Teoría L

En matemáticas , la teoría L algebraica es la teoría K de las formas cuadráticas ; el término fue acuñado por CTC Wall , con L siendo utilizada como la letra después de K. La teoría L algebraica , también conocida como " teoría K hermítica ", es importante en la teoría de la cirugía . ^[1]

Definición

Se pueden definir grupos L para cualquier anillo con involución R : los grupos L cuadráticos (Wall) y los grupos L simétricos (Mishchenko, Ranicki). ${\displaystyle L_{*}(R)}$ ${\displaystyle L^{*}(R)}$

Dimensión uniforme

Los grupos L de dimensión par se definen como los grupos de Witt de formas ε-cuadráticas sobre el anillo R con . Más precisamente, ${\displaystyle L_{2k}(R)}$ ${\displaystyle \epsilon =(-1)^{k}}$

${\displaystyle L_{2k}(R)}$

es el grupo abeliano de clases de equivalencia de formas ε-cuadráticas no degeneradas sobre R, donde los R-módulos subyacentes F son finitamente generados libres. La relación de equivalencia está dada por estabilización con respecto a las formas ε-cuadráticas hiperbólicas : ${\displaystyle [\psi ]}$ ${\displaystyle \psi \in Q_{\epsilon }(F)}$

${\displaystyle [\psi ]=[\psi ']\Longleftrightarrow n,n'\in {\mathbb {N} }_{0}:\psi \oplus H_{(-1)^{k}}(R)^{n}\cong \psi '\oplus H_{(-1)^{k}}(R)^{n'}}$.

La adición en se define por ${\displaystyle L_{2k}(R)}$

${\displaystyle [\psi _{1}]+[\psi _{2}]:=[\psi _{1}\oplus \psi _{2}].}$

El elemento cero está representado por para cualquier . El inverso de es . ${\displaystyle H_{(-1)^{k}}(R)^{n}}$ ${\displaystyle n\in {\mathbb {N} }_{0}}$ ${\displaystyle [\psi ]}$ ${\displaystyle [-\psi ]}$

Dimensión extraña

Definir grupos L de dimensión impar es más complicado; se pueden encontrar más detalles y la definición de los grupos L de dimensión impar en las referencias mencionadas a continuación.

Ejemplos y aplicaciones

Los grupos L de un grupo son los grupos L del anillo de grupos . En las aplicaciones a la topología es el grupo fundamental de un espacio . Los grupos L cuadráticos juegan un papel central en la clasificación quirúrgica de los tipos de homotopía de variedades -dimensionales de dimensión , y en la formulación de la conjetura de Novikov . ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle L_{*}(\mathbf {Z} [\pi ])}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} [\pi ]}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L_{*}(\mathbf {Z} [\pi ])}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n>4}$

La distinción entre grupos L simétricos y grupos L cuadráticos , indicada por índices superiores e inferiores, refleja el uso en homología y cohomología de grupos. La cohomología de grupos del grupo cíclico se ocupa de los puntos fijos de una acción, mientras que la homología de grupos se ocupa de las órbitas de una acción; compárese (puntos fijos) y (órbitas, cociente) para la notación de índice superior/inferior. ${\displaystyle H^{*}}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} _{2}}$ ${\displaystyle H_{*}}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} _{2}}$ ${\displaystyle X^{G}}$ ${\displaystyle X_{G}=X/G}$

Los grupos L cuadráticos : y los grupos L simétricos : están relacionados por un mapa de simetrización que es un isomorfismo módulo 2-torsión, y que corresponde a las identidades de polarización . ${\displaystyle L_{n}(R)}$ ${\displaystyle L^{n}(R)}$ ${\displaystyle L_{n}(R)\to L^{n}(R)}$

Los grupos L cuadráticos y simétricos son cuádruples periódicos (el comentario de Ranicki, página 12, sobre la no periodicidad de los grupos L simétricos se refiere a otro tipo de grupos L , definidos usando "complejos cortos").

En vista de las aplicaciones a la clasificación de variedades, existen amplios cálculos de los grupos cuadráticos . Para los grupos finitos se utilizan métodos algebraicos y, sobre todo, métodos geométricos (por ejemplo, topología controlada) para los grupos infinitos . ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L_{*}(\mathbf {Z} [\pi ])}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$

De manera más general, se pueden definir grupos L para cualquier categoría aditiva con una dualidad de cadena , como en Ranicki (sección 1).

Números enteros

Los grupos L simplemente conexos son también los grupos L de los números enteros, ya que para ambos = o Para los grupos L cuadráticos , estos son los obstáculos quirúrgicos a la cirugía simplemente conexa . ${\displaystyle L(e):=L(\mathbf {Z} [e])=L(\mathbf {Z} )}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L^{*}}$ ${\displaystyle L_{*}.}$

Los grupos L cuadráticos de los números enteros son:

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{4k}(\mathbf {Z} )&=\mathbf {Z} &&{\text{signature}}/8\\L_{4k+1}(\mathbf {Z} )&=0\\L_{4k+2}(\mathbf {Z} )&=\mathbf {Z} /2&&{\text{Arf invariant}}\\L_{4k+3}(\mathbf {Z} )&=0.\end{aligned}}}$

En dimensión doblemente par (4 k ), los grupos L cuadráticos detectan la firma ; en dimensión simplemente par (4 k +2), los grupos L detectan el invariante Arf (topológicamente, el invariante Kervaire ).

Los grupos L simétricos de los números enteros son:

${\displaystyle {\begin{aligned}L^{4k}(\mathbf {Z} )&=\mathbf {Z} &&{\text{signature}}\\L^{4k+1}(\mathbf {Z} )&=\mathbf {Z} /2&&{\text{de Rham invariant}}\\L^{4k+2}(\mathbf {Z} )&=0\\L^{4k+3}(\mathbf {Z} )&=0.\end{aligned}}}$

En dimensión doblemente par (4 k ), los grupos L simétricos , al igual que los grupos L cuadráticos , detectan la firma; en dimensión (4 k +1), los grupos L detectan el invariante de Rham .

Referencias

1. "Teoría L, teoría K e involuciones, por Levikov, Filipp, 2013, en Universidad de Aberdeen (ISNI:0000 0004 2745 8820)".

• Lück, Wolfgang (2002), "Una introducción básica a la teoría de la cirugía" (PDF) , Topología de variedades de alta dimensión, n.º 1, 2 (Trieste, 2001) , ICTP Lect. Notes, vol. 9, Abdus Salam Int. Cent. Theoret. Phys., Trieste, págs. 1–224, MR  1937016
• Ranicki, Andrew A. (1992), Teoría L algebraica y variedades topológicas (PDF) , Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 102, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-42024-2, Sr.  1211640
• Wall, CTC (1999) [1970], Ranicki, Andrew (ed.), Cirugía en variedades compactas (PDF) , Mathematical Surveys and Monographs, vol. 69 (2.ª ed.), Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-0942-6, Sr.  1687388