grupo heisenberg

Grupo en teoría de grupos y física.

En matemáticas , el grupo de Heisenberg , llamado así en honor a Werner Heisenberg , es el grupo de matrices triangulares superiores de 3×3 de la forma ${\displaystyle H}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\\\end{pmatrix}}}$

bajo la operación de multiplicación de matrices . Los elementos a, b y c pueden tomarse de cualquier anillo conmutativo con identidad, a menudo considerado el anillo de números reales (lo que da como resultado el "grupo continuo de Heisenberg") o el anillo de números enteros (lo que da como resultado el "grupo discreto de Heisenberg") .

El grupo continuo de Heisenberg surge en la descripción de sistemas mecánicos cuánticos unidimensionales , especialmente en el contexto del teorema de Stone-von Neumann . De manera más general, se pueden considerar grupos de Heisenberg asociados a sistemas n -dimensionales y, de manera más general, a cualquier espacio vectorial simpléctico .

El caso tridimensional

En el caso tridimensional, el producto de dos matrices de Heisenberg viene dado por:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&a'&c'\\0&1&b'\\0&0&1\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&a+a'&c+ab'+c'\\0&1&b+b'\\0&0&1\\\end{pmatrix}}\,.}$

Como se puede ver en el término ab' , el grupo no es abeliano .

El elemento neutro del grupo de Heisenberg es la matriz identidad , y las inversas están dadas por

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\\\end{pmatrix}}^{-1}={\begin{pmatrix}1&-a&ab-c\\0&1&-b\\0&0&1\\\end{pmatrix}}\,.}$

El grupo es un subgrupo del grupo afín bidimensional Aff(2): actuar corresponde a la transformada afín . ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\\\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle ({\vec {x}},1)}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}}{\vec {x}}+{\begin{pmatrix}c\\b\end{pmatrix}}}$

Hay varios ejemplos destacados del caso tridimensional.

Grupo continuo de Heisenberg

Si a, b, c son números reales (en el anillo R ), entonces se tiene el grupo continuo de Heisenberg H ₃ ( R ).

Es un grupo de Lie real nilpotente de dimensión 3.

Además de la representación como matrices reales de 3 × 3, el grupo continuo de Heisenberg también tiene varias representaciones diferentes en términos de espacios funcionales . Según el teorema de Stone-von Neumann , existe, hasta el isomorfismo, una representación unitaria irreducible única de H en la que su centro actúa con un carácter no trivial dado . Esta representación tiene varias realizaciones o modelos importantes. En el modelo de Schrödinger , el grupo de Heisenberg actúa sobre el espacio de funciones cuadradas integrables . En la representación theta , actúa sobre el espacio de funciones holomorfas en el semiplano superior ; Se llama así por su conexión con las funciones theta .

Grupo discreto de Heisenberg

Una porción del gráfico de Cayley del grupo discreto de Heisenberg, con generadores x,y,z como en el texto (el coloreado es solo como ayuda visual).

Si a, b, c son números enteros (en el anillo Z ), entonces se tiene el grupo discreto de Heisenberg H ₃ ( Z ). Es un grupo nilpotente no abeliano . Tiene dos generadores,

${\displaystyle x={\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}},\ \ y={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&1\\0&0&1\\\end{pmatrix}}}$

y relaciones

${\displaystyle z_{}^{}=xyx^{-1}y^{-1},\ xz=zx,\ yz=zy}$,

dónde

${\displaystyle z={\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}}$

es el generador del centro de H ₃ . (Tenga en cuenta que las inversas de x , y y z reemplazan el 1 sobre la diagonal con −1).

Según el teorema de Bass , tiene una tasa de crecimiento polinómico de orden 4.

Se puede generar cualquier elemento a través de

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\\\end{pmatrix}}=y^{b}z^{c}x^{a}\,.}$

Grupo de Heisenberg módulo un primo impar p

Si se toma a, b, c en Z / p Z para un primo impar p , entonces se tiene el módulo del grupo de Heisenberg p . Es un grupo de orden p ³ con generadores x,y y relaciones:

${\displaystyle z_{}^{}=xyx^{-1}y^{-1},\ x^{p}=y^{p}=z^{p}=1,\ xz=zx,\ yz=zy.}$

Los análogos de los grupos de Heisenberg sobre campos finitos de orden primo impar p se denominan grupos extra especiales o, más propiamente, grupos extra especiales de exponente p . De manera más general, si el subgrupo derivado de un grupo G está contenido en el centro Z de G , entonces el mapa de G/Z × G/Z → Z es un operador bilineal simétrico sesgado en grupos abelianos.

Sin embargo, requerir que G/Z sea un espacio vectorial finito requiere que el subgrupo Frattini de G esté contenido en el centro, y requerir que Z sea un espacio vectorial unidimensional sobre Z / p Z requiere que Z tenga orden p , por lo que si G no es abeliano, entonces G es extra especial. Si G es extra especial pero no tiene exponente p , entonces la construcción general siguiente aplicada al espacio vectorial simpléctico G/Z no produce un grupo isomorfo a G.

Grupo Heisenberg módulo 2

El grupo de Heisenberg módulo 2 es de orden 8 y es isomorfo al grupo diédrico D ₄ (las simetrías de un cuadrado). Observa que si

${\displaystyle x={\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}},\ \ y={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&1\\0&0&1\\\end{pmatrix}}}$.

Entonces

${\displaystyle xy={\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\\\end{pmatrix}},}$

y

${\displaystyle yx={\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\0&0&1\\\end{pmatrix}}.}$

Los elementos xey corresponden a reflexiones (con 45° entre ellos), mientras que xy e yx corresponden a rotaciones de 90°. Las otras reflexiones son xyx e yxy , y la rotación de 180° es xyxy (= yxyx ).

álgebra de heisenberg

El álgebra de Lie del grupo de Heisenberg (sobre los números reales) se conoce como álgebra de Heisenberg. ^[1] Puede representarse utilizando el espacio de matrices de 3×3 de la forma ^[2] ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle H}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&a&c\\0&0&b\\0&0&0\\\end{pmatrix}},}$

con . ${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {R} }$

Los siguientes tres elementos forman la base para , ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

${\displaystyle X={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\\\end{pmatrix}};\quad Y={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\\\end{pmatrix}};\quad Z={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\\\end{pmatrix}}.}$

Estos elementos básicos satisfacen las relaciones de conmutación,

${\displaystyle [X,Y]=Z;\quad [X,Z]=0;\quad [Y,Z]=0}$.

El nombre "grupo de Heisenberg" está motivado por las relaciones anteriores, que tienen la misma forma que las relaciones de conmutación canónicas en la mecánica cuántica.

${\displaystyle \left[{\hat {x}},{\hat {p}}\right]=i\hbar I;\quad \left[{\hat {x}},i\hbar I\right]=0;\quad \left[{\hat {p}},i\hbar I\right]=0,}$

donde es el operador de posición, es el operador de momento y es la constante de Planck. ${\displaystyle {\hat {x}}}$ ${\displaystyle {\hat {p}}}$ ${\displaystyle \hbar }$

El grupo H de Heisenberg tiene la propiedad especial de que el mapa exponencial es un mapa uno a uno y on del álgebra de Lie al grupo H , ^[3] ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

${\displaystyle \exp {\begin{pmatrix}0&a&c\\0&0&b\\0&0&0\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&a&c+{\frac {ab}{2}}\\0&1&b\\0&0&1\\\end{pmatrix}}.}$

En la teoría de campos conforme

En la teoría de campos conforme , el término álgebra de Heisenberg se utiliza para referirse a una generalización de dimensión infinita del álgebra anterior. Está abarcado por elementos , con relaciones de conmutación. ${\displaystyle a_{n},n\in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle [a_{n},a_{m}]=\delta _{n+m,0}.}$

Bajo un cambio de escala, esto es simplemente un número infinito y contable de copias del álgebra anterior.

Dimensiones superiores

Se pueden definir grupos de Heisenberg más generales para dimensiones superiores en el espacio euclidiano y, de manera más general, en espacios vectoriales simplécticos . El caso general más simple es el grupo real de dimensiones de Heisenberg , para cualquier número entero . Como grupo de matrices, (o para indicar que es el grupo de Heisenberg sobre el campo de números reales) se define como el grupo de matrices con entradas en y que tienen la forma: ${\displaystyle H_{2n+1}}$ ${\displaystyle 2n+1}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle H_{2n+1}}$ ${\displaystyle H_{2n+1}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (n+2)\times (n+2)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&\mathbf {a} &c\\\mathbf {0} &I_{n}&\mathbf {b} \\0&\mathbf {0} &1\end{bmatrix}}}$

dónde

a es un vector fila de longitud n ,

b es un vector columna de longitud n ,

In _es la matriz identidad de tamaño n .

Estructura de grupo

De hecho, este es un grupo, como lo muestra la multiplicación:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&\mathbf {a} &c\\0&I_{n}&\mathbf {b} \\0&0&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&\mathbf {a} '&c'\\0&I_{n}&\mathbf {b} '\\0&0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&\mathbf {a} +\mathbf {a} '&c+c'+\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} '\\0&I_{n}&\mathbf {b} +\mathbf {b} '\\0&0&1\end{bmatrix}}}$

y

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&\mathbf {a} &c\\0&I_{n}&\mathbf {b} \\0&0&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&-\mathbf {a} &-c+\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \\0&I_{n}&-\mathbf {b} \\0&0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&I_{n}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}.}$

álgebra de mentiras

El grupo de Heisenberg es un grupo de Lie simplemente conexo cuyo álgebra de Lie consta de matrices

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&\mathbf {a} &c\\0&0_{n}&\mathbf {b} \\0&0&0\end{bmatrix}},}$

dónde

a es un vector fila de longitud n ,

b es un vector columna de longitud n ,

0 _n es la matriz cero de tamaño n .

Al dejar que e ₁ , ..., en _sea la base canónica de R ⁿ y establecer

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{i}&={\begin{bmatrix}0&\operatorname {e} _{i}^{\mathrm {T} }&0\\0&0_{n}&0\\0&0&0\end{bmatrix}},\\q_{j}&={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0_{n}&\operatorname {e} _{j}\\0&0&0\end{bmatrix}},\\z&={\begin{bmatrix}0&0&1\\0&0_{n}&0\\0&0&0\end{bmatrix}},\end{aligned}}}$

el álgebra de Lie asociada se puede caracterizar por las relaciones de conmutación canónicas ,

donde p ₁ , ...,  p _n , q ₁ , ...,  q _n , z son los generadores de álgebra.

En particular, z es un elemento central del álgebra de Lie de Heisenberg. Tenga en cuenta que el álgebra de Lie del grupo de Heisenberg es nilpotente.

mapa exponencial

Dejar

${\displaystyle u={\begin{bmatrix}0&\mathbf {a} &c\\0&0_{n}&\mathbf {b} \\0&0&0\end{bmatrix}},}$

que cumple . El mapa exponencial se evalúa como ${\displaystyle u^{3}=0_{n+2}}$

${\displaystyle \exp(u)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}u^{k}=I_{n+2}+u+{\tfrac {1}{2}}u^{2}={\begin{bmatrix}1&\mathbf {a} &c+{1 \over 2}\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \\0&I_{n}&\mathbf {b} \\0&0&1\end{bmatrix}}.}$

El mapa exponencial de cualquier álgebra de Lie nilpotente es un difeomorfismo entre el álgebra de Lie y el único grupo de Lie asociado , conectado y simplemente conectado .

Esta discusión (aparte de las declaraciones que se refieren a la dimensión y al grupo de Lie) se aplica aún más si reemplazamos R por cualquier anillo conmutativo A. El grupo correspondiente se denomina H _n ( A ).

Bajo el supuesto adicional de que el primo 2 es invertible en el anillo A , el mapa exponencial también se define, ya que se reduce a una suma finita y tiene la forma anterior (por ejemplo, A podría ser un anillo Z / p Z con un primo impar p o cualquier campo de característica 0).

Teoría de la representación

La teoría de la representación unitaria del grupo de Heisenberg es bastante simple (posteriormente generalizada por la teoría de Mackey ) y fue la motivación para su introducción en la física cuántica, como se analiza más adelante.

Para cada número real distinto de cero , podemos definir una representación unitaria irreducible que actúa en el espacio de Hilbert mediante la fórmula: ^[4] ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle \Pi _{\hbar }}$ ${\displaystyle H_{2n+1}}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$

${\displaystyle \left[\Pi _{\hbar }{\begin{pmatrix}1&\mathbf {a} &c\\0&I_{n}&\mathbf {b} \\0&0&1\end{pmatrix}}\psi \right](x)=e^{i\hbar c}e^{ib\cdot x}\psi (x+\hbar a)}$

Esta representación se conoce como representación de Schrödinger . La motivación para esta representación es la acción de los operadores exponenciales de posición y momento en la mecánica cuántica. El parámetro describe traslaciones en el espacio de posición, el parámetro describe traslaciones en el espacio de momento y el parámetro proporciona un factor de fase general. El factor de fase es necesario para obtener un grupo de operadores, ya que las traslaciones en el espacio de posiciones y las traslaciones en el espacio de momentos no conmutan. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$

El resultado clave es el teorema de Stone-von Neumann , que establece que toda representación unitaria irreducible (fuertemente continua) del grupo de Heisenberg en la que el centro actúa de manera no trivial es equivalente a para algunos . ^[5] Alternativamente, que todos son equivalentes al álgebra de Weyl (o álgebra CCR ) en un espacio simpléctico de dimensión 2 n . ${\displaystyle \Pi _{\hbar }}$ ${\displaystyle \hbar }$

Dado que el grupo de Heisenberg es una extensión central unidimensional de , sus representaciones unitarias irreducibles pueden verse como representaciones proyectivas unitarias irreducibles de . Conceptualmente, la representación dada anteriormente constituye la contraparte mecánica cuántica del grupo de simetrías traslacionales en el espacio de fases clásico . El hecho de que la versión cuántica sea sólo una representación proyectiva ya se sugiere en el nivel clásico. Los generadores hamiltonianos de traslaciones en el espacio de fases son las funciones de posición y momento. Sin embargo , el alcance de estas funciones no forma un álgebra de Lie bajo el corchete de Poisson , porque más bien, el alcance de las funciones de posición y momento y las constantes forman un álgebra de Lie bajo el corchete de Poisson. Este álgebra de Lie es una extensión central unidimensional del álgebra de Lie conmutativa , isomorfa al álgebra de Lie del grupo de Heisenberg. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ ${\displaystyle \{x_{i},p_{j}\}=\delta _{i,j}.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$

En espacios vectoriales simplécticos

La abstracción general de un grupo de Heisenberg se construye a partir de cualquier espacio vectorial simpléctico . ^[6] Por ejemplo, sea ( V , ω ) un espacio vectorial simpléctico real de dimensión finita (por lo que ω es una forma bilineal simétrica sesgada no degenerada en V ). El grupo de Heisenberg H( V ) en ( V , ω) (o simplemente V para abreviar) es el conjunto V × R dotado de la ley del grupo

${\displaystyle (v,t)\cdot \left(v',t'\right)=\left(v+v',t+t'+{\frac {1}{2}}\omega \left(v,v'\right)\right).}$

El grupo de Heisenberg es una extensión central del grupo de aditivos V. Por lo tanto hay una secuencia exacta

${\displaystyle 0\to \mathbf {R} \to H(V)\to V\to 0.}$

Cualquier espacio vectorial simpléctico admite una base de Darboux { e _j , f ^k } _{1 ≤ j , k ≤ n} que satisfaga ω( e _j , f ^k ) = δ _j ^k y donde 2 n es la dimensión de V (la dimensión de V es necesariamente par). En términos de esta base, cada vector se descompone como

${\displaystyle v=q^{a}\mathbf {e} _{a}+p_{a}\mathbf {f} ^{a}.}$

Las q ^a y p _a son coordenadas canónicamente conjugadas .

Si { e _j , f ^k } _{1 ≤ j , k ≤ n} es una base de Darboux para V , entonces sea { E } una base para R y { e _j , f ^k , E } _{1 ≤ j , k ≤ n} es la base correspondiente para V × R . Un vector en H( V ) viene dado entonces por

${\displaystyle v=q^{a}\mathbf {e} _{a}+p_{a}\mathbf {f} ^{a}+tE}$

y la ley de grupo se convierte en

${\displaystyle (p,q,t)\cdot \left(p',q',t'\right)=\left(p+p',q+q',t+t'+{\frac {1}{2}}(pq'-p'q)\right).}$

Debido a que la variedad subyacente del grupo de Heisenberg es un espacio lineal, los vectores en el álgebra de Lie se pueden identificar canónicamente con los vectores del grupo. El álgebra de Lie del grupo de Heisenberg viene dada por la relación de conmutación

${\displaystyle {\begin{bmatrix}(v_{1},t_{1}),(v_{2},t_{2})\end{bmatrix}}=\omega (v_{1},v_{2})}$

o escrito en términos de la base Darboux

${\displaystyle \left[\mathbf {e} _{a},\mathbf {f} ^{b}\right]=\delta _{a}^{b}}$

y todos los demás conmutadores desaparecen.

También es posible definir la ley de grupos de una manera diferente pero que produzca un grupo isomorfo al grupo que acabamos de definir. Para evitar confusiones, usaremos u en lugar de t , por lo que un vector viene dado por

${\displaystyle v=q^{a}\mathbf {e} _{a}+p_{a}\mathbf {f} ^{a}+uE}$

y la ley del grupo es

${\displaystyle (p,q,u)\cdot \left(p',q',u'\right)=\left(p+p',q+q',u+u'+pq'\right).}$

Un elemento del grupo.

${\displaystyle v=q^{a}\mathbf {e} _{a}+p_{a}\mathbf {f} ^{a}+uE}$

luego se puede expresar como una matriz

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&p&u\\0&I_{n}&q\\0&0&1\end{bmatrix}}}$,

lo que da una representación matricial fiel de H ( V ). La u en esta formulación está relacionada con t en nuestra formulación anterior por , de modo que el valor t para el producto llega a ${\displaystyle u=t+{\tfrac {1}{2}}pq}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&u+u'+pq'-{\frac {1}{2}}\left(p+p'\right)\left(q+q'\right)\\={}&t+{\frac {1}{2}}pq+t'+{\frac {1}{2}}p'q'+pq'-{\frac {1}{2}}\left(p+p'\right)\left(q+q'\right)\\={}&t+t'+{\frac {1}{2}}\left(pq'-p'q\right)\end{aligned}}}$,

como antes.

El isomorfismo del grupo que utiliza matrices triangulares superiores se basa en la descomposición de V en una base de Darboux, lo que equivale a una elección de isomorfismo V ≅ U ⊕ U *. Aunque la nueva ley de grupo produce un grupo isomorfo al dado anteriormente, el grupo con esta ley a veces se denomina grupo de Heisenberg polarizado como recordatorio de que esta ley de grupo se basa en una elección de base (una elección de un subespacio lagrangiano de V es una polarización ).

Para cualquier álgebra de Lie, existe un grupo de Lie G único conectado y simplemente conectado . Todos los demás grupos de Lie conectados con la misma álgebra de Lie que G tienen la forma G / N donde N es un grupo discreto central en G. En este caso, el centro de H( V ) es R y los únicos subgrupos discretos son isomorfos a Z. Por tanto, H( V )/ Z es otro grupo de Lie que comparte este álgebra de Lie. Es de destacar que este grupo de Lie no admite representaciones fieles de dimensión finita; no es isomorfo a ningún grupo matricial. Sin embargo, tiene una familia bien conocida de representaciones unitarias de dimensión infinita.

La conexión con el álgebra de Weyl.

El álgebra de Lie del grupo de Heisenberg se describió anteriormente, (1), como un álgebra de Lie de matrices. El teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt se aplica para determinar el álgebra envolvente universal . Entre otras propiedades, el álgebra envolvente universal es un álgebra asociativa en la que se integra inyectivamente. ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{n}}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {h}}_{n})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{n}}$

Según el teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt, es el espacio vectorial libre generado por los monomios

${\displaystyle z^{j}p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}\cdots p_{n}^{k_{n}}q_{1}^{\ell _{1}}q_{2}^{\ell _{2}}\cdots q_{n}^{\ell _{n}}~,}$

donde los exponentes son todos no negativos.

En consecuencia, consta de polinomios reales. ${\displaystyle U({\mathfrak {h}}_{n})}$

${\displaystyle \sum _{j,{\vec {k}},{\vec {\ell }}}c_{j{\vec {k}}{\vec {\ell }}}\,\,z^{j}p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}\cdots p_{n}^{k_{n}}q_{1}^{\ell _{1}}q_{2}^{\ell _{2}}\cdots q_{n}^{\ell _{n}}~,}$

con las relaciones de conmutación

${\displaystyle p_{k}p_{\ell }=p_{\ell }p_{k},\quad q_{k}q_{\ell }=q_{\ell }q_{k},\quad p_{k}q_{\ell }-q_{\ell }p_{k}=\delta _{k\ell }z,\quad zp_{k}-p_{k}z=0,\quad zq_{k}-q_{k}z=0~.}$

El álgebra está estrechamente relacionada con el álgebra de operadores diferenciales con coeficientes polinomiales, ya que cualquier operador de este tipo tiene una representación única en la forma ${\displaystyle U({\mathfrak {h}}_{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle P=\sum _{{\vec {k}},{\vec {\ell }}}c_{{\vec {k}}{\vec {\ell }}}\,\,\partial _{x_{1}}^{k_{1}}\partial _{x_{2}}^{k_{2}}\cdots \partial _{x_{n}}^{k_{n}}x_{1}^{\ell _{1}}x_{2}^{\ell _{2}}\cdots x_{n}^{\ell _{n}}~.}$

Esta álgebra se llama álgebra de Weyl . De un sinsentido abstracto se deduce que el álgebra de Weyl W _n es un cociente de . Sin embargo, esto también es fácil de ver directamente en las representaciones anteriores; verbigracia. por el mapeo ${\displaystyle U({\mathfrak {h}}_{n})}$

${\displaystyle z^{j}p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}\cdots p_{n}^{k_{n}}q_{1}^{\ell _{1}}q_{2}^{\ell _{2}}\cdots q_{n}^{\ell _{n}}\,\mapsto \,\partial _{x_{1}}^{k_{1}}\partial _{x_{2}}^{k_{2}}\cdots \partial _{x_{n}}^{k_{n}}x_{1}^{\ell _{1}}x_{2}^{\ell _{2}}\cdots x_{n}^{\ell _{n}}~.}$

Aplicaciones

Parametrización de Weyl de la mecánica cuántica

La aplicación que llevó a Hermann Weyl a una comprensión explícita del grupo de Heisenberg fue la cuestión de por qué el cuadro de Schrödinger y el cuadro de Heisenberg son físicamente equivalentes. De manera abstracta, la razón es el teorema de Stone-von Neumann : hay una representación unitaria única con la acción dada del elemento central del álgebra de Lie z , hasta una equivalencia unitaria: todos los elementos no triviales del álgebra son equivalentes a la posición y el impulso habituales. operadores.

Por tanto, el cuadro de Schrödinger y el cuadro de Heisenberg son equivalentes: sólo son formas diferentes de realizar esta representación esencialmente única.

representación theta

David Mumford utilizó el mismo resultado de unicidad para grupos discretos de Heisenberg, en su teoría de ecuaciones que definen variedades abelianas . Esta es una gran generalización del enfoque utilizado en las funciones elípticas de Jacobi , que es el caso del grupo de Heisenberg módulo 2, de orden 8. El caso más simple es la representación theta del grupo de Heisenberg, cuyo caso discreto da la función theta. .

análisis de Fourier

El grupo de Heisenberg también aparece en el análisis de Fourier , donde se utiliza en algunas formulaciones del teorema de Stone-von Neumann . En este caso, se puede entender que el grupo de Heisenberg actúa sobre el espacio de funciones cuadradas integrables ; el resultado es una representación de los grupos de Heisenberg, a veces llamada representación de Weyl.

Como variedad subriemanniana

Una animación de una geodésica en el grupo de Heisenberg.

El grupo tridimensional de Heisenberg H ₃ ( R ) en los reales también puede entenderse como una variedad suave y, específicamente, un ejemplo simple de una variedad subriemanniana . ^[7] Dado un punto p =( x , y , z ) en R ³ , defina una forma 1 diferencial Θ en este punto como

${\displaystyle \Theta _{p}=dz-{\frac {1}{2}}\left(xdy-ydx\right).}$

Esta forma única pertenece al paquete cotangente de R ³ ; eso es,

${\displaystyle \Theta _{p}:T_{p}\mathbf {R} ^{3}\to \mathbf {R} }$

es un mapa en el paquete tangente . Dejar

${\displaystyle H_{p}=\left\{v\in T_{p}\mathbf {R} ^{3}\mid \Theta _{p}(v)=0\right\}.}$

Se puede ver que H es un subconjunto del paquete tangente T R ³ . Una cometrica en H se obtiene proyectando vectores en el espacio bidimensional abarcado por vectores en las direcciones x e y . Es decir, dados los vectores y en T R ³ , el producto interno viene dado por ${\displaystyle v=(v_{1},v_{2},v_{3})}$ ${\displaystyle w=(w_{1},w_{2},w_{3})}$

${\displaystyle \langle v,w\rangle =v_{1}w_{1}+v_{2}w_{2}.}$

La estructura resultante convierte a H en la variedad del grupo de Heisenberg. Un marco ortonormal en la variedad está dado por los campos vectoriales de Lie.

${\displaystyle {\begin{aligned}X&={\frac {\partial }{\partial x}}-{\frac {1}{2}}y{\frac {\partial }{\partial z}},\\Y&={\frac {\partial }{\partial y}}+{\frac {1}{2}}x{\frac {\partial }{\partial z}},\\Z&={\frac {\partial }{\partial z}},\end{aligned}}}$

que obedecen a las relaciones [ X , Y ] = Z y [ X , Z ] = [ Y , Z ] = 0. Al ser campos vectoriales de Lie, estos forman una base invariante a la izquierda para la acción grupal. Las geodésicas del colector son espirales que se proyectan hasta formar círculos en dos dimensiones. Es decir, si

${\displaystyle \gamma (t)=(x(t),y(t),z(t))}$

es una curva geodésica, entonces la curva es un arco de círculo, y ${\displaystyle c(t)=(x(t),y(t))}$

${\displaystyle z(t)={\frac {1}{2}}\int _{c}xdy-ydx}$

con la integral limitada al plano bidimensional. Es decir, la altura de la curva es proporcional al área del círculo subtendido por el arco circular , lo que se desprende del teorema de Stokes .

Grupo de Heisenberg de un grupo abeliano localmente compacto

Es más generalmente posible definir el grupo de Heisenberg de un grupo abeliano K localmente compacto , equipado con una medida de Haar . ^[8] Tal grupo tiene un dual de Pontrjagin , que consta de todos los caracteres con valores continuos en K , que también es un grupo abeliano localmente compacto si está dotado de la topología compacta-abierta . El grupo de Heisenberg asociado con el grupo abeliano localmente compacto K es el subgrupo del grupo unitario de generado por traslaciones de K y multiplicaciones por elementos de . ${\displaystyle {\hat {K}}}$ ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle L^{2}(K)}$ ${\displaystyle {\hat {K}}}$

Con más detalle, el espacio de Hilbert consta de funciones de valores complejos integrables al cuadrado en K . Las traducciones en K forman una representación unitaria de K como operadores en : ${\displaystyle L^{2}(K)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L^{2}(K)}$

${\displaystyle (T_{x}f)(y)=f(x+y)}$

para . También lo hacen las multiplicaciones por caracteres: ${\displaystyle x,y\in K}$

${\displaystyle (M_{\chi }f)(y)=\chi (y)f(y)}$

para . Estos operadores no se desplazan y, en cambio, satisfacen ${\displaystyle \chi \in {\hat {K}}}$

${\displaystyle \left(T_{x}M_{\chi }T_{x}^{-1}M_{\chi }^{-1}f\right)(y)={\overline {\chi (x)}}f(y)}$

multiplicación por un número complejo de módulo unitario fijo.

Entonces el grupo de Heisenberg asociado con K es un tipo de extensión central de , a través de una secuencia exacta de grupos: ${\displaystyle H(K)}$ ${\displaystyle K\times {\hat {K}}}$

${\displaystyle 1\to U(1)\to H(K)\to K\times {\hat {K}}\to 0.}$

Los grupos de Heisenberg más generales están descritos por 2-cociclos en el grupo de cohomología . La existencia de una dualidad entre y da lugar a un cociclo canónico, pero generalmente existen otros. ${\displaystyle H^{2}(K,U(1))}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\hat {K}}}$

El grupo de Heisenberg actúa irreductiblemente . De hecho, los caracteres continuos separan puntos ^[9] por lo que cualquier operador unitario que conmute con ellos es un multiplicador . Pero desplazarse con traslaciones implica que el multiplicador es constante. ^[10] ${\displaystyle L^{2}(K)}$ ${\displaystyle L^{2}(K)}$ ${\displaystyle L^{\infty }}$

Una versión del teorema de Stone-von Neumann , demostrada por George Mackey , es válida para el grupo de Heisenberg . ^{[11] [12]} La transformada de Fourier es el único entrelazador entre las representaciones de y . Consulte la discusión en Teorema de Stone-von Neumann#Relación con la transformada de Fourier para obtener más detalles. ${\displaystyle H(K)}$ ${\displaystyle L^{2}(K)}$ ${\displaystyle L^{2}\left({\hat {K}}\right)}$

Ver también

• Relaciones de conmutación canónicas
• Transformada de Wigner-Weyl
• Teorema de Stone-von Neumann
• Representación proyectiva
• Conjetura de geometrización

Notas

1. Espera, Peter. Temas de la teoría de la representación: el álgebra de Heisenberg (PDF) .
2. Propuesta 3.26 del Salón 2015
3. Hall 2015 Capítulo 2, Ejercicio 9
4. Propuesta 14.7 del Salón 2013
5. Teorema 14.8 de Hall 2013
6. Hans Tilgner, "Una clase de grupos de Lie solubles y su relación con el formalismo canónico Archivado el 5 de junio de 2011 en la Wayback Machine ", Annales de l'institut Henri Poincaré (A) Physique théorique , 13 no. 2 (1970), págs. 103-127.
7. Richard Montgomery, Un recorrido por las geometrías subriemannianas, sus geodésicas y aplicaciones (monografías y estudios matemáticos, volumen 91) , (2002) Sociedad Matemática Estadounidense, ISBN 0-8218-1391-9 . 
8. David Mumford (1991), "Conferencias de Tata sobre theta III", Progreso en matemáticas , 97 , Birkhauser
9. Karl Heinrich Hofmann, Sidney A. Morris (2006), La estructura de grupos compactos: manual para estudiantes, manual para expertos , De Gruyter estudia matemáticas 25 (segunda edición revisada), Walter de Gruyter, ISBN 9783110190069
10. Este argumento aparece en un contexto ligeramente diferente en Roger Howe (1980), "Sobre el papel del grupo de Heisenberg en el análisis armónico", Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense , 3 (2): 821–844, doi : 10.1090/S0273 -0979-1980-14825-9 , SEÑOR  0578375
11. George Mackey (1949), "Sobre un teorema de Stone y von Neumann", Duke Mathematical Journal , 16 (2): 313–326, doi :10.1215/s0012-7094-49-01631-2
12. A Prasad (2009), "Una prueba sencilla del teorema de Stone-von Neumann-Mackey", Expositiones Mathematicae , 29 : 110–118, arXiv : 0912.0574 , doi : 10.1016/j.exmath.2010.06.001, S2CID  56340220

Referencias

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• Hall, Brian C. (2013), Teoría cuántica para matemáticos , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 267, Springer, Bibcode : 2013qtm..libro.....H, ISBN 978-1461471158
• Salón, Brian C. (2015). Grupos de mentiras, álgebras de mentiras y representaciones: una introducción elemental . Textos de Posgrado en Matemáticas. vol. 222 (segunda ed.). Saltador. ISBN 978-3319134666.
• Howe, Roger (1980). "Sobre el papel del grupo de Heisenberg en el análisis armónico". Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense . 3 (2): 821–843. doi : 10.1090/s0273-0979-1980-14825-9 . SEÑOR  0578375.
• Kirillov, Alexandre A. (2004). "Cap. 2:" Representaciones y órbitas del grupo Heisenberg ". Conferencias sobre el método de la órbita . Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 0-8218-3530-0.
• Mackey, George (1976). La teoría de las Representaciones de Grupos Unitarios . Conferencias de Matemáticas de Chicago. Prensa de la Universidad de Chicago . ISBN 978-0226500522.

enlaces externos

• Groupprops, Wiki de propiedades de grupo Grupo de matrices unitriangulares UT(3,p)