Grupo de monodromía iterada

En teoría de grupos geométricos y sistemas dinámicos, el grupo de monodromía iterado de un mapa de cobertura es un grupo que describe la acción de monodromía del grupo fundamental en todas las iteraciones de la cobertura. Por tanto, se utiliza un único mapa de cobertura entre espacios para crear una torre de coberturas, colocando la cobertura sobre sí misma repetidamente. En términos de la teoría de Galois de la cobertura de espacios , se espera que esta construcción sobre espacios corresponda a una construcción sobre grupos. El grupo de monodromía iterado proporciona esta construcción y se aplica para codificar la combinatoria y la dinámica simbólica de la cobertura, y proporciona ejemplos de grupos autosemejantes.

Definición

El grupo de monodromía iterado de f es el siguiente grupo de cocientes :

${\displaystyle \mathrm {IMG} f:={\frac {\pi _{1}(X,t)}{\bigcap _{n\in \mathbb {N} }\mathrm {Ker} \,\digamma ^{n}}}}$

dónde :

• ${\displaystyle f:X_{1}\rightarrow X}$es una cobertura de un espacio topológico X conectado por camino y localmente conectado por camino por su subconjunto , ${\displaystyle X_{1}}$
• ${\displaystyle \pi _{1}(X,t)}$es el grupo fundamental de X y
• ${\displaystyle \digamma :\pi _{1}(X,t)\rightarrow \mathrm {Sym} \,f^{-1}(t)}$es la acción de monodromía para f .
• ${\displaystyle \digamma ^{n}:\pi _{1}(X,t)\rightarrow \mathrm {Sym} \,f^{-n}(t)}$es la acción monodromía de la iteración de f , . ${\displaystyle n^{\mathrm {th} }}$ ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} _{0}}$

Acción

El grupo de monodromía iterada actúa por automorfismo sobre el árbol arraigado de preimágenes.

${\displaystyle T_{f}:=\bigsqcup _{n\geq 0}f^{-n}(t),}$

donde un vértice está conectado por una arista con . ${\displaystyle z\in f^{-n}(t)}$ ${\displaystyle f(z)\in f^{-(n-1)}(t)}$

Ejemplos

Grupos de monodromía iterados de funciones racionales.

Dejar :

• f ser una función racional compleja
• ${\displaystyle P_{f}}$ser la unión de órbitas delanteras de sus puntos críticos (el conjunto poscrítico).

Si es finito (o tiene un conjunto finito de puntos de acumulación ), entonces el grupo de monodromía iterado de f es el grupo de monodromía iterado de la cobertura , donde es la esfera de Riemann . ${\displaystyle P_{f}}$ ${\displaystyle f:{\hat {C}}\setminus f^{-1}(P_{f})\rightarrow {\hat {C}}\setminus P_{f}}$ ${\displaystyle {\hat {C}}}$

Los grupos de monodromía iterados de funciones racionales suelen tener propiedades exóticas desde el punto de vista de la teoría de grupos clásica. La mayoría de ellos se presentan infinitamente, muchos tienen un crecimiento intermedio.

IMG de polinomios

El grupo Basílica es el grupo monodromía iterado del polinomio. ${\displaystyle z^{2}-1}$

Ver también

• Tasa de crecimiento (teoría de grupos)
• grupo amigable
• Dinámica compleja
• conjunto julia

Referencias

• Volodymyr Nekrashevych, Grupos autosimilares, estudios matemáticos y monografías, vol. 117, americano. Matemáticas. Soc., Providencia, RI, 2005; ISBN  0-412-34550-1 .
• Kevin M. Pilgrim, Combinaciones de sistemas dinámicos complejos , Springer-Verlag, Berlín, 2003; ISBN 3-540-20173-4 . 

enlaces externos

• arXiv.org - Grupo de Monodromía Iterada - preimpresiones sobre el Grupo de Monodromía Iterada.
• Página de Laurent Bartholdi - Películas que ilustran los giros de Dehn sobre un decorado de Julia .
• mathworld.wolfram.com - La página del Grupo Monodromía.