En lógica matemática , la lógica difusa básica (o abreviada BL ), la lógica de las t-normas continuas , es una de las lógicas difusas de norma t . Pertenece a la clase más amplia de lógicas subestructurales o lógicas de retículos residuales ; [1] extiende la lógica MTL de todas las t-normas continuas por la izquierda.
Sintaxis
Idioma
El lenguaje de la lógica proposicional BL consta de un número contable de variables proposicionales y de los siguientes conectores lógicos primitivos :
- Implicación ( binaria )
- Conjunción fuerte (binaria). El signo & es una notación más tradicional para la conjunción fuerte en la literatura sobre lógica difusa, mientras que la notación sigue la tradición de las lógicas subestructurales.
- Fondo ( nulario — una constante proposicional ); o son signos alternativos comunes y cero un nombre alternativo común para la constante proposicional (ya que las constantes fondo y cero de las lógicas subestructurales coinciden en MTL).
Los siguientes son los conectivos lógicos definidos más comunes:
- Conjunción débil (binaria), también llamada conjunción reticular (ya que siempre se realiza mediante la operación reticular de encuentro en semántica algebraica). A diferencia de la lógica subestructural débil y la lógica MTL más débil, la conjunción débil se puede definir en BL como
- Negación ( unaria ), definida como
- Equivalencia (binaria), definida como
- Al igual que en MTL, la definición es equivalente a
- Disyunción (débil) (binaria), también llamada disyunción reticular (ya que siempre se realiza mediante la operación reticular de unión en semántica algebraica), definida como
- Superior (nulario), también llamado uno y denotado por o (ya que las constantes superior y cero de las lógicas subestructurales coinciden en MTL), definido como
Las fórmulas bien formadas de BL se definen como es habitual en la lógica proposicional . Para ahorrar paréntesis, es habitual utilizar el siguiente orden de precedencia:
- Conectivos unarios (se unen más estrechamente)
- Conectivas binarias distintas de la implicación y la equivalencia
- Implicación y equivalencia (vinculación más débil)
Axiomas
Petr Hájek (1998) introdujo un sistema de deducción al estilo de Hilbert para BL . Su regla de derivación única es modus ponens :
- de y derivar
Los siguientes son sus esquemas axiomáticos :
Se demostró que los axiomas (BL2) y (BL3) del sistema axiomático original eran redundantes (Chvalovský, 2012) y (Cintula, 2005). Se demostró que todos los demás axiomas eran independientes (Chvalovský, 2012).
Semántica
Al igual que en otras lógicas difusas proposicionales de norma t , la semántica algebraica se utiliza predominantemente para BL, con tres clases principales de álgebras con respecto a las cuales la lógica es completa :
- Semántica general , formada por todas las álgebras BL , es decir, todas las álgebras para las que la lógica es sólida.
- Semántica lineal , formada por todas las álgebras BL lineales , es decir, todas las álgebras BL cuyo orden reticular es lineal
- Semántica estándar , formada por todas las álgebras BL estándar , es decir, todas las álgebras BL cuya reduccion reticular es el intervalo unitario real [0, 1] con el orden usual; están determinadas de forma única por la función que interpreta la conjunción fuerte, que puede ser cualquier norma t continua .
Bibliografía
- Hájek P., 1998, Metamatemáticas de la lógica difusa . Dordrecht: Kluwer.
- Ono, H., 2003, "Lógicas subestructurales y redes residuales: una introducción". En FV Hendricks, J. Malinowski (eds.): Tendencias en lógica: 50 años de Studia Logica, Tendencias en lógica 20 : 177–212.
- Cintula P., 2005, "Nota breve: Sobre la redundancia del axioma (A3) en BL y MTL". Soft Computing 9 : 942.
- Chvalovský K., 2012, "Sobre la independencia de los axiomas en BL y MTL". Fuzzy Sets and Systems 197 : 123–129, doi :10.1016/j.fss.2011.10.018.
Referencias