Mapa de la asamblea

Concepto en topología geométrica

En matemáticas , los mapas de ensamblaje son un concepto importante en la topología geométrica . Desde el punto de vista de la teoría de la homotopía , un mapa de ensamblaje es una aproximación universal de un funtor invariante de homotopía mediante una teoría de homología desde la izquierda. Desde el punto de vista geométrico, los mapas de ensamblaje corresponden a "ensamblar" datos locales sobre un espacio de parámetros para obtener datos globales.

Los mapas de ensamblaje para la teoría K y la teoría L algebraicas desempeñan un papel central en la topología de variedades de alta dimensión , ya que sus fibras de homotopía tienen una relación geométrica directa.

Punto de vista homotópico-teórico

Es un resultado clásico que para cualquier teoría de homología generalizada sobre la categoría de espacios topológicos (que se supone que son homotópicamente equivalentes a los complejos CW ), existe un espectro tal que ${\displaystyle h_{*}}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle h_{*}(X)\cong \pi _{*}(X_{+}\wedge E),}$

dónde . ${\displaystyle X_{+}:=X\sqcup \{*\}}$

El funtor de espacios a espectros tiene las siguientes propiedades: ${\displaystyle X\mapsto X_{+}\wedge E}$

• Es homotópicamente invariante (preserva las equivalencias homotópicas). Esto refleja el hecho de que es homotópicamente invariante. ${\displaystyle h_{*}}$
• Conserva la homotopía de los cuadrados co-cartesianos. Esto refleja el hecho de que tiene secuencias de Mayer-Vietoris , una caracterización equivalente de la escisión. ${\displaystyle h_{*}}$
• Conserva coproductos arbitrarios . Esto refleja el axioma de unión disjunta de . ${\displaystyle h_{*}}$

Un funtor de espacios a espectros que cumple estas propiedades se llama excisivo .

Ahora supongamos que es un funtor homotópico invariante, no necesariamente excisivo. Una función de ensamblaje es una transformación natural de algún funtor excisivo a uno que sea una equivalencia homotópica. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \alpha \colon F^{\%}\to F}$ ${\displaystyle F^{\%}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F^{\%}(*)\to F(*)}$

Si denotamos por la teoría de homología asociada, se deduce que la transformación natural inducida de los grupos abelianos graduados es la transformación universal de una teoría de homología a , es decir, cualquier otra transformación a partir de alguna teoría de homología se factoriza únicamente a través de una transformación de teorías de homología . ${\displaystyle h_{*}:=\pi _{*}\circ F^{\%}}$ ${\displaystyle h_{*}\to \pi _{*}\circ F}$ ${\displaystyle \pi _{*}\circ F}$ ${\displaystyle k_{*}\to \pi _{*}\circ F}$ ${\displaystyle k_{*}}$ ${\displaystyle k_{*}\to h_{*}}$

Existen mapas de ensamblaje para cualquier funtor invariante de homotopía, mediante una simple construcción teórica de homotopía.

Punto de vista geométrico

Como consecuencia de la secuencia de Mayer-Vietoris , el valor de un funtor excisivo en un espacio depende únicamente de su valor en subespacios 'pequeños' de , junto con el conocimiento de cómo se intersecan estos subespacios pequeños. En una representación cíclica de la teoría de homología asociada, esto significa que todos los ciclos deben ser representables por ciclos pequeños. Por ejemplo, para la homología singular , la propiedad de escisión se demuestra mediante la subdivisión de símplices , obteniendo sumas de símplices pequeños que representan clases de homología arbitrarias. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

En este sentido, para ciertos funtores homotópicamente invariantes que no son excisivos, la teoría excisiva correspondiente puede construirse imponiendo "condiciones de control", lo que conduce al campo de la topología controlada. En esta imagen, los mapas de ensamblaje son mapas de "olvido del control", es decir, se inducen olvidando las condiciones de control.

Importancia en topología geométrica

Los mapas de ensamblaje se estudian en topología geométrica principalmente para los dos funtores , la teoría L algebraica de , y la teoría K algebraica de espacios de . De hecho, las fibras de homotopía de ambos mapas de ensamblaje tienen una interpretación geométrica directa cuando es una variedad topológica compacta. Por lo tanto, el conocimiento sobre la geometría de las variedades topológicas compactas se puede obtener estudiando la teoría - y - y sus respectivos mapas de ensamblaje. ${\displaystyle L(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L}$

En el caso de la teoría -, la fibra de homotopía del mapa de ensamblaje correspondiente , evaluada en una variedad topológica compacta , es homotópicamente equivalente al espacio de estructuras de bloques de . Además, la secuencia de fibración ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L_{\%}(M)}$ ${\displaystyle L^{\%}(M)\to L(M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle L_{\%}(M)\to L^{\%}(M)\to L(M)}$

induce una secuencia larga y exacta de grupos de homotopía que pueden identificarse con la secuencia exacta de cirugía de . Esto puede llamarse el teorema fundamental de la teoría de la cirugía y fue desarrollado posteriormente por William Browder , Sergei Novikov , Dennis Sullivan , CTC Wall , Frank Quinn y Andrew Ranicki . ${\displaystyle M}$

Para la teoría -, la fibra de homotopía del mapa de ensamblaje correspondiente es homotópicamente equivalente al espacio de h-cobordismos estables en . Este hecho se llama teorema de h-cobordismos parametrizados estables , demostrado por Waldhausen-Jahren-Rognes. Puede verse como una versión parametrizada del teorema clásico que establece que las clases de equivalencia de h-cobordismos en están en correspondencia biunívoca con elementos en el grupo de Whitehead de . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A_{\%}(M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \pi _{1}(M)}$