Involución (matemáticas)

Una involución es una función $f : X \to X$ que, cuando se aplica dos veces, nos devuelve al punto de partida.

En matemáticas , una involución , función involutiva o función autoinversa ^[1] es una función $f$ que es su propia inversa ,

f (f (x)) = x

para todo $x$ en el dominio de $f$ . ^[2] De manera equivalente, aplicar $f$ dos veces produce el valor original.

Propiedades generales

Toda involución es una biyección .

El mapa identidad es un ejemplo trivial de involución. Entre los ejemplos de involuciones no triviales se incluyen la negación ( $x \mapsto - x$ ), la reciprocidad ( $x \mapsto 1/ x$ ) y la conjugación compleja ( $z \mapsto z$ ) en aritmética ; la reflexión , la rotación de media vuelta y la inversión del círculo en geometría ; la complementación en la teoría de conjuntos ; y los cifrados recíprocos como la transformación ROT13 y el cifrado polialfabético de Beaufort .

La composición $g \circ f$ de dos involuciones $f$ y $g$ es una involución si y sólo si conmutan : $g \circ f = f \circ g$ . ^[3]

Involuciones en conjuntos finitos

El número de involuciones, incluida la involución identidad, en un conjunto con $n = 0, 1, 2, ...$ elementos viene dado por una relación de recurrencia encontrada por Heinrich August Rothe en 1800:

a_{0}=a_{1}=1

y para

a_{n}=a_{n-1}+(n-1)a_{n-2}

n>1.

Los primeros términos de esta secuencia son 1 , 1, 2 , 4 , 10 , 26 , 76 , 232 (secuencia A000085 en la OEIS ); estos números se denominan números telefónicos y también cuentan el número de cuadros de Young con un número dado de celdas. ^[4] El número $a n$ también se puede expresar mediante fórmulas no recursivas, como la suma $a_{n}=\sum _{m=0}^{\lfloor {\frac {n}{2}}\rfloor }{\frac {n!}{2^{m}m!(n-2m)!}}.$

El número de puntos fijos de una involución sobre un conjunto finito y su número de elementos tienen la misma paridad . Por lo tanto, el número de puntos fijos de todas las involuciones sobre un conjunto finito dado tienen la misma paridad. En particular, cada involución sobre un número impar de elementos tiene al menos un punto fijo . Esto puede usarse para demostrar el teorema de los dos cuadrados de Fermat . ^[5]

Involución en todos los campos de las matemáticas

Funciones de valor real

La gráfica de una involución (en los números reales) es simétrica a lo largo de la línea $y = x$ . Esto se debe al hecho de que la inversa de cualquier función general será su reflexión sobre la línea $y = x$ . Esto se puede ver "intercambiando" $x$ con $y$ . Si, en particular, la función es una involución , entonces su gráfica es su propia reflexión. Algunos ejemplos básicos de involuciones incluyen las funciones Aunque las involuciones no están cerradas bajo composición, a veces pueden estar compuestas de varias maneras para producir involuciones adicionales. Por ejemplo, si $a$ $= 0$ y $b$ $= 1$ entonces es una involución, y más generalmente la función es una involución para las constantes $b$ y $c$ que satisfacen $bc$ $\neq -1$ . (Este es el subconjunto autoinverso de las transformaciones de Möbius con $a$ $= -$ $d$ , luego normalizado a $a$ $= 1$ .) ${\begin{alignedat}{1}f_{1}(x)&=ax,\\f_{2}(x)&={\frac {b}{x}},\\f_{3}(x)&={\frac {x}{cx-1}},\\\end{alignedat}}$ $f_{4}(x):=(f_{1}\circ f_{2})(x)=(f_{2}\circ f_{1})(x)=-{\frac {1}{x}}$ $g(x)={\frac {x+b}{cx-1}}$

Algunos ejemplos de involuciones incluyen: ${\begin{alignedat}{3}f(x)&={\sqrt {1-x^{2}}}&g(x)&=1-x&h(x)&=x^{2},\\f(x)&=\ln \left({\frac {e^{x}+1}{e^{x}-1}}\right)&g(x)&={\frac {x+1}{x-1}}&h(x)&=e^{x},\\f(x)&=\exp \left({\frac {1}{\ln x}}\right)&g(x)&={\frac {1}{x}}&h(x)&=\ln x,\\f(x)&={\frac {x}{\sqrt {x^{2}-1}}}&\qquad g(x)&={\frac {x}{x-1}}&\quad h(x)&=x^{2}.\end{alignedat}}$

Otras involuciones elementales son útiles para resolver ecuaciones funcionales .

Geometría euclidiana

Un ejemplo sencillo de involución del espacio euclidiano tridimensional es la reflexión a través de un plano . Al realizar una reflexión dos veces, un punto vuelve a sus coordenadas originales.

Otra involución es la reflexión a través del origen ; no una reflexión en el sentido antes mencionado y, por tanto, un ejemplo distinto.

Estas transformaciones son ejemplos de involuciones afines .

Geometría proyectiva

Una involución es una proyectividad de periodo 2, es decir, una proyectividad que intercambia pares de puntos. ^[6]^{: 24}

Cualquier proyectividad que intercambie dos puntos es una involución.
Los tres pares de lados opuestos de un cuadrángulo completo se cortan con cualquier línea (que no pase por un vértice) en tres pares de una involución. Este teorema se ha llamado Teorema de Involución de Desargues . ^[7] Sus orígenes se pueden ver en el Lema IV de los lemas de los Porismos de Euclides en el Volumen VII de la Colección de Pappus de Alejandría . ^[8]
Si una involución tiene un punto fijo , tiene otro, y consiste en la correspondencia entre conjugados armónicos respecto de estos dos puntos. En este caso la involución se denomina "hiperbólica", mientras que si no hay puntos fijos es "elíptica". En el contexto de las proyectividades, los puntos fijos se denominan puntos dobles . ^[6]^{: 53}

Otro tipo de involución que ocurre en la geometría proyectiva es una polaridad que es una correlación de período 2. ^[9]

Álgebra lineal

En álgebra lineal, una involución es un operador lineal $T$ en un espacio vectorial, tal que $T 2 = I$ . A excepción de la característica 2, dichos operadores son diagonalizables para una base dada con solo $1$ s y $-1$ s en la diagonal de la matriz correspondiente. Si el operador es ortogonal (una involución ortogonal ), es diagonalizable ortonormalmente.

Por ejemplo, supongamos que se elige una base para un espacio vectorial $V$ y que $e 1$ y $e 2$ son elementos de la base. Existe una transformación lineal $f$ que envía $e 1$ a $e 2$ y envía $e 2$ a $e 1$ y que es la identidad en todos los demás vectores de la base. Se puede comprobar que $f (f (x)) = x$ para todo $x$ en $V$ . Es decir, $f$ es una involución de $V$ .

Para una base específica, cualquier operador lineal puede representarse mediante una matriz $T.$ Toda matriz tiene una transpuesta , que se obtiene intercambiando filas por columnas. Esta transposición es una involución en el conjunto de matrices. Como la conjugación compleja elemento por elemento es una involución independiente, la transpuesta conjugada o la adjunta hermítica también es una involución.

La definición de involución se extiende fácilmente a los módulos . Dado un módulo $M$ sobre un anillo $R$ , un endomorfismo $R$ $f$ de $M$ se denomina involución si $f$ $2$ es el homomorfismo identidad en $M$ .

Las involuciones están relacionadas con los idempotentes ; si $2$ es invertible entonces se corresponden de manera uno a uno.

En el análisis funcional , las *-álgebras de Banach y las C*-álgebras son tipos especiales de álgebras de Banach con involuciones.

Álgebra de cuaterniones, grupos, semigrupos

En un álgebra de cuaterniones , una (anti)involución se define mediante los siguientes axiomas: si consideramos una transformación , entonces es una involución si $x\mapsto f(x)$

$f(f(x))=x$ (es su propio inverso)
$f(x_{1}+x_{2})=f(x_{1})+f(x_{2})$ y (es lineal) $f(\lambda x)=\lambda f(x)$
$f(x_{1}x_{2})=f(x_{1})f(x_{2})$

Una antiinvolución no obedece al último axioma sino que

$f(x_{1}x_{2})=f(x_{2})f(x_{1})$

Esta primera ley se denomina a veces antidistributiva . También aparece en grupos como $(xy) -1 = (y) -1 (x) -1$ . Tomada como axioma, conduce a la noción de semigrupo con involución , del que hay ejemplos naturales que no son grupos, por ejemplo, la multiplicación de matrices cuadradas (es decir, el monoide lineal completo ) con transpuesta como involución.

Teoría de anillos

En la teoría de anillos , la palabra involución se suele interpretar como un antihomomorfismo que es su propia función inversa. Ejemplos de involuciones en anillos comunes:

conjugación compleja en el plano complejo , y su equivalente en los números complejos divididos
tomando la transposición en un anillo matricial.

Teoría de grupos

En teoría de grupos , un elemento de un grupo es una involución si tiene orden 2; es decir, una involución es un elemento $a$ tal que $a \neq e$ y $a 2 = e$ , donde $e$ es el elemento identidad . ^[10] Originalmente, esta definición concordaba con la primera definición anterior, ya que los miembros de los grupos siempre eran biyecciones de un conjunto en sí mismo; es decir, se entendía que grupo significaba grupo de permutación . A fines del siglo XIX, grupo se definió de manera más amplia y, en consecuencia, también involución .

Una permutación es una involución si y sólo si puede escribirse como un producto finito de transposiciones disjuntas .

Las involuciones de un grupo tienen un gran impacto en la estructura del grupo. El estudio de las involuciones fue fundamental para la clasificación de los grupos finitos simples .

Un elemento $x$ de un grupo $G$ se llama fuertemente real si existe una involución $t$ con $x t = x -1$ (donde $x t = x -1 = t -1 \cdot x \cdot t$ ).

Los grupos de Coxeter son grupos generados por un conjunto $S$ de involuciones sujetas únicamente a relaciones que involucran potencias de pares de elementos de $S.$ Los grupos de Coxeter pueden usarse, entre otras cosas, para describir los posibles poliedros regulares y sus generalizaciones a dimensiones superiores .

Lógica matemática

La operación de complemento en las álgebras de Boole es una involución. Por tanto, la negación en lógica clásica satisface la ley de la doble negación : $\neg\neg A$ es equivalente a $A$ .

Generalmente en lógicas no clásicas , la negación que satisface la ley de doble negación se llama involutiva . En semántica algebraica , tal negación se realiza como una involución en el álgebra de valores de verdad . Ejemplos de lógicas que tienen negación involutiva son las lógicas trivalentes de Kleene y Bochvar , la lógica polivalente de Łukasiewicz , la lógica difusa ' lógica involutiva monoidal t-norma ' (IMTL), etc. La negación involutiva a veces se agrega como un conectivo adicional a las lógicas con negación no involutiva; esto es habitual, por ejemplo, en las lógicas difusas t-norma .

La involutividad de la negación es una propiedad de caracterización importante para las lógicas y las variedades correspondientes de álgebras . Por ejemplo, la negación involutiva caracteriza a las álgebras de Boole entre las álgebras de Heyting . En consecuencia, la lógica booleana clásica surge al agregar la ley de la doble negación a la lógica intuicionista . La misma relación se mantiene también entre las álgebras MV y las álgebras BL (y, por lo tanto, correspondientemente, entre la lógica de Łukasiewicz y la lógica difusa BL ), IMTL y MTL , y otros pares de variedades importantes de álgebras (respectivamente, lógicas correspondientes).

En el estudio de las relaciones binarias , cada relación tiene una relación inversa . Dado que la inversa de la inversa es la relación original, la operación de conversión es una involución en la categoría de relaciones . Las relaciones binarias se ordenan mediante inclusión . Si bien este ordenamiento se invierte con la involución de complementación , se conserva bajo la conversión.

Ciencias de la Computación

La operación XOR bit a bit con un valor dado para un parámetro es una involución en el otro parámetro. En algunos casos, las máscaras XOR se utilizaron para dibujar gráficos en imágenes de tal manera que al dibujarlas dos veces sobre el fondo, este vuelve a su estado original.

Dos casos especiales de esto, que también son involuciones, son la operación NOT bit a bit , que es un XOR con un valor de todos unos, y el cifrado de flujo , que es un XOR con una clave secreta .

Esto es anterior a las computadoras binarias; prácticamente todas las máquinas de cifrado mecánico implementan un cifrado recíproco , una involución en cada letra tecleada. En lugar de diseñar dos tipos de máquinas, una para cifrar y otra para descifrar, todas las máquinas pueden ser idénticas y pueden configurarse (codificarse) de la misma manera. ^[11]

Otra involución utilizada en computadoras es una permutación bit a bit de orden 2. Por ejemplo, un valor de color almacenado como entero en la forma $(R, G, B)$ , podría intercambiar $R$ y $B$ , dando como resultado la forma $(B, G, R)$ : $f (f (RGB)) = RGB, f (f (BGR)) = BGR$ .

Véase también

Referencias

^ Robert Alexander Adams, Cálculo: variable única , 2006, ISBN 0321307143 , pág. 165
^ Russell, Bertrand (1903), Principios de las matemáticas (2.ª ed.), WW Norton & Company, Inc, pág. 426, ISBN 9781440054167
^ Kubrusly, Carlos S. (2011), Los elementos de la teoría de operadores, Springer Science & Business Media, Problema 1.11(a), pág. 27, ISBN 9780817649982.
^ Knuth, Donald E. (1973), El arte de la programación informática , Volumen 3: Ordenación y búsqueda , Reading, Mass.: Addison-Wesley, págs. 48, 65, MR 0445948
^ Zagier, D. (1990), "Una prueba de una oración de que cada primo p ≡ 1 (mod 4) es una suma de dos cuadrados", American Mathematical Monthly , 97 (2): 144, doi :10.2307/2323918, JSTOR 2323918, MR 1041893.
^ ab AG Pickford (1909) Geometría proyectiva elemental, Cambridge University Press vía Internet Archive
^ JV Field y JJ Gray (1987) El trabajo geométrico de Girard Desargues , (Nueva York: Springer), pág. 54
^ Ivor Thomas (editor) (1980) Selecciones que ilustran la historia de las matemáticas griegas , volumen II, número 362 en la Biblioteca Clásica Loeb (Cambridge y Londres: Harvard y Heinemann), págs. 610-63
^ HSM Coxeter (1969) Introducción a la geometría , págs. 244-248, John Wiley & Sons
^ John S. Rose. "Un curso sobre teoría de grupos". pág. 10, sección 1.13.
^ Goebel, Greg (2018). "La mecanización de los cifrados". Criptología clásica .

Lectura adicional

Ell, Todd A.; Sangwine, Stephen J. (2007). "Involuciones y antiinvoluciones de cuaterniones". Computers & Mathematics with Applications . 53 (1): 137–143. arXiv : math/0506034 . doi :10.1016/j.camwa.2006.10.029. S2CID 45639619.
Knus, Max-Albert; Merkurjev, Alexander ; Rost, Markus ; Tignol, Jean-Pierre (1998), El libro de las involuciones , Colloquium Publications, vol. 44, con un prefacio de J. Tits, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 0-8218-0904-0, Zbl0955.16001
"Involución", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]

Enlaces externos

Medios relacionados con Involución en Wikimedia Commons