En matemáticas , Out( F n ) es el grupo de automorfismo externo de un grupo libre en n generadores . Estos grupos juegan un papel importante en la teoría de grupos geométricos .
El mapa de abelianización induce un homomorfismo del grupo lineal general , siendo este último el grupo de automorfismo de . Este mapa está en marcha, haciendo una extensión de grupo ,
El núcleo es el grupo de Torelli .
En el caso , el mapa es un isomorfismo .
Debido a que es el grupo fundamental de un ramo de n círculos , puede describirse topológicamente como el grupo de clases de mapeo de un ramo de n círculos (en la categoría de homotopía ), en analogía con el grupo de clases de mapeo de una superficie cerrada que es isomorfa a la grupo de automorfismo externo del grupo fundamental de esa superficie.
Out( F n ) actúa geométricamente sobre un complejo celular conocido como espacio exterior de Culler - Vogtmann , que puede considerarse como el espacio de Teichmüller para un ramo de círculos .
Un punto del espacio exterior es esencialmente una homotopía -graph X equivalente a un ramo de n círculos junto con una cierta elección de una clase de homotopía libre de una equivalencia de homotopía de X al ramo de n círculos. Un gráfico es simplemente un gráfico ponderado con pesos en . La suma de todos los pesos debe ser 1 y todos los pesos deben ser positivos. Para evitar ambigüedades (y obtener un espacio de dimensión finita) se requiere además que la valencia de cada vértice sea al menos 3.
Una vista más descriptiva que evita la equivalencia de homotopía f es la siguiente. Podemos fijar una identificación del grupo fundamental del ramo de n círculos con el grupo libre en n variables. Además, podemos elegir un árbol máximo en X y elegir una dirección para cada borde restante. Ahora asignaremos a cada borde restante e una palabra de la siguiente manera. Considere el camino cerrado que comienza con e y luego regresa al origen de e en el árbol máximo. Al componer este camino con f obtenemos un camino cerrado en un ramo de n círculos y, por tanto, un elemento en su grupo fundamental . Este elemento no está bien definido; si cambiamos f por una homotopía libre obtenemos otro elemento. Resulta que esos dos elementos están conjugados entre sí y, por lo tanto, podemos elegir el único elemento reducido cíclicamente en esta clase de conjugación. Es posible reconstruir el tipo de homotopía libre de f a partir de estos datos. Esta vista tiene la ventaja de que evita la elección adicional de f y tiene la desventaja de que surge una ambigüedad adicional, porque hay que elegir un árbol máximo y una orientación de los bordes restantes.
La operación de Out( F n ) en el espacio exterior se define de la siguiente manera. Cada automorfismo g de induce una equivalencia de autohomotopía g′ del ramo de n círculos. Componer f con g′ da la acción deseada. Y en el otro modelo es simplemente la aplicación de g y hacer que la palabra resultante se reduzca cíclicamente.
Cada punto del espacio exterior determina una función de longitud única . Una palabra in determina a través de la equivalencia de homotopía elegida un camino cerrado en X . La longitud de la palabra es entonces la longitud mínima de un camino en la clase de homotopía libre de ese camino cerrado. Esta función de longitud es constante en cada clase de conjugación. La asignación define una incorporación del espacio exterior a algún espacio proyectivo de dimensión infinita.
En el segundo modelo, un simplex abierto está dado por todos aquellos gráficos que tienen combinatoriamente el mismo gráfico subyacente y los mismos bordes están etiquetados con las mismas palabras (solo la longitud de los bordes puede diferir). El límite simple de tal simplex consta de todos los gráficos que surgen de este gráfico al colapsar un borde. Si ese borde es un bucle, no se puede contraer sin cambiar el tipo de homotopía del gráfico. Por tanto, no existe frontera simplex. Así que uno puede pensar en el espacio exterior como un complejo simple al que se le han eliminado algunos elementos simples. Es fácil verificar que la acción de es simplicial y tiene grupos de isotropía finitos.
