Asignación de un grupo de clases a una superficie

Concepto en matemáticas

En matemáticas, y más precisamente en topología , el grupo de clases de aplicación de una superficie , a veces llamado grupo modular o grupo modular de Teichmüller , es el grupo de homeomorfismos de la superficie vistos hasta una deformación continua (en la topología compacta-abierta ). Es de importancia fundamental para el estudio de 3-variedades a través de sus superficies embebidas y también se estudia en geometría algebraica en relación con problemas de módulos para curvas.

El grupo de clases de mapeo se puede definir para variedades arbitrarias (de hecho, para espacios topológicos arbitrarios), pero la configuración bidimensional es la más estudiada en la teoría de grupos .

El grupo de superficies de la clase de mapeo está relacionado con varios otros grupos, en particular grupos de trenzas y grupos de automorfismos externos .

Historia

El grupo de clases de aplicación apareció en la primera mitad del siglo XX. Sus orígenes se encuentran en el estudio de la topología de superficies hiperbólicas, y especialmente en el estudio de las intersecciones de curvas cerradas en estas superficies. Los primeros contribuyentes fueron Max Dehn y Jakob Nielsen : Dehn demostró la generación finita del grupo, ^[1] y Nielsen dio una clasificación de las clases de aplicación y demostró que todos los automorfismos del grupo fundamental de una superficie pueden representarse mediante homeomorfismos (el teorema de Dehn-Nielsen-Baer).

La teoría de Dehn-Nielsen fue reinterpretada a mediados de los años setenta por Thurston , quien le dio al tema un sabor más geométrico ^[2] y utilizó este trabajo con gran efecto en su programa para el estudio de tres variedades.

Más recientemente, el grupo de clases de mapeo ha sido en sí mismo un tema central en la teoría de grupos geométricos , donde proporciona un campo de pruebas para varias conjeturas y técnicas.

Definición y ejemplos

Grupo de clases de mapeo de superficies orientables

Sea una superficie conexa , cerrada y orientable y el grupo de homeomorfismos positivos o que preservan la orientación de . Este grupo tiene una topología natural, la topología compacta-abierta. Puede definirse fácilmente mediante una función de distancia: si se nos da una métrica para inducir su topología, entonces la función definida por ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {Homeo} ^{+}(S)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \delta (f,g)=\sup _{x\in S}\left(d(f(x),g(x))\right)}$

es una distancia que induce la topología compacta-abierta en . El componente conexo de la identidad para esta topología se denota . Por definición, es igual a los homeomorfismos de los cuales son isotópicos a la identidad. Es un subgrupo normal del grupo de homeomorfismos positivos, y el grupo de clases de aplicación de es el grupo ${\displaystyle \operatorname {Homeo} ^{+}(S)}$ ${\displaystyle \operatorname {Homeo} _{0}(S)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)=\operatorname {Homeo} ^{+}(S)/\operatorname {Homeo} _{0}(S)}$.

Este es un grupo contable .

Si modificamos la definición para incluir todos los homeomorfismos obtenemos el grupo de clases de mapeo extendido , que contiene al grupo de clases de mapeo como un subgrupo del índice 2. ${\displaystyle \operatorname {Mod} ^{\pm }(S)}$

Esta definición también puede hacerse en la categoría diferenciable: si sustituimos todas las instancias de "homeomorfismo" anteriores por " difeomorfismo " obtenemos el mismo grupo, es decir la inclusión induce un isomorfismo entre los cocientes por sus respectivos componentes identidad. ${\displaystyle \operatorname {Diff} ^{+}(S)\subset \operatorname {Homeo} ^{+}(S)}$

Los grupos de clases de mapeo de la esfera y el toro

Supongamos que es la esfera unitaria en . Entonces, cualquier homeomorfismo de es isotópico a la identidad o a la restricción a de la simetría en el plano . Esta última no preserva la orientación y vemos que el grupo de clases de aplicación de la esfera es trivial, y su grupo de clases de aplicación extendido es , el grupo cíclico de orden 2. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle z=0}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

El grupo de clases de aplicación del toro se identifica naturalmente con el grupo modular . Es fácil construir un morfismo : cada induce un difeomorfismo de vía . La acción de los difeomorfismos sobre el primer grupo de homología de da una izquierda-inversa al morfismo (probando en particular que es inyectivo) y se puede comprobar que es inyectivo, de modo que son isomorfismos inversos entre y . ^[3] De la misma manera, el grupo de clases de aplicación extendido de es . ${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}=\mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}}$ ${\displaystyle \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \Phi :\operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} )\to \operatorname {Mod} (\mathbb {T} ^{2})}$ ${\displaystyle A\in \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}}$ ${\displaystyle x+\mathbb {Z} ^{2}\mapsto Ax+\mathbb {Z} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle \Pi ,\Phi }$ ${\displaystyle \operatorname {Mod} (\mathbb {T} ^{2})}$ ${\displaystyle \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} _{2}(\mathbb {Z} )}$

Asignación de grupos de clases de superficies con límites y perforaciones

En el caso en que sea una superficie compacta con un límite no vacío , entonces la definición del grupo de clases de aplicación debe ser más precisa. El grupo de homeomorfismos relativos al límite es el subgrupo del cual se restringe a la identidad en el límite, y el subgrupo es el componente conectado de la identidad. El grupo de clases de aplicación se define entonces como ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \partial S}$ ${\displaystyle \operatorname {Homeo} ^{+}(S,\partial S)}$ ${\displaystyle \operatorname {Homeo} ^{+}(S)}$ ${\displaystyle \operatorname {Homeo} _{0}(S,\partial S)}$

${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)=\operatorname {Homeo} ^{+}(S,\partial S)/\operatorname {Homeo} _{0}(S,\partial S)}$.

Una superficie con perforaciones es una superficie compacta a la que se le ha quitado un número finito de puntos ("perforaciones"). El grupo de clases de mapeo de dicha superficie se define como se indicó anteriormente (nótese que las clases de mapeo pueden permutar las perforaciones, pero no los componentes del límite).

Asignación de grupos de clases a un anillo

Cualquier anillo es homeomorfo al subconjunto de . Se puede definir un difeomorfismo mediante la siguiente fórmula: ${\displaystyle A_{0}=\{1\leq |z|\leq 2\}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \tau _{0}}$

${\displaystyle \tau _{0}(z)=e^{2i\pi |z|}z}$

que es la identidad en ambos componentes de límite . El grupo de clases de mapeo de es generado entonces por la clase de . ${\displaystyle \{|z|=1\},\{|z|=2\}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \tau _{0}}$

Grupos de trenzas y grupos de clases de mapeo

Los grupos de trenzas se pueden definir como los grupos de clases de mapeo de un disco con perforaciones. Más precisamente, el grupo de trenzas en n hebras es naturalmente isomorfo al grupo de clases de mapeo de un disco con n perforaciones. ^[4]

El teorema de Dehn-Nielsen-Baer

Si es cerrado y es un homeomorfismo de entonces podemos definir un automorfismo del grupo fundamental de la siguiente manera: fijamos un camino entre y y para un bucle basado en que representa un elemento definido como el elemento del grupo fundamental asociado al bucle . Este automorfismo depende de la elección de , pero solo hasta la conjugación. Así obtenemos una función bien definida de al grupo de automorfismos externo . Esta función es un morfismo y su núcleo es exactamente el subgrupo . El teorema de Dehn–Nielsen–Baer establece que es además sobreyectivo. ^[5] En particular, implica que: ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f_{*}}$ ${\displaystyle \pi _{1}(S,x_{0})}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f(x_{0})}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle [\alpha ]\in \pi _{1}(S,x_{0})}$ ${\displaystyle f_{*}([\alpha ])}$ ${\displaystyle {\bar {\gamma }}*f(\alpha )*\gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \operatorname {Homeo} (S)}$ ${\displaystyle \operatorname {Out} (\pi _{1}(S,x_{0}))}$ ${\displaystyle \operatorname {Homeo} _{0}(S)}$

El grupo de clases de mapeo extendido es isomorfo al grupo de automorfismo externo . ${\displaystyle \operatorname {Mod} ^{\pm }(S)}$ ${\displaystyle \operatorname {Out} (\pi _{1}(S))}$

La imagen del grupo de clases de mapeo es un subgrupo de índice 2 del grupo de automorfismo externo, que puede caracterizarse por su acción sobre la homología.

La conclusión del teorema no se cumple cuando tiene un borde no vacío (excepto en un número finito de casos). En este caso el grupo fundamental es un grupo libre y el grupo de automorfismos externos Out(Fn) es estrictamente mayor que la imagen del grupo de clases de aplicación mediante el morfismo definido en el párrafo anterior. La imagen es exactamente aquellos automorfismos externos que preservan cada clase de conjugación en el grupo fundamental correspondiente a un componente de borde. ${\displaystyle S}$

La secuencia exacta de Birmania

Se trata de una secuencia exacta que relaciona el grupo de clases de aplicación de superficies con el mismo género y borde pero con un número diferente de punciones. Es una herramienta fundamental que permite utilizar argumentos recursivos en el estudio de grupos de clases de aplicación. Fue demostrada por Joan Birman en 1969. ^[6] El enunciado exacto es el siguiente. ^[7]

Sea una superficie compacta y . Existe una sucesión exacta ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x\in S}$

${\displaystyle 1\to \pi _{1}(S,x)\to \operatorname {Mod} (S\setminus \{x\})\to \operatorname {Mod} (S)\to 1}$.

En el caso donde el mismo tenga perforaciones el grupo de clases de mapeo debe ser reemplazado por el subgrupo de índice finito de clases de mapeo que fija . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {Mod} (S\setminus \{x\})}$ ${\displaystyle x}$

Elementos del grupo de clases de mapeo

Dehn se retuerce

Si es una curva cerrada simple orientada sobre y se elige un entorno tubular cerrado , entonces hay un homeomorfismo de al anillo canónico definido anteriormente, enviando a un círculo con la orientación en sentido antihorario . Esto se utiliza para definir un homeomorfismo de como sigue: sobre es la identidad, y sobre es igual a . La clase de en el grupo de clases de mapeo no depende de la elección de hecha anteriormente, y el elemento resultante se llama el giro de Dehn sobre . Si no es homotópica nula, esta clase de mapeo no es trivial y, de manera más general, los giros de Dehn definidos por dos curvas no homotópicas son elementos distintos en el grupo de clases de mapeo. ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A_{0}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \tau _{c}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S\setminus A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f^{-1}\circ \tau _{0}\circ f}$ ${\displaystyle \tau _{c}}$ ${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$

En el grupo de clases de aplicación del toro identificado con los giros de Dehn corresponden a matrices unipotentes. Por ejemplo, la matriz ${\displaystyle \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}}$

corresponde al giro de Dehn alrededor de una curva horizontal en el toro.

La clasificación de Nielsen-Thurston

Existe una clasificación de las clases de mapeo en una superficie, originalmente debida a Nielsen y redescubierta por Thurston, que puede enunciarse de la siguiente manera. Un elemento es: ${\displaystyle g\in \operatorname {Mod} (S)}$

• de orden finito (es decir, existe tal que es la identidad), ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle g^{n}}$
• reducible: existe un conjunto de curvas cerradas disjuntas en las que se conserva por la acción de ; ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle g}$
• o pseudo-Anosov.

El contenido principal del teorema es que una clase de mapeo que no es de orden finito ni reducible debe ser pseudo-Anosov, que puede definirse explícitamente mediante propiedades dinámicas. ^[8]

Difeomorfismos pseudo-Anosov

El estudio de los difeomorfismos pseudo-Anosov de una superficie es fundamental. Son los difeomorfismos más interesantes, ya que las clases de aplicación de orden finito son isotópicas a las isometrías y, por lo tanto, se comprenden bien, y el estudio de las clases reducibles se reduce esencialmente al estudio de las clases de aplicación en superficies más pequeñas que pueden ser, en sí mismas, de orden finito o pseudo-Anosov.

Las clases de mapeo pseudo-Anosov son "genéricas" en el grupo de clases de mapeo de varias maneras. Por ejemplo, un recorrido aleatorio en el grupo de clases de mapeo terminará en un elemento pseudo-Anosov con una probabilidad que tiende a 1 a medida que aumenta el número de pasos.

Acciones del grupo de clases de mapeo

Acción sobre el espacio de Teichmüller

Dada una superficie perforada (generalmente sin borde), el espacio de Teichmüller es el espacio de estructuras complejas marcadas (equivalentemente, conformes o completamente hiperbólicas) en . Estas se representan por pares donde es una superficie de Riemann y un homeomorfismo, módulo una relación de equivalencia adecuada. Existe una acción obvia del grupo sobre tales pares, que desciende a una acción de sobre el espacio de Teichmüller. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T(S)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (X,f)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:S\to X}$ ${\displaystyle \operatorname {Homeo} ^{+}(S)}$ ${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)}$

Esta acción tiene muchas propiedades interesantes; por ejemplo, es propiamente discontinua (aunque no libre ). Es compatible con varias estructuras geométricas (métricas o complejas) con las que se la puede dotar. En particular, la métrica de Teichmüller se puede utilizar para establecer algunas propiedades a gran escala del grupo de clases de aplicación, por ejemplo, que los planos incrustados cuasi-isométricamente máximos en son de dimensión . ^[9] ${\displaystyle T(S)}$ ${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)}$ ${\displaystyle 3g-3+k}$

La acción se extiende hasta el límite de Thurston del espacio de Teichmüller, y la clasificación de Nielsen-Thurston de las clases de mapeo se puede ver en las propiedades dinámicas de la acción en el espacio de Teichmüller junto con su límite de Thurston. A saber: ^[10]

• Los elementos de orden finito fijan un punto dentro del espacio de Teichmüller (más concretamente, esto significa que cualquier clase de aplicación de orden finito en puede realizarse como una isometría para alguna métrica hiperbólica en ); ${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)}$ ${\displaystyle S}$
• Las clases Pseudo-Anosov fijan los dos puntos en el límite correspondientes a su foliación estable e inestable y la acción es mínima (tiene una órbita densa) en el límite;
• Las clases reducibles no actúan mínimamente en el límite.

Acción sobre la curva compleja

El complejo de curvas de una superficie es un complejo cuyos vértices son clases isotópicas de curvas cerradas simples en . La acción de los grupos de clases de aplicación sobre los vértices se traslada al complejo completo. La acción no es propiamente discontinua (el estabilizador de una curva cerrada simple es un grupo infinito). ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)}$

Esta acción, junto con las propiedades combinatorias y geométricas del complejo de curvas, se puede utilizar para demostrar varias propiedades del grupo de clases de mapeo. ^[11] En particular, explica algunas de las propiedades hiperbólicas del grupo de clases de mapeo: si bien, como se mencionó en la sección anterior, el grupo de clases de mapeo no es un grupo hiperbólico, tiene algunas propiedades que recuerdan a aquellos.

Otros complejos con una acción grupal de clase de mapeo

Pantalones complejos

El complejo pants de una superficie compacta es un complejo cuyos vértices son las descomposiciones pants de (clases de isotopía de sistemas maximalistas de curvas cerradas simples disjuntas). La acción de se extiende a una acción sobre este complejo. Este complejo es cuasi-isométrico al espacio de Teichmüller dotado de la métrica de Weil–Petersson . ^[12] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)}$

Marcas complejas

Los estabilizadores de la acción del grupo de clases de mapeo sobre los complejos de curva y pants son bastante grandes. El complejo de marcas es un complejo cuyos vértices son marcas de , sobre las que actúa el grupo de clases de mapeo y que tienen estabilizadores triviales en él . Es (en oposición al complejo de curva o pants) un complejo localmente finito que es cuasi isométrico al grupo de clases de mapeo. ^[13] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)}$

Una marca ^[a] se determina mediante una descomposición en pantalones y una colección de curvas transversales tales que cada una de las interseca como máximo a una de las , y esto "mínimamente" (esta es una condición técnica que puede enunciarse de la siguiente manera: si están contenidos en una subsuperficie homeomorfa a un toro, entonces se intersecan una vez, y si la superficie es una esfera de cuatro agujeros, se intersecan dos veces). Dos marcas distintas se unen por una arista si difieren por un "movimiento elemental", y el complejo completo se obtiene sumando todos los símplices posibles de dimensiones superiores. ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{\xi }}$ ${\displaystyle \beta _{1},\ldots ,\beta _{\xi }}$ ${\displaystyle \beta _{i}}$ ${\displaystyle \alpha _{i}}$ ${\displaystyle \alpha _{i},\beta _{i}}$

Generadores y relaciones para mapear grupos de clases

El teorema de Dehn-Lickorish

El grupo de clases de mapeo se genera por el subconjunto de giros de Dehn alrededor de todas las curvas cerradas simples en la superficie. El teorema de Dehn-Lickorish establece que es suficiente seleccionar un número finito de ellos para generar el grupo de clases de mapeo. ^[14] Esto generaliza el hecho de que se genera por las matrices ${\displaystyle \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}}}$.

En particular, el grupo de clases de mapeo de una superficie es un grupo generado finitamente .

El número más pequeño de giros de Dehn que puede generar el grupo de clases de aplicación de una superficie cerrada de género es ; esto fue demostrado más tarde por Humphries. ${\displaystyle g\geq 2}$ ${\displaystyle 2g+1}$

Presentabilidad finita

Es posible demostrar que todas las relaciones entre los giros de Dehn en un conjunto generador para el grupo de clases de aplicación pueden escribirse como combinaciones de un número finito entre ellos. Esto significa que el grupo de clases de aplicación de una superficie es un grupo finitamente presentado .

Una forma de demostrar este teorema es deducirlo de las propiedades de la acción del grupo de clases de aplicación sobre el complejo pants: se ve que el estabilizador de un vértice se presenta finitamente, y la acción es cofinita. Dado que el complejo es conexo y simplemente conexo, se deduce que el grupo de clases de aplicación debe generarse finitamente. Hay otras formas de obtener presentaciones finitas, pero en la práctica la única que produce relaciones explícitas para todos los geni es la descrita en este párrafo con un complejo ligeramente diferente en lugar del complejo de curvas, llamado complejo de sistema de corte . ^[15]

Un ejemplo de una relación entre los giros de Dehn que ocurren en esta presentación es la relación de la linterna .

Otros sistemas de generadores

Existen otros sistemas generadores interesantes para el grupo de clases de mapeo además de los giros de Dehn. Por ejemplo, pueden generarse por dos elementos ^[16] o por involuciones. ^[17] ${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)}$

Cohomología del grupo de clases de mapeo

Si es una superficie de género con componentes de borde y punciones entonces la dimensión cohomológica virtual de es igual a . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)}$ ${\displaystyle 4g-4+b+k}$

La primera homología del grupo de clases de mapeo es finita ^[18] y se deduce que el primer grupo de cohomología también es finito.

Subgrupos de los grupos de clases de mapeo

El subgrupo Torelli

Como la homología singular es funcional, el grupo de clases de aplicación actúa mediante automorfismos sobre el primer grupo de homología . Este es un grupo abeliano libre de rango si es cerrado de género . Esta acción da por tanto una representación lineal . ${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)}$ ${\displaystyle H_{1}(S)}$ ${\displaystyle 2g}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)\to \operatorname {GL} _{2g}(\mathbb {Z} )}$

Este mapa es de hecho una sobreyección con imagen igual a los puntos enteros del grupo simpléctico . Esto proviene del hecho de que el número de intersección de curvas cerradas induce una forma simpléctica en la primera homología, que se conserva por la acción del grupo de clases de mapeo. La sobreyectividad se prueba mostrando que las imágenes de los giros de Dehn generan . ^[19] ${\displaystyle \operatorname {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \operatorname {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )}$

El núcleo del morfismo se denomina grupo de Torelli de . Es un subgrupo generado finitamente y libre de torsión ^[20] y su estudio es de importancia fundamental por su relación tanto con la estructura del propio grupo de clases de aplicación (ya que el grupo aritmético se entiende comparativamente muy bien, muchos hechos sobre él se reducen a una afirmación sobre su subgrupo de Torelli) como con las aplicaciones a la topología tridimensional y la geometría algebraica. ${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)\to \operatorname {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)}$

Finitud residual y subgrupos de índice finito

Un ejemplo de aplicación del subgrupo de Torelli es el siguiente resultado:

El grupo de clases de mapeo es residualmente finito .

La prueba se realiza primero utilizando la finitud residual del grupo lineal y luego, para cualquier elemento no trivial del grupo de Torelli, construyendo por medios geométricos subgrupos de índice finito que no lo contengan. ^[21] ${\displaystyle \operatorname {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )}$

Una clase interesante de subgrupos de índice finito está dada por los núcleos de los morfismos:

${\displaystyle \Phi _{n}:\operatorname {Mod} (S)\to \operatorname {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )\to \operatorname {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )}$

El núcleo de se suele denominar subgrupo de congruencia de . Es un grupo libre de torsión para todos (esto se desprende fácilmente de un resultado clásico de Minkowski sobre grupos lineales y del hecho de que el grupo de Torelli está libre de torsión). ${\displaystyle \Phi _{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)}$ ${\displaystyle n\geq 3}$

Subgrupos finitos

El grupo de clases de mapeo tiene solo un número finito de clases de grupos finitos, como se deduce del hecho de que el subgrupo de índice finito está libre de torsión, como se explicó en el párrafo anterior. Además, esto también implica que cualquier subgrupo finito de es un subgrupo del grupo finito . ${\displaystyle \ker(\Phi _{3})}$ ${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)}$ ${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)/\ker(\Phi _{3})\cong \operatorname {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} /3)}$

También se puede obtener un límite del orden de subgrupos finitos por medios geométricos. La solución al problema de realización de Nielsen implica que cualquier grupo de este tipo se realiza como el grupo de isometrías de una superficie hiperbólica de género . El límite de Hurwitz implica entonces que el orden máximo es igual a . ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle 84(g-1)}$

Datos generales sobre los subgrupos

Los grupos de clases de mapeo satisfacen la alternativa de Tits : es decir, cualquier subgrupo de ellos contiene un subgrupo libre no abeliano o es virtualmente resoluble (de hecho, abeliano). ^[22]

Cualquier subgrupo que no sea reducible (es decir, que no conserve un conjunto de clases isotópicas de curvas cerradas simples disjuntas) debe contener un elemento pseudo-Anosov. ^[23]

Representaciones lineales

Es una pregunta abierta si el grupo de clases de aplicación es un grupo lineal o no. Además de la representación simpléctica sobre homología explicada anteriormente, existen otras representaciones lineales de dimensión finita interesantes que surgen de la teoría cuántica de campos topológicos . Las imágenes de estas representaciones están contenidas en grupos aritméticos que no son simplécticos, y esto permite construir muchos más cocientes finitos de . ^[24] ${\displaystyle \operatorname {Mod} (S)}$

En la otra dirección, existe un límite inferior para la dimensión de una representación fiel (putativa), que debe ser al menos . ^[25] ${\displaystyle 2{\sqrt {g-1}}}$

Notas

1. Describimos aquí únicamente las marcas "limpias, completas" (en la terminología de Masur y Minsky (2000)).

Citas

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3. Farb y Margalit 2012, Teorema 2.5.
4. Birmano 1974.
5. Farb y Margalit 2012, Teorema 8.1.
6. Birman 1969, págs. 213-238.
7. Farb y Margalit 2012, Teorema 4.6.
8. Fathi, Laudenbach y Poénaru 2012, Capítulo 9.
9. Eskin, Masur y Rafi 2017.
10. Fathi, Laudenbach y Poénaru 2012.
11. Invent. Matemáticas. 1999, págs. 103-149.
12. Brock 2002.
13. Masur y Minsky 2000.
14. Farb y Margalit 2012, Teorema 4.1.
15. Hatcher y Thurston 1980.
16. Topología 1996, págs. 377–383.
17. J. Álgebra 2004.
18. Proc. Amer. Math. Soc. 2010, págs. 753–758.
19. Farb y Margalit 2012, Teorema 6.4.
20. Farb & Margalit 2012, Teorema 6.15 y Teorema 6.12.
21. Farb y Margalit 2012, Teorema 6.11.
22. Ivanov 1992, Teorema 4.
23. Ivanov 1992, Teorema 1.
24. Geom. Tópol. 2012, págs. 1393-1411.
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Fuentes

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