En matemáticas , específicamente en la teoría de formas cuadráticas , una forma ε -cuadrática es una generalización de las formas cuadráticas a configuraciones antisimétricas y a anillos * ; ε = ±1 , en consecuencia para simétricos o antisimétricos. También se denominan formas -cuadráticas, particularmente en el contexto de la teoría de la cirugía .
Existe la noción relacionada de formas ε -simétricas , que generaliza las formas simétricas , las formas antisimétricas (= formas simplécticas ), las formas hermíticas y las formas antihermíticas . De manera más breve, se puede hacer referencia a las formas cuadráticas, anticuadráticas, simétricas y antisimétricas, donde "anti" significa (−) y se implica el * (involución).
La teoría es 2-local: lejos de 2 , las formas ε -cuadráticas son equivalentes a las formas ε -simétricas: la mitad del mapa de simetrización (abajo) da un isomorfismo explícito.
Las formas ε -simétricas y las formas ε -cuadráticas se definen de la siguiente manera. [1]
Dado un módulo M sobre un *-anillo R , sea B ( M ) el espacio de formas bilineales sobre M , y sea T : B ( M ) → B ( M ) la involución " transpuesta conjugada " B ( u , v ) ↦ B ( v , u )* . Puesto que la multiplicación por −1 también es una involución y conmuta con funciones lineales, − T también es una involución. Por tanto, podemos escribir ε = ±1 y εT es una involución, ya sea T o − T (ε puede ser más general que ±1; véase más abajo). Definamos las formas ε -simétricas como las invariantes de εT , y las formas ε -cuadráticas son las coinvariantes .
Como secuencia exacta,
La notación Q ε ( M ), Q ε ( M ) sigue la notación estándar M G , M G para los invariantes y coinvariantes de una acción de grupo , aquí del grupo de orden 2 (una involución).
La composición de los mapas de inclusión y cociente (pero no 1 − εT ) como produce un mapa Q ε ( M ) → Q ε ( M ): cada forma ε -simétrica determina una forma ε -cuadrática.
Por el contrario, se puede definir un homomorfismo inverso "1 + εT ": Q ε ( M ) → Q ε ( M ) , llamado mapa de simetrización (ya que produce una forma simétrica) tomando cualquier elevación de una forma cuadrática y multiplicándola por 1 + εT . Esta es una forma simétrica porque (1 − εT )(1 + εT ) = 1 − T 2 = 0 , por lo que está en el núcleo. Más precisamente, . El mapa está bien definido por la misma ecuación: elegir una elevación diferente corresponde a sumar un múltiplo de (1 − εT ) , pero este se desvanece después de multiplicar por 1 + εT . Por lo tanto, cada forma ε -cuadrática determina una forma ε -simétrica.
Al componer estos dos mapas de cualquier manera: Q ε ( M ) → Q ε ( M ) → Q ε ( M ) o Q ε ( M ) → Q ε ( M ) → Q ε ( M ) se obtiene la multiplicación por 2 y, por lo tanto, estos mapas son biyectivos si 2 es invertible en R , y el inverso se da por la multiplicación con 1/2.
Una forma ε -cuadrática ψ ∈ Q ε ( M ) se llama no degenerada si la forma ε -simétrica asociada (1 + εT )( ψ ) no es degenerada.
Si el * es trivial, entonces ε = ±1 , y "lejos de 2" significa que 2 es invertible: 1/2 ∈ R.
De manera más general, se puede tomar como ε ∈ R cualquier elemento tal que ε * ε = 1 . ε = ±1 siempre satisface esto, pero también lo hace cualquier elemento de norma 1, como los números complejos de norma unitaria.
De manera similar, en presencia de un * no trivial, las formas ε -simétricas son equivalentes a las formas ε -cuadráticas si hay un elemento λ ∈ R tal que λ * + λ = 1 . Si * es trivial, esto es equivalente a 2 λ = 1 o λ = 1/2 , mientras que si * no es trivial puede haber múltiples λ posibles ; por ejemplo, sobre los números complejos cualquier número con parte real 1/2 es un λ de este tipo .
Por ejemplo, en el anillo (la red integral para la forma cuadrática 2 x 2 − 2 x + 1 ), con conjugación compleja, hay dos de tales elementos, aunque 1/2 ∉ R .
En términos de matrices (tomamos que V es bidimensional), si * es trivial:
por ejemplo , elevando a y luego sumando a transpuesta. Al volver a convertirla en formas cuadráticas, se obtiene el doble del original: .
Si es una conjugación compleja, entonces
Una forma intuitiva de entender una forma ε -cuadrática es pensarla como un refinamiento cuadrático de su forma ε -simétrica asociada.
Por ejemplo, al definir un álgebra de Clifford sobre un cuerpo o anillo general, se calcula el álgebra tensorial mediante relaciones que provienen de la forma simétrica y la forma cuadrática: vw + wv = 2 B ( v , w ) y . Si 2 es invertible, esta segunda relación se sigue de la primera (ya que la forma cuadrática se puede recuperar de la forma bilineal asociada), pero en 2 este refinamiento adicional es necesario.
Un ejemplo sencillo de una forma ε -cuadrática es la forma ε -cuadrática hiperbólica estándar . (Aquí, R * := Hom R ( R , R ) denota el dual del R -módulo R .) Se da por la forma bilineal . La forma ε -cuadrática hiperbólica estándar es necesaria para la definición de la L -teoría .
Para el cuerpo de dos elementos R = F 2 no hay diferencia entre las formas cuadráticas (+1) y (−1), que se denominan simplemente formas cuadráticas . El invariante Arf de una forma cuadrática no singular sobre F 2 es un invariante de valor F 2 con importantes aplicaciones tanto en álgebra como en topología, y desempeña un papel similar al desempeñado por el discriminante de una forma cuadrática en característica distinta de dos.
La parte libre del grupo de homología medio (con coeficientes enteros) de una variedad orientada de dimensión par tiene una forma ε -simétrica, a través de la dualidad de Poincaré , la forma de intersección . En el caso de dimensión par simple 4 k + 2 , esto es antisimétrico, mientras que para dimensión doblemente par 4 k , esto es simétrico. Geométricamente esto corresponde a la intersección, donde dos subvariedades n /2-dimensionales en una variedad n -dimensional se intersecan genéricamente en una subvariedad 0-dimensional (un conjunto de puntos), agregando codimensión . Para dimensión par simple el orden cambia de signo, mientras que para dimensión doblemente par el orden no cambia de signo, de ahí la ε -simetría. Los casos más simples son para el producto de esferas, donde el producto S 2 k × S 2 k y S 2 k +1 × S 2 k +1 respectivamente dan la forma simétrica y la forma antisimétrica. En la dimensión dos, esto produce un toro, y tomando la suma conexa de g toros produce la superficie del género g , cuya homología media tiene la forma hiperbólica estándar.
Con una estructura adicional, esta forma ε -simétrica se puede refinar a una forma ε -cuadrática. Para una dimensión doblemente par, esto tiene un valor entero, mientras que para una dimensión simplemente par, esto solo se define hasta la paridad y toma valores en Z /2. Por ejemplo, dada una variedad enmarcada , se puede producir un refinamiento de este tipo. Para una dimensión simplemente par, el invariante Arf de esta forma anticuadrática es el invariante Kervaire .
Dada una superficie orientada Σ incrustada en R 3 , el grupo de homología medio H 1 (Σ) lleva no solo una forma antisimétrica (a través de la intersección), sino también una forma anticuadrática, que puede verse como un refinamiento cuadrático, a través de autoenlace. La forma antisimétrica es un invariante de la superficie Σ, mientras que la forma anticuadrática es un invariante de la incrustación Σ ⊂ R 3 , por ejemplo para la superficie de Seifert de un nudo . El invariante Arf de la forma anticuadrática es un invariante de cobordismo enmarcado que genera el primer grupo de homotopía estable .
Para el toro embebido estándar , la forma antisimétrica está dada por (con respecto a la base simpléctica estándar ), y el refinamiento anticuadrático está dado por xy con respecto a esta base: Q (1, 0) = Q (0, 1) = 0 : las curvas de base no se autoenlazan; y Q (1, 1) = 1 : a (1, 1) se autoenlaza, como en la fibración de Hopf . (Esta forma tiene un invariante de Arf de 0 y, por lo tanto, este toro embebido tiene un invariante de Kervaire de 0).
Una aplicación clave es la teoría de la cirugía algebraica , donde incluso los grupos L se definen como grupos de Witt de formas ε -cuadráticas, por CTCWall
![{\displaystyle R=\mathbf {Z} \left[\textstyle {\frac {1+i}{2}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5a0d6c3acdd5cfb932747468adc498e09411746)
