En el tema matemático de la teoría geométrica de grupos , un mapa de vías de tren es un mapa continuo f de un gráfico finito conectado consigo mismo, que es una equivalencia de homotopía y que tiene propiedades de cancelación particularmente agradables con respecto a las iteraciones. Este mapa envía vértices a vértices y aristas a rutas de aristas no triviales con la propiedad de que para cada arista e del gráfico y para cada entero positivo n la ruta f n ( e ) está inmersa , es decir, f n ( e ) es localmente inyectiva. uno . Los mapas de vías de tren son una herramienta clave en el análisis de la dinámica de los automorfismos de grupos libres generados finitamente y en el estudio del espacio exterior de Culler - Vogtmann .
Los mapas de vías de tren para automorfismos de grupos libres se introdujeron en un artículo de 1992 de Bestvina y Handel. [1] La idea fue motivada por las vías del tren de Thurston en superficies, pero el caso del grupo libre es sustancialmente diferente y más complicado. En su artículo de 1992, Bestvina y Handel demostraron que todo automorfismo irreducible de F n tiene un representante en la vía del tren. En el mismo artículo, introdujeron la noción de vía de tren relativa y aplicaron métodos de vía de tren para resolver [1] la conjetura de Scott que dice que para cada automorfismo α de un grupo libre F n generado finitamente, el subgrupo fijo de α está libre de rango. como mucho n . En un artículo posterior [2] Bestvina y Handel aplicaron las técnicas de la vía del tren para obtener una prueba efectiva de la clasificación de Thurston de homeomorfismos de superficies compactas (con o sin límite), que dice que cada homeomorfismo es, hasta la isotopía , reducible, de orden finito o pseudo-anosov .
Desde entonces, las vías del tren se convirtieron en una herramienta estándar en el estudio de las propiedades algebraicas, geométricas y dinámicas de los automorfismos de grupos libres y de subgrupos de Out( F n ). Las vías del tren son particularmente útiles ya que permiten comprender el crecimiento a largo plazo (en términos de longitud) y el comportamiento de cancelación para iteraciones grandes de un automorfismo de F n aplicado a una clase de conjugación particular en F n . Esta información es especialmente útil al estudiar la dinámica de la acción de elementos de Out( F n ) en el espacio exterior de Culler-Vogtmann y sus límites y al estudiar las acciones de F n en árboles reales . [3] [4] [5] Ejemplos de aplicaciones de vías de tren incluyen: un teorema de Brinkmann [6] que demuestra que para un automorfismo α de F n el grupo de toros cartográficos de α es hiperbólico de palabras si y sólo si α no tiene clases de conjugación periódicas; un teorema de Bridson y Groves [7] que para cada automorfismo α de F n el grupo de toros cartográficos de α satisface una desigualdad isoperimétrica cuadrática ; una prueba de solubilidad algorítmica del problema de conjugación para grupos libres por cíclicos; [8] y otros.
Las vías del tren fueron una herramienta clave en la demostración de Bestvina, Feighn y Handel de que el grupo Out( F n ) satisface la alternativa de las tetas . [9] [10]
Dicks y Ventura desarrollaron posteriormente la maquinaria de las vías del tren para endomorfismos inyectivos de grupos libres . [11]
Para un gráfico finito Γ (que aquí se considera un complejo de celdas unidimensional ), un mapa combinatorio es un mapa continuo
tal que:
Sea Γ un gráfico conexo finito. Un mapa combinatorio f : Γ → Γ se llama mapa de vías de tren si para cada borde e de Γ y cada entero n ≥ 1 el camino de borde f n ( e ) no contiene retrocesos, es decir, no contiene subtrayectos de la forma hh −1 donde h es una arista de Γ . En otras palabras, la restricción de f n a e es localmente inyectiva (o una inmersión) para cada arista e y cada n ≥ 1.
Cuando se aplica al caso n = 1, esta definición implica, en particular, que el camino f ( e ) no tiene retrocesos.
Sea F k un grupo libre de rango finito k ≥ 2. Fijar una base libre A de F k y una identificación de F k con el grupo fundamental de la rosa R k que es una cuña de k círculos correspondientes a los elementos de base de A .
Sea φ ∈ Out( F k ) un automorfismo externo de F k .
Un representante topológico de φ es una tripleta ( τ , Γ , f ) donde:
El mapa τ en la definición anterior se llama marca y normalmente se suprime cuando se analizan los representantes topológicos. Así, por abuso de notación, a menudo se dice que en la situación anterior f : Γ → Γ es un representante topológico de φ .
Sea φ ∈ Out( F k ) un automorfismo externo de F k . Un mapa de vías de tren que es un representante topológico de φ se denomina vía de tren representativo de φ .
Sea f : Γ → Γ una aplicación combinatoria. Un giro es un par desordenado e , h de aristas orientadas de Γ (no necesariamente distintas) que tienen un vértice inicial común. Un giro e , h es degenerado si e = h y no degenerado en caso contrario.
Un giro e , h es ilegal si para algún n ≥ 1 los caminos f n ( e ) y f n ( h ) tienen un segmento inicial común no trivial (es decir, comienzan con el mismo borde). Un turno es legal si no es ilegal .
Se dice que una trayectoria de borde e 1 ,..., e m contiene giros e i −1 , e i +1 para i = 1,..., m −1.
Un mapa combinatorio f : Γ → Γ es un mapa de vías de tren si y sólo si para cada borde e de Γ el camino f ( e ) no contiene giros ilegales.
Sea f : Γ → Γ un mapa combinatorio y sea E el conjunto de aristas orientadas de Γ . Entonces f determina su mapa derivado Df : E → E donde para cada borde e Df ( e ) es el borde inicial del camino f ( e ). El mapa Df se extiende naturalmente al mapa Df : T → T donde T es el conjunto de todos los giros en Γ . Para un giro t dado por un par de aristas e , h , su imagen Df ( t ) es el giro Df ( e ), Df ( h ). Un giro t es legal si y sólo si para cada n ≥ 1 el giro ( Df ) n ( t ) es no degenerado. Dado que el conjunto T de giros es finito, este hecho permite determinar algorítmicamente si un giro dado es legal o no y, por lo tanto, decidir algorítmicamente, dada f , si f es o no un mapa de vías de tren.
Sea φ el automorfismo de F ( a , b ) dado por φ ( a ) = b , φ ( b ) = ab . Sea Γ la cuña de dos aristas en bucle E a y E b correspondientes a los elementos de base libre a y b , acuñados en el vértice v . Sea f : Γ → Γ el mapa que fija v y envía el borde E a a E b y que envía el borde E b a la ruta del borde E a E b . Entonces f es una vía de tren representativa de φ .
Se dice que un automorfismo externo φ de F k es reducible si existe una descomposición libre del producto
donde todos H i no son triviales, donde m ≥ 1 y donde φ permuta las clases de conjugación de H 1 ,..., H m en F k . Se dice que un automorfismo externo φ de F k es irreducible si no es reducible.
Se sabe [1] que φ ∈ Out( F k ) es irreducible si y sólo si para cada representante topológico f : Γ → Γ de φ , donde Γ es finito, conexo y sin vértices de grado uno, cualquier f -invariante adecuado el subgrafo de Γ es un bosque.
Bestvina y Handel obtuvieron el siguiente resultado en su artículo de 1992 [1] donde se introdujeron originalmente los mapas de vías de tren:
Sea φ ∈ Out( F k ) irreducible. Entonces existe una vía de tren representativa de φ .
Para un representante topológico f : Γ → Γ de un automorfismo φ de F k la matriz de transición M ( f ) es una matriz r x r (donde r es el número de aristas topológicas de Γ ) donde la entrada m ij es el número de veces el camino f ( e j ) pasa por el borde e i (en cualquier dirección). Si φ es irreducible, la matriz de transición M ( f ) es irreducible en el sentido del teorema de Perron-Frobenius y tiene un valor propio único de Perron-Frobenius λ ( f ) ≥ 1 que es igual al radio espectral de M ( f ) .
Luego se define una serie de movimientos diferentes en representantes topológicos de φ que se considera que disminuyen o preservan el valor propio de Perron-Frobenius de la matriz de transición. Estos movimientos incluyen: subdividir un borde; homotopía de valencia uno (eliminación de un vértice de grado uno); homotopía de valencia dos (eliminación de un vértice de grado dos); colapsar un bosque invariante; y plegado. De estos movimientos, la homotopía de valencia uno siempre redujo el valor propio de Perron-Frobenius.
Comenzando con algún representante topológico f de un automorfismo irreducible φ, se construye algorítmicamente una secuencia de representantes topológicos
de φ donde f n se obtiene de f n −1 mediante varios movimientos, específicamente elegidos. En esta secuencia, si f n no es un mapa de vías de tren, entonces los movimientos que producen f n +1 a partir de f n implican necesariamente una secuencia de pliegues seguidos de una homotopía de valencia uno, de modo que el valor propio de Perron-Frobenius de f n + 1 es estrictamente más pequeño que el de f n . El proceso se organiza de tal manera que los valores propios de Perron-Frobenius de los mapas f n toman valores en un substeto discreto de . Esto garantiza que el proceso termina en un número finito de pasos y que el último término f N de la secuencia es una vía de tren representativa de φ .
Una consecuencia (que requiere argumentos adicionales) del teorema anterior es la siguiente: [1]
A diferencia de los elementos de los grupos de clases de mapeo , para un irreducible φ ∈ Out( F k ) a menudo ocurre [12] que
