En matemáticas, el espectro de un álgebra C* o dual de un álgebra C* A , denotado  , es el conjunto de clases de equivalencia unitaria de representaciones * irreducibles de A. Una representación * π de A en un espacio de Hilbert H es irreducible si, y solo si, no existe un subespacio cerrado K diferente de H y {0} que sea invariante bajo todos los operadores π( x ) con x ∈ A . Implícitamente asumimos que la representación irreducible significa una representación irreducible no nula , excluyendo así las representaciones triviales (es decir, idénticamente 0) en espacios unidimensionales . Como se explica más adelante, el espectro también es naturalmente un espacio topológico ; esto es similar a la noción de espectro de un anillo .
Una de las aplicaciones más importantes de este concepto es proporcionar una noción de objeto dual para cualquier grupo localmente compacto . Este objeto dual es adecuado para formular una transformada de Fourier y un teorema de Plancherel para grupos localmente compactos separables unimodulares de tipo I y un teorema de descomposición para representaciones arbitrarias de grupos localmente compactos separables de tipo I. Sin embargo, la teoría de la dualidad resultante para grupos localmente compactos es mucho más débil que la teoría de la dualidad de Tannaka-Krein para grupos topológicos compactos o la dualidad de Pontryagin para grupos abelianos localmente compactos , los cuales son invariantes completos. Que el dual no es un invariante completo se ve fácilmente ya que el dual de cualquier álgebra matricial completa de dimensión finita M n ( C ) consta de un solo punto.
La topología de  se puede definir de varias formas equivalentes. Primero lo definimos en términos del espectro primitivo .
El espectro primitivo de A es el conjunto de ideales primitivos Prim( A ) de A , donde un ideal primitivo es el núcleo de una representación * irreducible distinta de cero. El conjunto de ideales primitivos es un espacio topológico con la topología casco-núcleo (o topología de Jacobson ). Esto se define de la siguiente manera: si X es un conjunto de ideales primitivos, su cierre casco-núcleo es
Se demuestra fácilmente que el cierre casco-núcleo es una operación idempotente , es decir
y se puede demostrar que satisface los axiomas de cierre de Kuratowski . Como consecuencia, se puede demostrar que existe una topología única τ en Prim( A ) tal que el cierre de un conjunto X con respecto a τ es idéntico al cierre casco-núcleo de X .
Dado que las representaciones unitariamente equivalentes tienen el mismo núcleo, el mapa π ↦ ker(π) factoriza a través de un mapa sobreyectivo
Usamos el mapa k para definir la topología en  de la siguiente manera:
Definición . Los conjuntos abiertos de  son imágenes inversas k −1 ( U ) de subconjuntos abiertos U de Prim( A ). De hecho, esta es una topología.
La topología casco-núcleo es análoga a los anillos no conmutativos de la topología de Zariski para anillos conmutativos.
La topología inducida a partir de la topología casco-núcleo tiene otras caracterizaciones en términos de estados de A.
El espectro de un álgebra C* conmutativa A coincide con el dual de Gelfand de A (no confundir con el dual A' del espacio de Banach A ). En particular, supongamos que X es un espacio compacto de Hausdorff . Entonces hay un homeomorfismo natural .
Este mapeo está definido por
I( x ) es un ideal máximo cerrado en C( X ), por lo que, de hecho, es primitivo. Para obtener detalles de la prueba, consulte la referencia de Dixmier. Para un álgebra C* conmutativa,
Sea H un espacio de Hilbert separable de dimensión infinita . L ( H ) tiene dos ideales * de norma cerrada: I 0 = {0} y el ideal K = K ( H ) de operadores compactos. Así, como conjunto, Prim( L ( H )) = { I 0 , K }. Ahora
Por tanto, Prim( L ( H )) es un espacio que no es de Hausdorff.
El espectro de L ( H ), por otro lado, es mucho mayor. Hay muchas representaciones irreducibles no equivalentes con el núcleo K ( H ) o con el núcleo {0}.
Supongamos que A es un álgebra C* de dimensión finita. Se sabe que A es isomorfo a una suma directa finita de álgebras matriciales completas:
donde min( A ) son las proyecciones centrales mínimas de A . El espectro de A es canónicamente isomorfo a min( A ) con la topología discreta . Para álgebras C* de dimensión finita, también tenemos el isomorfismo
La topología casco-núcleo es fácil de describir de manera abstracta, pero en la práctica para álgebras C* asociadas a grupos topológicos localmente compactos , son deseables otras caracterizaciones de la topología en el espectro en términos de funciones definidas positivas.
De hecho, la topología de  está íntimamente relacionada con el concepto de contención débil de representaciones como se muestra a continuación:
La segunda condición significa exactamente que π está débilmente contenido en S.
La construcción GNS es una receta para asociar estados de un álgebra C* A a representaciones de A. Según uno de los teoremas básicos asociados a la construcción GNS, un estado f es puro si y sólo si la representación asociada π f es irreducible. Además, el mapeo κ : PureState( A ) → Â definido por f ↦ π f es un mapeo sobreyectivo.
Del teorema anterior se puede demostrar fácilmente lo siguiente;
Existe aún otra caracterización de la topología que surge al considerar el espacio de representaciones como un espacio topológico con una topología de convergencia puntual apropiada. Más precisamente, sea n un número cardinal y sea H n el espacio canónico de Hilbert de dimensión n .
Irr n ( A ) es el espacio de representaciones * irreducibles de A en H n con la topología de punto débil. En términos de convergencia de redes, esta topología está definida por π i → π; si y solo si
Resulta que esta topología en Irr n ( A ) es la misma que la topología puntual, es decir, π i → π si y solo si
Observación . La unión de las distintas n puede resultar bastante complicada.
 es un espacio topológico y, por tanto, también puede considerarse un espacio de Borel . Una famosa conjetura de G. Mackey propuso que un grupo localmente compacto separable es de tipo I si y sólo si el espacio de Borel es estándar, es decir, es isomorfo (en la categoría de espacios de Borel) al espacio de Borel subyacente de un espacio métrico separable completo. . Mackey llamó espacios de Borel con esta propiedad suaves . Esta conjetura fue demostrada por James Glimm para álgebras C* separables en el artículo de 1961 que figura en las referencias siguientes.
Definición . Una representación * no degenerada π de un álgebra C* separable A es una representación factorial si y sólo si el centro del álgebra de von Neumann generada por π( A ) es unidimensional. AC*-álgebra A es de tipo I si y sólo si cualquier representación factorial separable de A es un múltiplo finito o contable de uno irreducible.
Ejemplos de grupos G separables localmente compactos tales que C*( G ) es de tipo I son grupos de Lie nilpotentes (reales) conectados y grupos de Lie semisimples reales conectados. Por tanto, los grupos de Heisenberg son todos del tipo I. Los grupos compactos y abelianos también son del tipo I.
El resultado implica una generalización de gran alcance de la estructura de representaciones de álgebras IC* separables de tipo y, correspondientemente, de grupos localmente compactos separables de tipo I.
Dado que un álgebra C* A es un anillo , también podemos considerar el conjunto de ideales primitivos de A , donde A se considera algebraicamente. Para un anillo un ideal es primitivo si y sólo si es el aniquilador de un módulo simple . Resulta que para un C*-álgebra A , un ideal es algebraicamente primitivo si y sólo si es primitivo en el sentido definido anteriormente.
Este es el Corolario del Teorema 2.9.5 de la referencia de Dixmier.
Si G es un grupo localmente compacto, la topología en el espacio dual del grupo C*-álgebra C*( G ) de G se llama topología Fell , que lleva el nombre de JMG Fell .
