En la teoría matemática de grupos, el grupo de automorfismos de un grupo libre es un grupo discreto de automorfismos de un grupo libre . El cociente de los automorfismos internos es el grupo de automorfismos externos de un grupo libre , que es similar en algunos aspectos al grupo de clases de aplicación de una superficie .
Jakob Nielsen (1924) demostró que los automorfismos definidos por las transformaciones elementales de Nielsen generan el grupo de automorfismos completo de un grupo libre finitamente generado. Nielsen y, posteriormente, Bernhard Neumann utilizaron estas ideas para ofrecer presentaciones finitas de los grupos de automorfismos de grupos libres. Esto también se describe en (Magnus, Karrass y Solitar 2004, p. 131, Tesis 3.2).
El grupo de automorfismos del grupo libre con base ordenada [ x 1 , …, x n ] se genera mediante las siguientes 4 transformaciones elementales de Nielsen :
Estas transformaciones son análogas a las operaciones elementales de filas . Las transformaciones de los dos primeros tipos son análogas a los intercambios de filas y a las permutaciones cíclicas de filas. Las transformaciones del tercer tipo corresponden a la escala de una fila mediante un escalar invertible. Las transformaciones del cuarto tipo corresponden a las adiciones de filas.
Las transformaciones de los dos primeros tipos son suficientes para permutar los generadores en cualquier orden, por lo que el tercer tipo puede aplicarse a cualquiera de los generadores y el cuarto tipo a cualquier par de generadores.
Nielsen dio una presentación finita bastante complicada utilizando estos generadores, descrita en (Magnus, Karrass y Solitar 2004, pág. 165, Sección 3.5).