Propiedad de Kazhdan (T)

Término de matemáticas

En matemáticas , un grupo topológico localmente compacto G tiene la propiedad (T) si la representación trivial es un punto aislado en su dual unitario equipado con la topología Fell . Informalmente, esto significa que si G actúa unitariamente en un espacio de Hilbert y tiene "vectores casi invariantes", entonces tiene un vector invariante distinto de cero . La definición formal, introducida por David Kazhdan (1967), le da a esto un significado preciso y cuantitativo.

Aunque originalmente se definió en términos de representaciones irreducibles , la propiedad (T) a menudo puede comprobarse incluso cuando hay poco o ningún conocimiento explícito del dual unitario. La propiedad (T) tiene importantes aplicaciones en la teoría de la representación de grupos , las redes en grupos algebraicos sobre campos locales , la teoría ergódica , la teoría geométrica de grupos , los expansores , las álgebras de operadores y la teoría de redes .

Definiciones

Sea G un grupo topológico σ-compacto y localmente compacto y π : G → U ( H ) una representación unitaria de G en un espacio de Hilbert (complejo) H . Si ε > 0 y K es un subconjunto compacto de G , entonces un vector unitario ξ en H se llama vector invariante (ε, K ) si

${\displaystyle \forall g\in K\ :\ \left\|\pi (g)\xi -\xi \right\|<\varepsilon .}$

Las siguientes condiciones sobre G son todas equivalentes a que G tenga la propiedad (T) de Kazhdan , y cualquiera de ellas puede usarse como definición de propiedad (T).

(1) La representación trivial es un punto aislado del dual unitario de G con topología Fell .

(2) Cualquier secuencia de funciones definidas positivas continuas en G que convergen a 1 uniformemente en subconjuntos compactos , converge a 1 uniformemente en G.

(3) Cada representación unitaria de G que tiene un vector unitario (ε, K )-invariante para cualquier ε > 0 y cualquier subconjunto compacto K , tiene un vector invariante distinto de cero.

(4) Existe un ε > 0 y un subconjunto compacto K de G tal que cada representación unitaria de G que tiene un vector unitario invariante (ε, K ), tiene un vector invariante distinto de cero.

(5) Cada acción isométrica afín continua de G en un espacio de Hilbert real tiene un punto fijo ( propiedad (FH) ).

Si H es un subgrupo cerrado de G , se dice que el par ( G , H ) tiene propiedad relativa (T) de Margulis si existe un ε > 0 y un subconjunto compacto K de G tal que siempre que una representación unitaria de G tenga un vector unitario invariante (ε, K ) , entonces tiene un vector distinto de cero fijado por H.

Discusión

La definición (4) evidentemente implica la definición (3). Para mostrar lo contrario, sea G un grupo localmente compacto que satisfaga (3), supongamos por contradicción que para cada K y ε hay una representación unitaria que tiene un vector unitario invariante ( K , ε) y no tiene un vector invariante. . Mire la suma directa de todas esas representaciones y eso negará (4).

La equivalencia de (4) y (5) (Propiedad (FH)) es el teorema de Delorme-Guichardet. El hecho de que (5) implique (4) requiere la suposición de que G es σ-compacto (y localmente compacto) (Bekka et al., Teorema 2.12.4).

Propiedades generales

• La propiedad (T) se conserva en los cocientes: si G tiene la propiedad (T) y H es un grupo cociente de G , entonces H tiene la propiedad (T). De manera equivalente, si una imagen homomórfica de un grupo G no tiene la propiedad (T), entonces G en sí no tiene la propiedad (T).
• Si G tiene la propiedad (T), entonces G /[ G , G ] es compacto.
• Cualquier grupo discreto contable con propiedad (T) se genera de forma finita.
• Un grupo susceptible que tiene la propiedad (T) es necesariamente compacto . La amabilidad y la propiedad (T) son, en un sentido aproximado, opuestas: hacen que los vectores casi invariantes sean fáciles o difíciles de encontrar.
• Teorema de Kazhdan : si Γ es una red en un grupo de Lie G , entonces Γ tiene la propiedad (T) si y sólo si G tiene la propiedad (T). Así, para n ≥ 3, el grupo lineal especial SL( n , Z ) tiene la propiedad (T).

Ejemplos

• Los grupos topológicos compactos tienen propiedad (T). En particular, el grupo circular , el grupo aditivo Z _p de p -enteros ádicos, los grupos unitarios especiales compactos SU ( n ) y todos los grupos finitos tienen la propiedad (T).
• Grupos de Lie reales simples de rango real al menos dos tienen la propiedad (T). Esta familia de grupos incluye los grupos lineales especiales SL( n , R ) para n ≥ 3 y los grupos ortogonales especiales SO( p , q ) para p > q ≥ 2 y SO( p , p ) para p ≥ 3. De manera más general , esto es válido para grupos algebraicos simples de rango al menos dos en un campo local .
• Los pares ( R ⁿ ⋊ SL( n , R ), R ⁿ ) y ( Z ⁿ ⋊ SL( n , Z ), Z ⁿ ) tienen propiedad relativa (T) para n ≥ 2.
• Para n ≥ 2, el grupo de Lie no compacto Sp ( n , 1) de isometrías de una forma hermitiana cuaterniónica de firma ( n , 1) es un grupo de Lie simple de rango real 1 que tiene la propiedad (T). Según el teorema de Kazhdan, las redes de este grupo tienen la propiedad (T). Esta construcción es importante porque estos retículos son grupos hiperbólicos ; así, hay grupos que son hiperbólicos y tienen la propiedad (T). Ejemplos explícitos de grupos en esta categoría los proporcionan las redes aritméticas en Sp ( n , 1) y ciertos grupos de reflexión cuaterniónicos .

Ejemplos de grupos que no tienen propiedad (T) incluyen

• Los grupos aditivos de números enteros Z , de números reales R y de números p -ádicos Q _p .
• Los grupos lineales especiales SL(2, Z ) y SL(2, R ), como resultado de la existencia de representaciones en series complementarias cercanas a la representación trivial, aunque SL(2, Z ) tiene la propiedad (τ) con respecto a la congruencia principal subgrupos, por el teorema de Selberg.
• Grupos solubles no compactos .
• Grupos libres no triviales y grupos abelianos libres .

Grupos discretos

Históricamente, la propiedad (T) se estableció para grupos discretos Γ incorporándolos como redes en grupos de Lie reales o p-ádicos con propiedad (T). Actualmente existen varios métodos directos disponibles.

• El método algebraico de Shalom se aplica cuando Γ = SL( n , R ) con R un anillo y n ≥ 3; el método se basa en el hecho de que Γ puede generarse de forma acotada , es decir, puede expresarse como un producto finito de subgrupos más fáciles, como los subgrupos elementales que consisten en matrices que difieren de la matriz identidad en una posición dada fuera de la diagonal.
• El método geométrico tiene su origen en ideas de Garland, Gromov y Pierre Pansu . Su versión combinatoria más simple se debe a Zuk: sea Γ un grupo discreto generado por un subconjunto finito S , cerrado tomando inversas y que no contenga la identidad, y defina un gráfico finito con vértices S y una arista entre g y h siempre que g ^{− 1} h se encuentra en S . Si este gráfico es conectado y el valor propio más pequeño distinto de cero del laplaciano del correspondiente paseo aleatorio simple es mayor que ½, entonces Γ tiene la propiedad (T). Una versión geométrica más general, debida a Zuk y Ballmann & Swiatkowski (1997), afirma que si un grupo discreto Γ actúa apropiadamente de manera discontinua y cocompacta sobre un complejo simplicial bidimensional contráctil con las mismas condiciones teóricas de grafos colocadas en el enlace en cada vértice , entonces Γ tiene la propiedad (T). Se pueden exhibir muchos ejemplos nuevos de grupos hiperbólicos con la propiedad (T) utilizando este método.
• El método asistido por ordenador se basa en una sugerencia de Narutaka Ozawa y ha sido implementado con éxito por varios investigadores. Se basa en la caracterización algebraica de la propiedad (T) en términos de una desigualdad en el álgebra de grupos reales , para la cual se puede encontrar una solución resolviendo numéricamente un problema de programación semidefinida en una computadora. En particular, este método ha confirmado la propiedad (T) para el grupo de automorfismo del grupo libre de rango al menos 5. No se conoce ninguna prueba humana para este resultado.

Aplicaciones

• Grigory Margulis utilizó el hecho de que SL( n , Z ) (para n ≥ 3) tiene la propiedad (T) para construir familias explícitas de gráficos en expansión , es decir, gráficos con la propiedad de que cada subconjunto tiene un "límite" uniformemente grande. Esta conexión llevó a que una serie de estudios recientes dieran una estimación explícita de las constantes de Kazhdan , cuantificando la propiedad (T) para un grupo particular y un grupo electrógeno.
• Alain Connes usó grupos discretos con propiedad (T) para encontrar ejemplos de factores de tipo II ₁ con grupo fundamental contable , por lo que, en particular, no todos los reales positivos ℝ ⁺ . Posteriormente, Sorin Popa utilizó la propiedad relativa (T) para grupos discretos para producir un factor tipo II ₁ con un grupo fundamental trivial.
• Los grupos con propiedad (T) también tienen la propiedad de Serre FA . ^[1]
• Toshikazu Sunada observó que la positividad de la parte inferior del espectro de un laplaciano "retorcido" en una variedad cerrada está relacionada con la propiedad (T) del grupo fundamental . ^[2] Esta observación produce el resultado de Brooks que dice que la parte inferior del espectro del laplaciano en la variedad de cobertura universal sobre una variedad de Riemann cerrada M es igual a cero si y sólo si el grupo fundamental de M es susceptible . ^[3]

Referencias

1. Watatani, Yasuo (1981). "La propiedad T de Kazhdan implica la propiedad FA de Serre". Matemáticas. Japón . 27 : 97-103. SEÑOR  0649023. Zbl  0489.20022.
2. Sunada, Toshikazu (1989). "Representaciones unitarias de grupos fundamentales y el espectro de laplacianos retorcidos". Topología . 28 (2): 125-132. doi : 10.1016/0040-9383(89)90015-3 .
3. Brooks, Robert (1981). "El grupo fundamental y el espectro del laplaciano". Comentario. Matemáticas. Helv . 56 : 581–598. doi :10.1007/bf02566228.

• Ballmann, W.; Swiatkowski, J. (1997), "L ² -cohomología y propiedad (T) para grupos de automorfismos de complejos de células poliédricas", GAFA , 7 (4): 615–645, CiteSeerX  10.1.1.56.8641 , doi :10.1007/s000390050022
• Bekka, Bachir; de la Harpe, Pierre; Valette, Alain (2008), Propiedad de Kazhdan (T) (PDF) , Nuevas monografías matemáticas, vol. 11, Prensa de la Universidad de Cambridge , ISBN 978-0-521-88720-5, señor  2415834
• de la Harpe, P.; Valette, A. (1989), "La propriété (T) de Kazhdan pour les groupes localement compactes (con un apéndice de M. Burger)", Astérisque , 175.
• Kazhdan, D. (1967), "Sobre la conexión del espacio dual de un grupo con la estructura de sus subgrupos cerrados", Análisis funcional y sus aplicaciones , 1 (1): 63–65, doi :10.1007/BF01075866Señor 0209390
• Lubotzky , A. (1994), Grupos discretos, gráficas en expansión y medidas invariantes , Progress in Mathematics, vol. 125, Basilea: Birkhäuser Verlag, ISBN 978-3-7643-5075-8
• Lubotzky , A. y A. Zuk, Sobre la propiedad (τ), monografía por aparecer.
• Lubotzky , A. (2005), "¿Qué es la propiedad (τ)" (PDF) , Avisos AMS , 52 (6): 626–627.
• Shalom, Y. (2006), "La algebraización de la propiedad (T)" (PDF) , Congreso Internacional de Matemáticos Madrid 2006
• Zuk, A. (1996), "La propriété (T) de Kazhdan pour les groupes agissant sur les polyèdres", CR Acad. Ciencia. París , 323 : 453–458.
• Zuk, A. (2003), "Propiedad (T) y constantes de Kazhdan para grupos discretos", GAFA , 13 (3): 643–670, doi :10.1007/s00039-003-0425-8.