Conjetura de Baum-Connes

Fotografía de Baum y Connes

En matemáticas , específicamente en la teoría K de operadores , la conjetura de Baum-Connes sugiere un vínculo entre la teoría K del C*-álgebra reducida de un grupo y la K-homología del espacio clasificador de acciones propias de ese grupo. La conjetura establece una correspondencia entre diferentes áreas de las matemáticas, en la que la K-homología del espacio clasificador está relacionada con la geometría, la teoría de operadores diferenciales y la teoría de homotopía , mientras que la K-teoría del C*-álgebra reducida del grupo es un objeto puramente analítico.

La conjetura, de ser cierta, tendría como consecuencia algunas conjeturas famosas más antiguas. Por ejemplo, la parte de sobreyectividad implica la conjetura de Kadison-Kaplansky para grupos discretos sin torsión , y la inyectividad está estrechamente relacionada con la conjetura de Novikov .

La conjetura también está estrechamente relacionada con la teoría de índices , ya que el mapa de ensamblaje es una especie de índice y juega un papel importante en el programa de geometría no conmutativa de Alain Connes . ${\displaystyle \mu }$

Los orígenes de la conjetura se remontan a la teoría de Fredholm , el teorema del índice de Atiyah-Singer y la interacción de la geometría con la teoría del operador K expresada en los trabajos de Brown, Douglas y Fillmore, entre muchos otros temas motivadores.

Formulación

Sea Γ un segundo grupo numerable localmente compacto (por ejemplo, un grupo numerable discreto ). Se puede definir un morfismo

${\displaystyle \mu :RK_{*}^{\Gamma }({\underline {E\Gamma }})\to K_{*}(C_{r}^{*}(\Gamma )),}$

llamado el mapa de ensamblaje , de la K-homología equivariante con soportes -compactos del espacio clasificatorio de acciones propias a la K-teoría del C*-álgebra reducida de Γ. El índice del subíndice _* puede ser 0 o 1. ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle {\underline {E\Gamma }}}$

Paul Baum y Alain Connes introdujeron la siguiente conjetura (1982) sobre este morfismo:

Conjetura de Baum-Connes. La función de ensamblaje es un isomorfismo . ${\displaystyle \mu }$

Como el lado izquierdo tiende a ser más fácilmente accesible que el lado derecho, debido a que casi no existen teoremas de estructura general del álgebra, uno generalmente ve la conjetura como una "explicación" del lado derecho. ${\displaystyle C^{*}}$

La formulación original de la conjetura era algo diferente, ya que la noción de K-homología equivariante aún no era común en 1982.

En el caso de que sea discreto y libre de torsión, el lado izquierdo se reduce a la K-homología no equivariante con soportes compactos del espacio de clasificación ordinario de . ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle B\Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$

También existe una forma más general de la conjetura, conocida como conjetura de Baum-Connes con coeficientes, donde ambos lados tienen coeficientes en forma de un álgebra sobre la que actúa mediante automorfismos. Dice en lenguaje KK que la función de ensamblaje ${\displaystyle C^{*}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle C^{*}}$

${\displaystyle \mu _{A,\Gamma }:RKK_{*}^{\Gamma }({\underline {E\Gamma }},A)\to K_{*}(A\rtimes _{\lambda }\Gamma ),}$

es un isomorfismo, que contiene el caso sin coeficientes como el caso ${\displaystyle A=\mathbb {C} .}$

Sin embargo, Nigel Higson , Vincent Lafforgue y Georges Skandalis encontraron contraejemplos de la conjetura con coeficientes en 2002. Sin embargo, la conjetura con coeficientes sigue siendo un área activa de investigación, ya que, al igual que la conjetura clásica, a menudo se considera como una afirmación relativa a grupos particulares o a una clase de grupos.

Ejemplos

Sean los números enteros . Entonces, el lado izquierdo es la K-homología de la cual es el círculo. El álgebra de los números enteros es, por la transformada conmutativa de Gelfand-Naimark, que se reduce a la transformada de Fourier en este caso, isomorfa al álgebra de funciones continuas en el círculo. Por lo tanto, el lado derecho es la K-teoría topológica del círculo. Entonces, se puede demostrar que la función de ensamblaje es la dualidad de Poincaré KK-teórica definida por Gennadi Kasparov, que es un isomorfismo. ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle B\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle C^{*}}$

Resultados

La conjetura sin coeficientes todavía está abierta, aunque el campo ha recibido gran atención desde 1982.

La conjetura se demuestra para las siguientes clases de grupos:

• Subgrupos discretos de y . ${\displaystyle SO(n,1)}$ ${\displaystyle SU(n,1)}$
• Grupos con la propiedad de Haagerup , a veces llamados grupos aT-menables . Se trata de grupos que admiten una acción isométrica sobre un espacio de Hilbert afín que es propia en el sentido de que para todas y cada una de las sucesiones de elementos del grupo con . Ejemplos de grupos aT-menables son los grupos susceptibles , los grupos de Coxeter , los grupos que actúan correctamente sobre árboles y los grupos que actúan correctamente sobre complejos cúbicos simplemente conexos. ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }g_{n}\xi \to \infty }$ ${\displaystyle \xi \in H}$ ${\displaystyle g_{n}}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }g_{n}\to \infty }$ ${\displaystyle CAT(0)}$
• Grupos que admiten una presentación finita con una sola relación.
• Subgrupos cocompactos discretos de grupos de Lie reales de rango real 1.
• Redes co-compactas en o . Desde los primeros días de la conjetura, ha sido un problema de larga data exponer un único grupo T de propiedades infinitas que la satisfaga. Sin embargo, V. Lafforgue propuso dicho grupo en 1998, ya que demostró que las redes co-compactas en tienen la propiedad de decaimiento rápido y, por lo tanto, satisfacen la conjetura. ${\displaystyle SL(3,\mathbb {R} ),SL(3,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle SL(3,\mathbb {Q} _{p})}$ ${\displaystyle SL(3,\mathbb {R} )}$
• Grupos hiperbólicos de Gromov y sus subgrupos.
• Entre los grupos no discretos, la conjetura fue demostrada en 2003 por J. Chabert, S. Echterhoff y R. Nest para la vasta clase de todos los grupos casi conexos (es decir, grupos que tienen un componente conexo cocompacto), y todos los grupos de puntos -racionales de un grupo algebraico lineal sobre un cuerpo local de característica cero (por ejemplo ). Para la importante subclase de grupos reductivos reales, la conjetura ya había sido demostrada en 1987 por Antony Wassermann . ^[1] ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k=\mathbb {Q} _{p}}$

La inyectividad se conoce para una clase mucho más grande de grupos gracias al método Dirac-dual-Dirac. Esto se remonta a las ideas de Michael Atiyah y fue desarrollado con gran generalidad por Gennadi Kasparov en 1987. La inyectividad se conoce para las siguientes clases:

• Subgrupos discretos de grupos de Lie conexos o grupos de Lie virtualmente conexos.
• Subgrupos discretos de grupos p-ádicos .
• Grupos bólicos (una cierta generalización de los grupos hiperbólicos).
• Grupos que admiten una acción amena sobre algún espacio compacto.

El ejemplo más simple de un grupo para el cual no se sabe si satisface la conjetura es . ${\displaystyle SL_{3}(\mathbb {Z} )}$

Referencias

1. Datos bibliográficos de MathSciNet

• Mislin, Guido y Valette, Alain (2003), Acciones grupales adecuadas y la conjetura de Baum-Connes , Basilea: Birkhäuser, ISBN 0-8176-0408-1.
• Valette, Alain (2002), Introducción a la conjetura de Baum-Connes , Basilea: Birkhäuser, ISBN 978-3-7643-6706-0.

Enlaces externos

• Sobre la conjetura de Baum-Connes de Dmitry Matsnev.