Fin (topología)

En topología , una rama de las matemáticas , los extremos de un espacio topológico son, en términos generales, los componentes conectados del "límite ideal" del espacio. Es decir, cada extremo representa una forma topológicamente distinta de moverse hacia el infinito dentro del espacio. Al agregar un punto en cada extremo se produce una compactificación del espacio original, conocida como compactificación de extremos .

La noción de final de un espacio topológico fue introducida por Hans Freudenthal  (1931).

Definición

Sea un espacio topológico , y supongamos que ${\displaystyle X}$

${\displaystyle K_{1}\subseteq K_{2}\subseteq K_{3}\subseteq \cdots }$

es una sucesión ascendente de subconjuntos compactos cuyos interiores cubren . Entonces tiene un extremo para cada sucesión ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle U_{1}\supseteq U_{2}\supseteq U_{3}\supseteq \cdots ,}$

donde cada uno es un componente conectado de . El número de extremos no depende de la secuencia específica de conjuntos compactos; existe una biyección natural entre los conjuntos de extremos asociados con dos de dichas secuencias. ${\displaystyle U_{n}}$ ${\displaystyle X\setminus K_{n}}$ ${\displaystyle (K_{i})}$

Según esta definición, un entorno de un extremo es un conjunto abierto tal que para algún . Dichos entornos representan los entornos del punto correspondiente en el infinito en la compactificación del extremo (esta "compactación" no siempre es compacta; el espacio topológico X tiene que ser conexo y localmente conexo ). ${\displaystyle (U_{i})}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V\supset U_{n}}$ ${\displaystyle n}$

La definición de extremos dada anteriormente se aplica solo a espacios que poseen un agotamiento por conjuntos compactos (es decir, deben ser hemicompactos ). Sin embargo, se puede generalizar de la siguiente manera: sea cualquier espacio topológico, y considérese el sistema directo de subconjuntos compactos de y mapas de inclusión . Existe un sistema inverso correspondiente , donde denota el conjunto de componentes conexos de un espacio , y cada mapa de inclusión induce una función . Entonces, el conjunto de extremos de se define como el límite inverso de este sistema inverso. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{K\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{\pi _{0}(X\setminus K)\}}$ ${\displaystyle \pi _{0}(Y)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y\to Z}$ ${\displaystyle \pi _{0}(Y)\to \pi _{0}(Z)}$ ${\displaystyle X}$

Según esta definición, el conjunto de extremos es un funtor de la categoría de espacios topológicos , donde los morfismos son solo aplicaciones continuas propias , a la categoría de conjuntos . Explícitamente, si es una aplicación propia y es un extremo de (es decir, cada elemento de la familia es un componente conexo de y son compatibles con las aplicaciones inducidas por inclusiones), entonces es la familia donde abarca subconjuntos compactos de Y y es la aplicación inducida por de a . La propiedad de se utiliza para asegurar que cada uno sea compacto en . ${\displaystyle \varphi :X\to Y}$ ${\displaystyle x=(x_{K})_{K}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{K}}$ ${\displaystyle X\setminus K}$ ${\displaystyle \varphi (x)}$ ${\displaystyle \varphi _{*}(x_{\varphi ^{-1}(K')})}$ ${\displaystyle K'}$ ${\displaystyle \varphi _{*}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \pi _{0}(X\setminus \varphi ^{-1}(K'))}$ ${\displaystyle \pi _{0}(Y\setminus K')}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi ^{-1}(K)}$ ${\displaystyle X}$

La definición original anterior representa el caso especial donde el sistema directo de subconjuntos compactos tiene una secuencia cofinal .

Ejemplos

• El conjunto de extremos de cualquier espacio compacto es el conjunto vacío .
• La recta real tiene dos extremos. Por ejemplo, si hacemos que K _n sea el intervalo cerrado [− n ,  n ], entonces los dos extremos son las sucesiones de conjuntos abiertos U _n  = ( n , ∞) y V _n  = (−∞, − n ). Estos extremos suelen denominarse "infinito" y "menos infinito", respectivamente. ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• Si n  > 1, entonces el espacio euclidiano tiene un solo extremo. Esto se debe a que tiene un solo componente ilimitado para cualquier conjunto compacto K. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\smallsetminus K}$
• De manera más general, si M es una variedad compacta con borde , entonces el número de extremos del interior de M es igual al número de componentes conexos del borde de M .
• La unión de n rayos distintos que emanan del origen en tiene n extremos. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$
• El árbol binario completo infinito tiene una cantidad incontable de extremos, que corresponden a la cantidad incontable de caminos descendentes diferentes que comienzan en la raíz. (Esto se puede ver si se hace que K _n sea el árbol binario completo de profundidad n ). Estos extremos se pueden considerar como las "hojas" del árbol infinito. En la compactificación de extremos, el conjunto de extremos tiene la topología de un conjunto de Cantor .

Extremos de gráficos y grupos

En la teoría de grafos infinitos , un extremo se define de forma ligeramente diferente, como una clase de equivalencia de caminos semi-infinitos en el grafo, o como un refugio , una función que asigna conjuntos finitos de vértices a componentes conexos de sus complementos. Sin embargo, para grafos localmente finitos (grafos en los que cada vértice tiene un grado finito ), los extremos definidos de esta manera corresponden uno a uno con los extremos de los espacios topológicos definidos a partir del grafo (Diestel & Kühn 2003).

Los extremos de un grupo finitamente generado se definen como los extremos del grafo de Cayley correspondiente ; esta definición no es sensible a la elección del conjunto generador. Todo grupo infinito finitamente generado tiene 1, 2 o infinitos extremos, y el teorema de Stallings sobre los extremos de los grupos proporciona una descomposición para grupos con más de un extremo.

Extremos de un complejo CW

Para un complejo CW conexo por caminos , los extremos pueden caracterizarse como clases de homotopía de funciones propias , llamadas rayos en X : más precisamente, si entre la restricción —al subconjunto— de dos cualesquiera de estas funciones existe una homotopía propia decimos que son equivalentes y definen una clase de equivalencia de rayos propios. Este conjunto se llama extremo de X. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}\to X}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$

Referencias

• Diestel, Reinhard; Kühn, Daniela (2003), "Extremos topológicos y teóricos de grafos", Journal of Combinatorial Theory , Serie B, 87 (1): 197–206, doi : 10.1016/S0095-8956(02)00034-5 , MR  1967888.
• Freudenthal, Hans (1931), "Über die Enden topologischer Räume und Gruppen", Mathematische Zeitschrift , 33 , Springer Berlin / Heidelberg: 692–713, doi :10.1007/BF01174375, ISSN  0025-5874, S2CID  120965216, Zbl  0002.05603
• Ross Geoghegan, Métodos topológicos en teoría de grupos , GTM-243 (2008), Springer ISBN 978-0-387-74611-1 . 
• Scott, Peter; Wall, Terry; Wall, CTC (1979). "Métodos topológicos en teoría de grupos". Teoría de grupos homológicos . págs. 137–204. doi :10.1017/CBO9781107325449.007. ISBN 9781107325449.