Regla de subdivisión finita

Manera de dividir un polígono en partes más pequeñas

Proyección en perspectiva de una teselación dodecaédrica en H 3 . Nótese la estructura recursiva: cada pentágono contiene pentágonos más pequeños, que a su vez contienen pentágonos más pequeños. Este es un ejemplo de una regla de subdivisión que surge de un universo finito (es decir, una variedad 3-variedad cerrada ).

En matemáticas, una regla de subdivisión finita es una forma recursiva de dividir un polígono u otra forma bidimensional en piezas cada vez más pequeñas. Las reglas de subdivisión en cierto sentido son generalizaciones de fractales geométricos regulares . En lugar de repetir exactamente el mismo diseño una y otra vez, tienen ligeras variaciones en cada etapa, lo que permite una estructura más rica al tiempo que mantiene el estilo elegante de los fractales. ^[1] Las reglas de subdivisión se han utilizado en arquitectura, biología y ciencias de la computación, así como en el estudio de variedades hiperbólicas . Los mosaicos de sustitución son un tipo de regla de subdivisión bien estudiado.

Definición

Una regla de subdivisión toma un mosaico del plano por polígonos y lo convierte en un nuevo mosaico subdividiendo cada polígono en polígonos más pequeños. Es finito si solo hay un número finito de formas en que cada polígono puede subdividirse. Cada forma de subdividir un mosaico se denomina tipo de mosaico . Cada tipo de mosaico se representa mediante una etiqueta (generalmente una letra). Cada tipo de mosaico se subdivide en tipos de mosaico más pequeños. Cada borde también se subdivide de acuerdo con un número finito de tipos de borde . Las reglas de subdivisión finitas solo pueden subdividir mosaicos que estén compuestos de polígonos etiquetados por tipos de mosaico. Dichos mosaicos se denominan complejos de subdivisión para la regla de subdivisión. Dado cualquier complejo de subdivisión para una regla de subdivisión, podemos subdividirlo una y otra vez para obtener una secuencia de mosaicos.

Por ejemplo, la subdivisión binaria tiene un tipo de mosaico y un tipo de borde:

La regla de subdivisión binaria

Dado que el único tipo de mosaico es un cuadrilátero, la subdivisión binaria solo puede subdividir mosaicos formados por cuadriláteros. Esto significa que los únicos complejos de subdivisión son mosaicos formados por cuadriláteros. El mosaico puede ser regular , pero no tiene por qué serlo:

Comenzamos con un complejo de cuatro cuadriláteros y lo subdividimos dos veces. Todos los cuadrados son fichas de tipo A.

Aquí comenzamos con un complejo formado por cuatro cuadriláteros y lo subdividimos dos veces. Todos los cuadriláteros son fichas de tipo A.

Ejemplos de reglas de subdivisión finita

La subdivisión baricéntrica es un ejemplo de una regla de subdivisión con un tipo de borde (que se subdivide en dos bordes) y un tipo de mosaico (un triángulo que se subdivide en 6 triángulos más pequeños). Cualquier superficie triangulada es un complejo de subdivisión baricéntrica. ^[1]

El mosaico de Penrose se puede generar mediante una regla de subdivisión en un conjunto de cuatro tipos de mosaicos (las líneas curvas en la tabla a continuación solo ayudan a mostrar cómo encajan los mosaicos):

Ciertos mapas racionales dan lugar a reglas de subdivisión finitas. ^[2] Esto incluye la mayoría de los mapas de Lattès . ^[3]

Cada complemento de nudo o enlace alternado, primo y no dividido , tiene una regla de subdivisión, con algunas fichas que no se subdividen, correspondientes al límite del complemento de enlace. ^[4] Las reglas de subdivisión muestran cómo se vería el cielo nocturno para alguien que viviera en un complemento de nudo ; debido a que el universo se envuelve alrededor de sí mismo (es decir, no está simplemente conectado ), un observador vería que el universo visible se repite en un patrón infinito. La regla de subdivisión describe ese patrón.

La regla de subdivisión es diferente para distintas geometrías. Esta es una regla de subdivisión para el nudo de trébol , que no es un nudo hiperbólico :

Regla de subdivisión de trébol

Y esta es la regla de subdivisión de los anillos borromeos , que es hiperbólica:

Regla de subdivisión borromea

En cada caso, la regla de subdivisión actuaría sobre una parte de la teselación de una esfera (es decir, el cielo nocturno), pero es más fácil dibujar una pequeña parte del cielo nocturno, correspondiente a una sola teselación que se subdivide repetidamente. Esto es lo que sucede con el nudo de trébol:

Subdivisiones del complejo de subdivisiones para el complemento del trébol.

Y para los anillos borromeos:

Subdivisiones del complejo de subdivisión de los anillos borromeos se complementan.

Reglas de subdivisión en dimensiones superiores

Las reglas de subdivisión se pueden generalizar fácilmente a otras dimensiones. ^[5] Por ejemplo, la subdivisión baricéntrica se utiliza en todas las dimensiones. Además, la subdivisión binaria se puede generalizar a otras dimensiones (donde los hipercubos se dividen por cada plano medio), como en la prueba del teorema de Heine-Borel .

Definición rigurosa

Regla de subdivisión para el toroide de cuatro caras. Las caras de las piezas B que se subdividen solo pueden tocar piezas C, y las caras de las piezas B que no lo hacen solo pueden tocar piezas A.

Una regla de subdivisión finita consta de lo siguiente. ^[1] ${\displaystyle R}$

1. Un complejo CW bidimensional finito , llamado complejo de subdivisión , con una estructura de celda fija tal que es la unión de sus 2 celdas cerradas. Suponemos que para cada 2 celdas cerradas de hay una estructura CW en un 2 disco cerrado tal que tiene al menos dos vértices, los vértices y las aristas de están contenidos en , y la función característica que se asigna a se limita a un homeomorfismo en cada celda abierta. ${\displaystyle S_{R}}$ ${\displaystyle S_{R}}$ ${\displaystyle {\tilde {s}}}$ ${\displaystyle S_{R}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \partial s}$ ${\displaystyle \psi _{s}:s\rightarrow S_{R}}$ ${\displaystyle {\tilde {s}}}$

2. Un complejo CW bidimensional finito , que es una subdivisión de . ${\displaystyle R(S_{R})}$ ${\displaystyle S_{R}}$

3. Un mapa celular continuo llamado mapa de subdivisión , cuya restricción a cada celda abierta es un homeomorfismo sobre una celda abierta. ${\displaystyle \phi _{R}:R(S_{R})\rightarrow S_{R}}$

Cada complejo CW en la definición anterior (con su mapa característico dado ) se denomina tipo de mosaico . ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \psi _{s}}$

Un complejo - para una regla de subdivisión es un complejo CW bidimensional que es la unión de sus 2-celdas cerradas, junto con un mapa celular continuo cuya restricción a cada celda abierta es un homeomorfismo. Podemos subdividir en un complejo al requerir que el mapa inducido se restrinja a un homeomorfismo en cada celda abierta. es nuevamente un complejo - con mapa . Al repetir este proceso, obtenemos una secuencia de complejos - subdivididos con mapas . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:X\rightarrow S_{R}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R(X)}$ ${\displaystyle f:R(X)\rightarrow R(S_{R})}$ ${\displaystyle R(X)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \phi _{R}\circ f:R(X)\rightarrow S_{R}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R^{n}(X)}$ ${\displaystyle \phi _{R}^{n}\circ f:R^{n}(X)\rightarrow S_{R}}$

La subdivisión binaria es un ejemplo: ^[6]

La regla de subdivisión binaria.

El complejo de subdivisión se puede crear pegando los bordes opuestos del cuadrado, convirtiendo el complejo de subdivisión en un toro . El mapa de subdivisión es el mapa de duplicación en el toro, envolviendo el meridiano alrededor de sí mismo dos veces y la longitud alrededor de sí misma dos veces. Este es un mapa de cobertura cuádruple . El plano, embaldosado por cuadrados, es un complejo de subdivisión para esta regla de subdivisión, con el mapa de estructura dado por el mapa de cobertura estándar. Bajo la subdivisión, cada cuadrado en el plano se subdivide en cuadrados de un cuarto del tamaño. ${\displaystyle S_{R}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow R(S_{R})}$

Propiedades de cuasi-isometría

Gráfico histórico de la regla de subdivisión de tercios medios .

Las reglas de subdivisión se pueden utilizar para estudiar las propiedades de cuasi-isometría de ciertos espacios. ^[7] Dada una regla de subdivisión y un complejo de subdivisión , podemos construir un gráfico llamado gráfico histórico que registra la acción de la regla de subdivisión. El gráfico consta de los gráficos duales de cada etapa , junto con los bordes que conectan cada mosaico en con sus subdivisiones en . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R^{n}(X)}$ ${\displaystyle R^{n}(X)}$ ${\displaystyle R^{n+1}(X)}$

Las propiedades cuasi-isométricas del grafo histórico se pueden estudiar utilizando reglas de subdivisión. Por ejemplo, el grafo histórico es cuasi-isométrico al espacio hiperbólico exactamente cuando la regla de subdivisión es conforme , como se describe en el teorema de mapeo combinatorio de Riemann . ^[7]

Aplicaciones

Aplicaciones de las reglas de subdivisión.

Las teselas girih islámicas en la arquitectura islámica son teselas autosimilares que pueden modelarse con reglas de subdivisión finitas. ^[8] En 2007, Peter J. Lu de la Universidad de Harvard y el profesor Paul J. Steinhardt de la Universidad de Princeton publicaron un artículo en la revista Science en el que sugerían que las teselas girih poseían propiedades consistentes con las teselas fractales cuasicristalinas autosimilares , como las teselas de Penrose (presentación de 1974, trabajos predecesores que comienzan alrededor de 1964), que las anteceden por cinco siglos. ^[8]

Las superficies de subdivisión en gráficos de computadora utilizan reglas de subdivisión para refinar una superficie a cualquier nivel dado de precisión. Estas superficies de subdivisión (como la superficie de subdivisión de Catmull-Clark ) toman una malla poligonal (el tipo usado en películas animadas en 3D) y la refinan a una malla con más polígonos agregando y desplazando puntos de acuerdo con diferentes fórmulas recursivas. ^[9] Aunque muchos puntos se desplazan en este proceso, cada nueva malla es combinatoriamente una subdivisión de la malla anterior (lo que significa que para cada borde y vértice de la malla anterior, puede identificar un borde y vértice correspondiente en la nueva, además de varios bordes y vértices más).

Cannon, Floyd y Parry (2000) aplicaron las reglas de subdivisión al estudio de los patrones de crecimiento a gran escala de los organismos biológicos. ^[6] Cannon, Floyd y Parry produjeron un modelo matemático de crecimiento que demostró que algunos sistemas determinados por reglas de subdivisión finitas simples pueden dar como resultado objetos (en su ejemplo, un tronco de árbol) cuya forma a gran escala oscila enormemente con el tiempo, aunque las leyes de subdivisión locales siguen siendo las mismas. ^[6] Cannon, Floyd y Parry también aplicaron su modelo al análisis de los patrones de crecimiento del tejido de rata. ^[6] Sugirieron que la naturaleza "negativamente curvada" (o no euclidiana) de los patrones de crecimiento microscópicos de los organismos biológicos es una de las razones clave por las que los organismos a gran escala no parecen cristales o formas poliédricas sino que, de hecho, en muchos casos se parecen a fractales autosimilares . ^[6] En particular, sugirieron que dicha estructura local "negativamente curvada" se manifiesta en la naturaleza altamente plegada y altamente conectada del cerebro y el tejido pulmonar. ^[6]

Conjetura de Cannon

Cannon , Floyd y Parry estudiaron por primera vez las reglas de subdivisión finita como un intento de demostrar la siguiente conjetura:

Conjetura de Cannon : Todo grupo hiperbólico de Gromov con una 2-esfera en el infinito actúa geométricamente en el 3-espacio hiperbólico . ^[7]

Aquí, una acción geométrica es una acción cocompacta, propiamente discontinua por isometrías. Esta conjetura fue parcialmente resuelta por Grigori Perelman en su demostración ^{[10] [11] [12]} de la conjetura de geometrización , que establece (en parte) que cualquier grupo hiperbólico de Gromov que sea un grupo 3-variedad debe actuar geométricamente en el 3-espacio hiperbólico. Sin embargo, aún queda por demostrar que un grupo hiperbólico de Gromov con una 2-esfera en el infinito es un grupo 3-variedad.

Cannon y Swenson demostraron ^[13] que un grupo hiperbólico con una 2-esfera en el infinito tiene una regla de subdivisión asociada. Si esta regla de subdivisión es conforme en cierto sentido, el grupo será un grupo 3-variedad con la geometría del 3-espacio hiperbólico. ^[7]

Teorema de mapeo combinatorio de Riemann

Las reglas de subdivisión dan una secuencia de teselas de una superficie, y las teselas dan una idea de distancia, longitud y área (haciendo que cada tesela tenga longitud y área 1). En el límite, las distancias que provienen de estas teselas pueden converger en algún sentido a una estructura analítica en la superficie. El teorema de aplicación combinatoria de Riemann proporciona las condiciones necesarias y suficientes para que esto ocurra. ^[7]

Su enunciado necesita algunos antecedentes. Un mosaico de un anillo (es decir, un anillo cerrado) da dos invariantes, y , llamados módulos aproximados . Estos son similares al módulo clásico de un anillo . Se definen mediante el uso de funciones de peso . Una función de peso asigna un número no negativo llamado peso a cada mosaico de . A cada camino en se le puede dar una longitud, definida como la suma de los pesos de todos los mosaicos en el camino. Defina la altura de debajo como el ínfimo de la longitud de todos los caminos posibles que conectan el límite interior de con el límite exterior. La circunferencia de debajo es el ínfimo de la longitud de todos los caminos posibles que rodean el anillo (es decir, no nulo homotópico en R). El área de debajo se define como la suma de los cuadrados de todos los pesos en . Luego defina ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M_{\sup }(R,T)}$ ${\displaystyle m_{\inf }(R,T)}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle H(\rho )}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle C(\rho )}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle A(\rho )}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle M_{\sup }(R,T)=\sup {\frac {H(\rho )^{2}}{A(\rho )}},}$

${\displaystyle m_{\inf }(R,T)=\inf {\frac {A(\rho )}{C(\rho )^{2}}}.}$

Téngase en cuenta que son invariantes bajo la escala de la métrica.

Una secuencia de teselas es conforme ( ) si la malla se acerca a 0 y: ${\displaystyle T_{1},T_{2},\ldots }$ ${\displaystyle K}$

1. Para cada anillo , los módulos aproximados y , para todos los suficientemente grandes, se encuentran en un solo intervalo de la forma ; y ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M_{\sup }(R,T_{i})}$ ${\displaystyle m_{\inf }(R,T_{i})}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle [r,Kr]}$
2. Dado un punto en la superficie, un entorno de , y un entero , existe un anillo que separa a x del complemento de , tal que para todos los grandes los módulos aproximados de son todos mayores que . ^[7] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle N\smallsetminus \{x\}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$

Enunciado del teorema

Si una secuencia de teselaciones de una superficie es conforme ( ) en el sentido anterior, entonces hay una estructura conforme en la superficie y una constante que depende sólo de en la que los módulos clásicos y los módulos aproximados (de para suficientemente grandes) de cualquier anillo dado son -comparables, lo que significa que se encuentran en un solo intervalo . ^[7] ${\displaystyle T_{1},T_{2},\ldots }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K'}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle T_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle K'}$ ${\displaystyle [r,K'r]}$

Consecuencias

El teorema de aplicación combinatoria de Riemann implica que un grupo actúa geométricamente sobre si y solo si es hiperbólico de Gromov, tiene una esfera en el infinito y la regla de subdivisión natural sobre la esfera da lugar a una secuencia de teselaciones que es conforme en el sentido antes mencionado. Por lo tanto, la conjetura de Cannon sería verdadera si todas esas reglas de subdivisión fueran conformes. ^[13] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{3}}$

Referencias

1. JW Cannon, WJ Floyd, WR Parry. Reglas de subdivisión finita . Geometría conforme y dinámica, vol. 5 (2001), págs. 153-196.
2. JW Cannon, WJ Floyd, WR Parry. Construcción de reglas de subdivisión a partir de mapas racionales . Geometría conforme y dinámica, vol. 11 (2007), págs. 128-136.
3. JW Cannon, WJ Floyd, WR Parry. Mapas de Lattès y reglas de subdivisión . Geometría conforme y dinámica, vol. 14 (2010, págs. 113-140.
4. B. Rushton. Construcción de reglas de subdivisión a partir de enlaces alternados . Conform. Geom. Dyn. 14 (2010), 1–13.
5. Rushton, B. (2012). "Una regla de subdivisión finita para el toro de dimensión n". Geometriae Dedicata . 167 : 23–34. arXiv : 1110.3310 . doi :10.1007/s10711-012-9802-5. S2CID  119145306.
6. JW Cannon, W. Floyd y W. Parry. Crecimiento de cristales, crecimiento celular biológico y geometría. Formación de patrones en biología, visión y dinámica, págs. 65-82. World Scientific, 2000. ISBN 981-02-3792-8 , ISBN 978-981-02-3792-9 .  
7. James W. Cannon. El teorema de mapeo combinatorio de Riemann. Acta Mathematica 173 (1994), núm. 2, págs. 155–234.
8. Lu, Peter J.; Steinhardt, Paul J. (2007). "Azulejos decagonales y cuasicristalinos en la arquitectura islámica medieval" (PDF) . Science . 315 (5815): 1106–1110. Bibcode :2007Sci...315.1106L. doi :10.1126/science.1135491. PMID  17322056. S2CID  10374218. Archivado desde el original (PDF) el 2009-10-07.
   "Material de apoyo en línea" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 26 de marzo de 2009.
9. D. Zorin. Subdivisiones en mallas arbitrarias: algoritmos y teoría . Instituto de Ciencias Matemáticas (Singapur). Serie de notas de conferencias. 2006.
10. Perelman, Grisha (11 de noviembre de 2002). "La fórmula de entropía para el flujo de Ricci y sus aplicaciones geométricas". arXiv : math.DG/0211159 .
11. Perelman, Grisha (10 de marzo de 2003). "Flujo de Ricci con cirugía en tres variedades". arXiv : math.DG/0303109 .
12. Perelman, Grisha (17 de julio de 2003). "Tiempo de extinción finito para las soluciones del flujo de Ricci en ciertas variedades de tres dimensiones". arXiv : math.DG/0307245 .
13. JW Cannon y EL Swenson, Reconocimiento de grupos discretos de curvatura constante en dimensión 3. Transactions of the American Mathematical Society 350 (1998), n.º 2, págs. 809–849.

Enlaces externos

• Página de investigación de Bill Floyd. Esta página contiene la mayoría de los trabajos de investigación de Cannon, Floyd y Parry sobre las normas de subdivisión, así como una galería de normas de subdivisión.