En matemáticas , una representación unitaria de un grupo G es una representación lineal π de G en un espacio de Hilbert complejo V tal que π( g ) es un operador unitario para cada g ∈ G. La teoría general está bien desarrollada en el caso de que G sea un grupo topológico localmente compacto ( Hausdorff ) y las representaciones sean fuertemente continuas .
La teoría se ha aplicado ampliamente en la mecánica cuántica desde la década de 1920, particularmente influenciada por el libro Gruppentheorie and Quantenmechanik de Hermann Weyl de 1928 . Uno de los pioneros en la construcción de una teoría general de representaciones unitarias, para cualquier grupo G y no sólo para grupos particulares útiles en aplicaciones, fue George Mackey .
La teoría de las representaciones unitarias de grupos topológicos está estrechamente relacionada con el análisis armónico . En el caso de un grupo abeliano G , la dualidad de Pontryagin proporciona una imagen bastante completa de la teoría de la representación de G. En general, las clases de equivalencia unitaria (ver más abajo) de representaciones unitarias irreducibles de G conforman su dual unitario . Este conjunto se puede identificar con el espectro del álgebra C* asociado con G mediante la construcción del álgebra C* del grupo . Este es un espacio topológico .
La forma general del teorema de Plancherel intenta describir la representación regular de G en L 2 ( G ) utilizando una medida en el dual unitario. Para Gabeliano esto viene dado por la teoría de la dualidad de Pontryagin. Para G compacto , esto se hace mediante el teorema de Peter-Weyl ; en ese caso, el dual unitario es un espacio discreto , y la medida une un átomo a cada punto de masa igual a su grado.
Sea G un grupo topológico. Una representación unitaria fuertemente continua de G en un espacio de Hilbert H es un homomorfismo de grupo de G en el grupo unitario de H ,
tal que g → π( g ) ξ es una función continua de norma para todo ξ ∈ H .
Tenga en cuenta que si G es un grupo de Lie , el espacio de Hilbert también admite estructuras subyacentes suaves y analíticas. Se dice que un vector ξ en H es suave o analítico si el mapa g → π( g ) ξ es suave o analítico (en las topologías normales o débiles en H ). [1] Los vectores suaves son densos en H según un argumento clásico de Lars Gårding , ya que la convolución mediante funciones suaves de soporte compacto produce vectores suaves. Los vectores analíticos son densos según un argumento clásico de Edward Nelson , amplificado por Roe Goodman, ya que los vectores en la imagen de un operador de calor e –tD , correspondiente a un operador diferencial elíptico D en el álgebra envolvente universal de G , son analíticos. Los vectores suaves o analíticos no sólo forman subespacios densos; pero también forman núcleos comunes para los operadores adjuntos sesgados ilimitados correspondientes a los elementos del álgebra de Lie , en el sentido de teoría espectral . [2]
Dos representaciones unitarias π 1 : G → U( H 1 ), π 2 : G → U( H 2 ) se dicen unitariamente equivalentes si existe una transformación unitaria A : H 1 → H 2 tal que π 1 ( g ) = A * ∘ π 2 ( g ) ∘ A para todo g en G . Cuando esto se cumple, se dice que A es un operador entrelazado para las representaciones . [3]
Si es una representación de un grupo de Lie conectado en un espacio de Hilbert de dimensión finita , entonces es unitario si y solo si la representación de álgebra de Lie asociada se asigna al espacio de operadores autoadjuntos sesgados en . [4]
Una representación unitaria es completamente reducible , en el sentido de que para cualquier subespacio invariante cerrado , el complemento ortogonal es nuevamente un subespacio invariante cerrado. Esto está al nivel de una observación, pero es una propiedad fundamental. Por ejemplo, implica que las representaciones unitarias de dimensión finita son siempre una suma directa de representaciones irreducibles, en el sentido algebraico.
Dado que las representaciones unitarias son mucho más fáciles de manejar que el caso general, es natural considerar representaciones unitarizables , aquellas que se vuelven unitarias al introducir una estructura espacial compleja de Hilbert adecuada. Esto funciona muy bien para grupos finitos , y más generalmente para grupos compactos , mediante un argumento de promedio aplicado a una estructura hermitiana arbitraria. [5] Por ejemplo, una prueba natural del teorema de Maschke es por esta ruta.
En general, para los grupos no compactos, la cuestión más seria es qué representaciones son unitarizables. Uno de los problemas importantes no resueltos en matemáticas es la descripción del dual unitario , la clasificación efectiva de representaciones unitarias irreducibles de todos los grupos de Lie reductivos reales . Todas las representaciones unitarias irreducibles son admisibles (o más bien lo son sus módulos Harish-Chandra ), y las representaciones admisibles están dadas por la clasificación de Langlands , y es fácil decir cuáles de ellas tienen una forma sesquilineal invariante no trivial . El problema es que, en general, es difícil saber cuándo la forma cuadrática es definida positiva . Para muchos grupos reduccionistas de Lie esto se ha resuelto; consulte la teoría de representación de SL2 (R) y la teoría de representación del grupo de Lorentz para ver ejemplos.
