuera conocido más allá de la India, o incluso fuera de Kerala, hasta el siglo XIX. Gold y Pingree afirman [4] que para cuando estas series fueron redescubiertas en Europa, se habían perdido, a todos los efectos prácticos, para la India. Las expansiones del seno, el coseno y el arco tangente se habían transmitido a través de varias generaciones de discípulos, pero seguían siendo observaciones estériles a las que nadie podía encontrarles mucha utilidad".
4. Plofker 2001, pág. 293 Cita: "No es inusual encontrar en las discusiones sobre las matemáticas indias afirmaciones como que "el concepto de diferenciación se entendía [en la India] desde la época de Manjula (... en el siglo X)" [Joseph 1991, 300], o que "podemos considerar a Madhava como el fundador del análisis matemático" (Joseph 1991, 293), o que Bhaskara II puede afirmar ser "el precursor de Newton y Leibniz en el descubrimiento del principio del cálculo diferencial" (Bag 1979, 294). ... Los puntos de semejanza, particularmente entre el cálculo europeo temprano y el trabajo de Keralese sobre series de potencias, incluso han inspirado sugerencias de una posible transmisión de ideas matemáticas desde la costa de Malabar en o después del siglo XV al mundo académico latino (por ejemplo, en (Bag 1979, 285)). ... Debe tenerse en cuenta, sin embargo, que tal énfasis en la La similitud entre las matemáticas sánscritas (o malayalam) y latinas corre el riesgo de disminuir nuestra capacidad de ver y comprender plenamente las primeras. Hablar del "descubrimiento indio del principio del cálculo diferencial" oscurece un poco el hecho de que las técnicas indias para expresar cambios en el seno por medio del coseno o viceversa, como en los ejemplos que hemos visto, permanecieron dentro de ese contexto trigonométrico específico. El "principio" diferencial no se generalizó a funciones arbitrarias; de hecho, la noción explícita de una función arbitraria, por no mencionar la de su derivada o un algoritmo para obtener la derivada, es irrelevante aquí.
5. Pingree 1992, pág. 562 Cita: "Un ejemplo que puedo darles se relaciona con la demostración del indio Mādhava, alrededor de 1400 d. C., de la serie de potencias infinitas de funciones trigonométricas utilizando argumentos geométricos y algebraicos. Cuando esto fue descrito por primera vez en inglés por Charles Whish, en la década de 1830, fue anunciado como el descubrimiento del cálculo por parte de los indios. Esta afirmación y los logros de Mādhava fueron ignorados por los historiadores occidentales, presumiblemente al principio porque no podían admitir que un indio descubriera el cálculo, pero más tarde porque nadie leía más las Transactions of the Royal Asiatic Society , en las que se publicó el artículo de Whish. El asunto resurgió en la década de 1950, y ahora tenemos los textos sánscritos correctamente editados, y entendemos la forma inteligente en que Mādhava derivó la serie sin el cálculo; pero muchos historiadores todavía encuentran imposible concebir el problema y su solución en términos de algo más que el cálculo y proclaman que el El cálculo matemático es lo que Mādhava encontró. En este caso, la elegancia y brillantez de las matemáticas de Mādhava se distorsionan al quedar sepultadas bajo la solución matemática actual de un problema para el cual él descubrió una solución alternativa y poderosa.
6. Katz 1995, pp. 173-174 Cita: "¿Cuán cerca estuvieron los eruditos islámicos e indios de inventar el cálculo? Los eruditos islámicos casi desarrollaron una fórmula general para hallar integrales de polinomios hacia el año 1000 d. C., y evidentemente podían hallar dicha fórmula para cualquier polinomio en el que estuvieran interesados. Pero, al parecer, no estaban interesados ​​en ningún polinomio de grado superior a cuatro, al menos en ninguno de los materiales que han llegado hasta nosotros. Los eruditos indios, por otra parte, hacia 1600 eran capaces de utilizar la fórmula de suma de ibn al-Haytham para potencias integrales arbitrarias en el cálculo de series de potencias para las funciones en las que estaban interesados. Al mismo tiempo, también sabían cómo calcular las diferenciales de estas funciones. Así que algunas de las ideas básicas del cálculo se conocían en Egipto y la India muchos siglos antes de Newton. Sin embargo, no parece que ni los matemáticos islámicos ni los indios vieran la necesidad de conectar algunas de las ideas dispares que incluimos bajo el nombre "Al parecer, sólo les interesaban los casos específicos en los que se necesitaban estas ideas.
       No hay peligro, por tanto, de que tengamos que reescribir los textos de historia para eliminar la afirmación de que Newton y Leibniz inventaron el cálculo. Sin duda, fueron ellos quienes supieron combinar muchas ideas diferentes bajo los dos temas unificadores de la derivada y la integral, demostrar la conexión entre ellas y convertir el cálculo en la gran herramienta de resolución de problemas que tenemos hoy en día".
7. Singh, AN (1936). "Sobre el uso de series en las matemáticas hindúes". Osiris . 1 : 606–628. doi :10.1086/368443. S2CID  144760421.
8. Bressoud, David. 2002. "¿Se inventó el cálculo en la India?" The College Mathematics Journal (Asociación Matemática de Estados Unidos). 33(1):2–13.
9. Katz, VJ 1995. "Ideas de cálculo en el Islam y la India". (pdf) Mathematics Magazine (Asociación Matemática de América), 68(3):163-174.
10. John Warren (1825) Una colección de memorias sobre diversos modos según los cuales las naciones de la parte sur de la India dividen el tiempo de Google Books
11. Whish, Charles M. (1835). "XXXIII. Sobre la cuadratura hindú del círculo y la serie infinita de la proporción de la circunferencia con el diámetro que se muestra en los cuatro S'ástras, el Tantra Sangraham, el Yucti Bháshá, Carana Padhati y Sadratnamáka". Transactions of the Royal Asiatic Society . 3 : 509–523.
12. Rajagopal, C.; Rangachari, MS (1949). "Un capítulo olvidado de las matemáticas hindúes". Scripta Mathematica . 15 : 201–209.
13. Rajagopal, C.; Rangachari, MS (1951). "Sobre la prueba hindú de la serie de Gregorio". Scripta Mathematica . 17 : 65–74.
14. Rajagopal, C.; Venkataraman, A. (1949). "Las series de potencias seno y coseno en las matemáticas hindúes". Revista de la Real Sociedad Asiática de Bengala (Ciencia) . 15 : 1–13.
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17. Otto Neugebauer (1952) "Astronomía tamil", Osiris 10: 252–76
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19. AK Bag (1979) Matemáticas en la India antigua y medieval . Varanasi/Delhi: Chaukhambha Orientalia. página 285.
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22. Gold, D.; Pingree, D. (1991). "Una obra sánscrita hasta ahora desconocida sobre la derivación de Madhava de la serie de potencias para seno y coseno". Historia Scientiarum . 42 : 49–65.
23. Katz 1995, pág. 174.

Referencias

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• Stillwell, John (2004), Matemáticas y su historia (2.ª ed.), Berlín y Nueva York: Springer, 568 páginas, ISBN 0-387-95336-1.
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Enlaces externos

• Una visión general de las matemáticas indias, archivo de Historia de las Matemáticas MacTutor , 2002.
• Matemáticas indias: restablecer el equilibrio, archivo de Historia de las Matemáticas MacTutor , 2002.
• Matemáticas de Keralese, archivo de Historia de las Matemáticas MacTutor , 2002.
• Posible transmisión de las matemáticas de Kerala a Europa, Archivo de Historia de las Matemáticas MacTutor , 2002.
• "Los indios precedieron al 'descubrimiento' de Newton en 250 años" phys.org, 2007