En matemáticas , específicamente en teoría de grupos , el componente identidad de un grupo G (también conocido como su componente unidad ) se refiere a varias nociones estrechamente relacionadas del subgrupo conectado más grande de G que contiene el elemento identidad.
En la topología de conjuntos puntuales , el componente de identidad de un grupo topológico G es el componente conexo G 0 de G que contiene el elemento de identidad del grupo. El componente de ruta de identidad de un grupo topológico G es el componente de ruta de G que contiene el elemento de identidad del grupo.
En geometría algebraica , el componente identidad de un grupo algebraico G sobre un cuerpo k es el componente identidad del espacio topológico subyacente. El componente identidad de un esquema de grupo G sobre un esquema base S es, en términos generales, el esquema de grupo G 0 cuya fibra sobre el punto s de S es el componente conexo (G s ) 0 de la fibra G s , un grupo algebraico. [1]
El componente identidad G 0 de un grupo topológico o algebraico G es un subgrupo normal cerrado de G . Es cerrado ya que los componentes siempre son cerrados. Es un subgrupo ya que la multiplicación y la inversión en un grupo topológico o algebraico son funciones continuas por definición. Además, para cualquier automorfismo continuo a de G tenemos
Por tanto, G 0 es un subgrupo característico de G , por lo que es normal.
El componente identidad G 0 de un grupo topológico G no necesita ser abierto en G . De hecho, podemos tener G 0 = { e }, en cuyo caso G está totalmente desconectado . Sin embargo, el componente identidad de un espacio conexo por caminos local (por ejemplo, un grupo de Lie ) siempre es abierto, ya que contiene un entorno conexo por caminos de { e }; y por lo tanto es un conjunto clopen .
El componente de ruta de identidad de un grupo topológico puede, en general, ser más pequeño que el componente de identidad (ya que la conectividad de ruta es una condición más fuerte que la conectividad), pero estos concuerdan si G está conectado por ruta localmente.
El grupo cociente G / G0 se denomina grupo de componentes o grupo de componentes de G. Sus elementos son justamente los componentes conexos de G. El grupo de componentes G / G0 es un grupo discreto si y sólo si G0 es abierto. Si G es un grupo algebraico de tipo finito , como por ejemplo un grupo algebraico afín , entonces G / G0 es en realidad un grupo finito .
De manera similar, se puede definir el grupo de componentes de la trayectoria como el grupo de componentes de la trayectoria (cociente de G por el componente de la trayectoria identidad) y, en general, el grupo de componentes es un cociente del grupo de componentes de la trayectoria, pero si G está localmente conectado por trayectorias, estos grupos concuerdan. El grupo de componentes de la trayectoria también se puede caracterizar como el grupo de homotopía cero .
Un grupo algebraico G sobre un cuerpo topológico K admite dos topologías naturales, la topología de Zariski y la topología heredada de K . El componente identidad de G a menudo cambia dependiendo de la topología. Por ejemplo, el grupo lineal general GL n ( R ) es conexo como grupo algebraico pero tiene dos componentes de trayectoria como grupo de Lie, las matrices de determinante positivo y las matrices de determinante negativo. Cualquier grupo algebraico conexo sobre un cuerpo local no arquimediano K está totalmente desconectado en la K -topología y por lo tanto tiene un componente identidad trivial en esa topología.
