En teoría potencial , una disciplina dentro de las matemáticas aplicadas , el límite de Furstenberg es una noción de límite asociado con un grupo . Lleva el nombre de Harry Furstenberg , quien lo introdujo en una serie de artículos a partir de 1963 (en el caso de grupos de Lie semisimples ). El límite de Furstenberg, en términos generales, es un espacio de módulos universal para la integral de Poisson , que expresa una función armónica en un grupo en términos de sus valores de límite.
Un modelo para el límite de Furstenberg es el disco hiperbólico . La fórmula clásica de Poisson para una función armónica acotada en el disco tiene la forma
donde P es el núcleo de Poisson. Cualquier función f en el disco determina una función en el grupo de transformaciones de Möbius del disco estableciendo F ( g ) = f ( g (0)) . Entonces la fórmula de Poisson tiene la forma
donde m es la medida de Haar en el límite. Esta función es entonces armónica en el sentido de que satisface la propiedad del valor medio con respecto a una medida del grupo de Möbius inducida a partir de la medida habitual de Lebesgue del disco, adecuadamente normalizada. La asociación de una función armónica acotada a una función (esencialmente) acotada en la frontera es uno a uno.
En general, sea G un grupo de Lie semisimple y μ una medida de probabilidad de G que es absolutamente continua . Una función f en G es μ-armónica si satisface la propiedad del valor medio con respecto a la medida μ:
Existe entonces un espacio compacto Π, con acción G y medida ν , tal que cualquier función armónica acotada sobre G viene dada por
para alguna función acotada en Π.
El espacio Π y la medida ν dependen de la medida μ (y por tanto, lo que constituye precisamente una función armónica). Sin embargo, resulta que aunque hay muchas posibilidades para la medida ν (que siempre depende genuinamente de μ), sólo hay un número finito de espacios Π (hasta el isomorfismo): se trata de espacios homogéneos de G que son cocientes de G por algún subgrupo parabólico, que puede describirse completamente en términos de datos de raíz y una descomposición de Iwasawa dada . Además, existe un espacio máximo, con mapas de cocientes que descienden a todos los demás espacios, que se llama límite de Furstenberg.
