Límite de Poisson

Espacio de medida matemática asociado a un paseo aleatorio

En matemáticas , el límite de Poisson es un espacio de probabilidad asociado a un paseo aleatorio . Es un objeto diseñado para codificar el comportamiento asintótico del paseo aleatorio, es decir, cómo divergen las trayectorias cuando el número de pasos tiende al infinito. A pesar de ser llamado límite, es en general un objeto puramente teórico de la medida y no un límite en el sentido topológico . Sin embargo, en el caso en que el paseo aleatorio esté en un espacio topológico, el límite de Poisson puede relacionarse con el límite de Martin , que es una construcción analítica que produce un límite topológico genuino. Ambos límites están relacionados con funciones armónicas en el espacio a través de generalizaciones de la fórmula de Poisson .

El caso del plano hiperbólico

La fórmula de Poisson establece que dada una función armónica positiva en el disco unitario (es decir, donde es el operador de Laplace-Beltrami asociado a la métrica de Poincaré en ) existe una medida única en el límite tal que la igualdad ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {D} =\{z\in \mathbb {C} :|z|<1\}}$ ${\displaystyle \Delta f=0}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \mathbb {D} }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \partial \mathbb {D} =\{z\in \mathbb {C} :|z|=1\}}$

${\displaystyle f(z)=\int _{\partial \mathbb {D} }K(z,\xi )\,d\mu (\xi )}$¿Dónde está el núcleo de Poisson ? ${\displaystyle K(z,\xi )={\frac {1-|z|^{2}}{|\xi -z|^{2}}}}$

se cumple para todos los . Una forma de interpretar esto es que las funciones para son hasta escalar todos los puntos extremos en el cono de funciones armónicas no negativas. Esta interpretación analítica del conjunto conduce a la noción más general de límite mínimo de Martin (que en este caso es el límite completo de Martin ). ${\displaystyle z\in \mathbb {D} }$ ${\displaystyle K(\cdot ,\xi )}$ ${\displaystyle \xi \in \partial \mathbb {D} }$ ${\displaystyle \partial \mathbb {D} }$

Este hecho también puede interpretarse de manera probabilística. Si es el proceso de Markov asociado a (es decir, el movimiento browniano en el disco con la métrica de Poincaré y Riemann), entonces el proceso es una martingala de tiempo continuo , y como tal converge casi en todas partes a una función en el espacio de Wiener de trayectorias posibles (infinitas) para . Por lo tanto, la fórmula de Poisson identifica este espacio medido con el límite de Martin construido anteriormente, y en última instancia a dotado de la clase de medida de Lebesgue (nótese que esta identificación puede hacerse directamente ya que un camino en el espacio de Wiener converge casi con seguridad a un punto en ). Esta interpretación de como el espacio de trayectorias para un proceso de Markov es un caso especial de la construcción del límite de Poisson. ${\displaystyle W_{t}}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle f(W_{t})}$ ${\displaystyle W_{t}}$ ${\displaystyle \partial \mathbb {D} }$ ${\displaystyle \partial \mathbb {D} }$ ${\displaystyle \partial \mathbb {D} }$

Finalmente, las construcciones anteriores pueden discretizarse, es decir, restringirse a los recorridos aleatorios en las órbitas de un grupo fuchsiano que actúa sobre . Esto proporciona una identificación de las funciones armónicas positivas extremas en el grupo y del espacio de trayectorias del recorrido aleatorio en el grupo (ambos con respecto a una medida de probabilidad dada), con el espacio topológico/medido . ${\displaystyle \mathbb {D} }$ ${\displaystyle \mathbb {D} }$

Definición

El límite de Poisson de un paseo aleatorio en un grupo discreto

Sea un grupo discreto y una medida de probabilidad en , que se utilizará para definir un paseo aleatorio en (un proceso de Markov de tiempo discreto cuyas probabilidades de transición son ); la medida se llama distribución de pasos para el paseo aleatorio. Sea otra medida en , que será el estado inicial para el paseo aleatorio. El espacio de trayectorias para está dotado de una medida cuyas marginales son (donde denota convolución de medidas; esta es la distribución del paseo aleatorio después de los pasos). También hay una relación de equivalencia en , que identifica a si existe tal que para todo (las dos trayectorias tienen la misma "cola"). El límite de Poisson de es entonces el espacio medido obtenido como el cociente de por la relación de equivalencia . ^[1] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p(x,y)=\mu (x^{-1}y)}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{m}}$ ${\displaystyle m*\mu ^{*n}}$ ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle G^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle (x_{t})}$ ${\displaystyle (y_{t})}$ ${\displaystyle n,m\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle x_{t+n}=y_{t+m}}$ ${\displaystyle t\geq 0}$ ${\displaystyle (G,\mu )}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle (G^{\mathbb {N} },\mathbb {P} _{m})}$ ${\displaystyle \sim }$

Si es la distribución inicial de un paseo aleatorio con distribución escalonada , entonces la medida de se obtiene como el empuje hacia adelante de . Es una medida estacionaria para , lo que significa que para cada conjunto medible en el límite de Poisson ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu _{\theta }}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{\theta }}$ ${\displaystyle (G,\mu )}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \int _{G}\nu (g^{-1}A)\mu (g)=\nu _{\theta }(A).}$

Es posible dar una definición implícita del límite de Poisson como el conjunto máximo con una medida estacionaria , que satisface la condición adicional de que casi con seguridad converge débilmente a una masa de Dirac . ^[2] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (G,\mu )}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle (X_{t})_{*}\nu }$

La fórmula de Poisson

Sea una función -armónica en , lo que significa que . Entonces la variable aleatoria es una martingala de tiempo discreto y por lo tanto converge casi con seguridad. Denotemos por la función en obtenida al tomar el límite de los valores de a lo largo de una trayectoria (esto se define casi en todas partes en y es invariante al desplazamiento). Sea y sea la medida obtenida por la construcción anterior con (la masa de Dirac en ). Si es positivo o acotado, entonces es también y tenemos la fórmula de Poisson : ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \sum _{h\in G}f(gh)\mu (h)=f(g)}$ ${\displaystyle f(X_{t})}$ ${\displaystyle {\hat {f}}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle G^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle x\in G}$ ${\displaystyle \nu _{x}}$ ${\displaystyle \theta =\delta _{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\hat {f}}}$

${\displaystyle f(x)=\int _{\Gamma }{\hat {f}}(\gamma )\,d\nu _{x}(\gamma ).}$

Esto establece una biyección entre funciones acotadas -armónicas y funciones medibles esencialmente acotadas en . En particular, el límite de Poisson de es trivial, es decir, se reduce a un punto, si y solo si las únicas funciones acotadas -armónicas en son constantes. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle (G,\mu )}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle G}$

Definición general

El contexto general es el de un operador de Markov en un espacio medido, una noción que generaliza el operador de Markov asociado a un recorrido aleatorio. Gran parte de la teoría puede desarrollarse en este contexto abstracto y muy general. ${\displaystyle f\mapsto f*\mu }$

El límite de Martín

Límite de Martin de un grupo discreto

Sea un paseo aleatorio en un grupo discreto. Sea la probabilidad de llegar de a en pasos, es decir . El núcleo de Green es por definición: ${\displaystyle G,\mu }$ ${\displaystyle p_{n}(x,y)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mu ^{*n}(x^{-1}y)}$

${\displaystyle {\mathcal {G}}(x,y)=\sum _{n\geq 1}p_{n}(x,y).}$

Si el recorrido es transitorio, entonces esta serie es convergente para todos los . Fije un punto y defina el núcleo de Martin mediante: . La incrustación tiene una imagen relativamente compacta para la topología de convergencia puntual, y la compactificación de Martin es el cierre de esta imagen. Un punto se representa habitualmente mediante la notación . ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle o\in G}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{o}(x,y)={\frac {{\mathcal {G}}(x,y)}{{\mathcal {G}}(o,y)}}}$ ${\displaystyle y\mapsto {\mathcal {K}}_{o}(\cdot ,y)}$ ${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}(\cdot ,\gamma )}$

Los núcleos de Martin son funciones armónicas positivas y cada función armónica positiva se puede expresar como una integral de funciones en el límite, es decir, para cada función armónica positiva hay una medida en tal que se cumple una fórmula similar a Poisson: ${\displaystyle \nu _{o,f}}$ ${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle f(x)=\int {\mathcal {K}}_{o}(x,\gamma )\,d\nu _{o,f}(\gamma ).}$

Las medidas se sustentan en el límite mínimo de Martin, cuyos elementos también pueden caracterizarse por ser mínimos. Se dice que una función armónica positiva es mínima si para cualquier función armónica con existe tal que . ^[3] ${\displaystyle \nu _{o,f}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle 0\leq v\leq u}$ ${\displaystyle c\in [0,1]}$ ${\displaystyle v=cu}$

En realidad, existe toda una familia de compactificaciones de Martin. Defina la serie generadora de Green como

${\displaystyle {\mathcal {G}}_{r}(x,y)=\sum _{n\geq 1}p_{n}(x,y)r^{n}.}$

Denotemos por el radio de convergencia de esta serie de potencias y definamos para el núcleo de -Martin por . El cierre de la incrustación se denomina compactificación de -Martin. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle 1\leq r\leq R}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{o,r}(x,y)={\frac {{\mathcal {G}}_{r}(x,y)}{{\mathcal {G}}_{r}(o,y)}}}$ ${\displaystyle y\mapsto {\mathcal {K}}_{o,r}(\cdot ,y)}$ ${\displaystyle r}$

Límite de Martin de una variedad de Riemann

Para una variedad de Riemann, el límite de Martin se construye, cuando existe, de la misma manera que antes, utilizando la función de Green del operador de Laplace–Beltrami . En este caso, hay nuevamente toda una familia de compactificaciones de Martin asociadas a los operadores para donde es el fondo del espectro. Ejemplos donde esta construcción puede utilizarse para definir una compactificación son los dominios acotados en el plano y los espacios simétricos de tipo no compacto. ^[4] ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \Delta +\lambda }$ ${\displaystyle 0\leq \lambda \leq \lambda _{0}}$ ${\displaystyle \lambda _{0}}$

La relación entre los límites de Martin y Poisson

La medida correspondiente a la función constante se denomina medida armónica en el límite de Martin. Con esta medida, el límite de Martin es isomorfo al límite de Poisson. ${\displaystyle \nu _{o,1}}$

Ejemplos

Grupos nilpotentes

Los límites de Poisson y Martin son triviales para caminatas aleatorias simétricas en grupos nilpotentes. ^[5] Por otro lado, cuando la caminata aleatoria no está centrada, el estudio del límite completo de Martin, incluidas las funciones mínimas, es mucho menos concluyente.

Grupos de Lie y subgrupos discretos

Para los recorridos aleatorios en un grupo de Lie semisimple (con distribución de pasos absolutamente continua con respecto a la medida de Haar), el límite de Poisson es igual al límite de Furstenberg . ^[6] El límite de Poisson del movimiento browniano en el espacio simétrico asociado es también el límite de Furstenberg. ^[7] El límite completo de Martin también está bien estudiado en estos casos y siempre se puede describir de manera geométrica. Por ejemplo, para grupos de rango uno (por ejemplo, los grupos de isometría de espacios hiperbólicos ) el límite completo de Martin es el mismo que el límite mínimo de Martin (la situación en grupos de rango superior es más complicada). ^[8]

El límite de Poisson de un subgrupo denso de Zariski de un grupo de Lie semisimple, por ejemplo una red , también es igual al límite de Furstenberg del grupo. ^[9]

Grupos hiperbólicos

Para los paseos aleatorios en un grupo hiperbólico , bajo el supuesto de entropía finita en la distribución de pasos que siempre se cumple para un paseo simple (una condición más general es que el primer momento sea finito) el límite de Poisson siempre es igual al límite de Gromov cuando está equipado con la medida de probabilidad de acierto. Por ejemplo, el límite de Poisson de un grupo libre es el espacio de extremos de su árbol de Cayley. ^[10] La identificación del límite de Martin completo es más compleja; en caso de que el paseo aleatorio tenga un rango finito (la distribución de pasos se apoya en un conjunto finito), el límite de Martin coincide con el límite de Martin mínimo y ambos coinciden con el límite de Gromov.

Notas

1. Kaimanovich 1996.
2. Kaimanovich 1996, Sección 2.7.
3. Kaimanovich 1996, Sección 1.2.
4. Guivarc'h, Ji y Taylor 1998, Capítulo VI.
5. Kaimanovich 1996, Sección 1.5.
6. Kaimanovich 1996, Sección 2.8.
7. Furstenberg 1963.
8. Guivarc'h, Ji y Taylor 1998.
9. Kaimanovich 2000, Teorema 10.7.
10. Chawla, Kunal; Forghani, Behrang; Frisch, Joshua; Tiozzo, Giulio (29 de noviembre de 2022). "El límite de Poisson de grupos hiperbólicos sin condiciones de momento". arXiv : 2209.02114 [math.GR].

Referencias

• Ballmann, Werner; Ledrappier, François (1994). "El límite de Poisson para variedades de rango uno y sus redes cocompactas". Forum Math . Vol. 6, núm. 3. págs. 301–313. MR  1269841.
• Furstenberg, Harry (1963). "Una fórmula de Poisson para grupos de Lie semisimples". Ann. of Math . 2. Vol. 77. págs. 335–386. MR  0146298.
• Guivarc'h, Yves; Ji, Lizhen; Taylor, John C. (1998). Compactificaciones de espacios simétricos . Birkhäuser.
• Kaimanovich, Vadim A. (1996). "Límites de operadores invariantes de Markov: el problema de identificación". En Pollicott, Mark; Schmidt, Klaus (eds.). Teoría ergódica de acciones Z ^d (Warwick, 1993-1994) . London Math. Soc. Lecture Note Ser. Vol. 228. Cambridge Univ. Press, Cambridge. págs. 127-176. MR  1411218.
• Kaimanovich, Vadim A. (2000). "La fórmula de Poisson para grupos con propiedades hiperbólicas". Ann. of Math . 2. Vol. 152. págs. 659–692. MR  1815698.