BL (lógica)

En lógica matemática , la lógica difusa básica (o abreviada BL ), la lógica de las t-normas continuas , es una de las lógicas difusas de norma t . Pertenece a la clase más amplia de lógicas subestructurales o lógicas de retículos residuales ; ^[1] extiende la lógica MTL de todas las t-normas continuas por la izquierda.

Sintaxis

Idioma

El lenguaje de la lógica proposicional BL consta de un número contable de variables proposicionales y de los siguientes conectores lógicos primitivos :

• Implicación ( binaria ) ${\displaystyle \rightarrow }$
• Conjunción fuerte (binaria). El signo & es una notación más tradicional para la conjunción fuerte en la literatura sobre lógica difusa, mientras que la notación sigue la tradición de las lógicas subestructurales. ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle \otimes }$
• Fondo ( nulario — una constante proposicional ); o son signos alternativos comunes y cero un nombre alternativo común para la constante proposicional (ya que las constantes fondo y cero de las lógicas subestructurales coinciden en MTL). ${\displaystyle \bot }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle {\overline {0}}}$

Los siguientes son los conectivos lógicos definidos más comunes:

• Conjunción débil (binaria), también llamada conjunción reticular (ya que siempre se realiza mediante la operación reticular de encuentro en semántica algebraica). A diferencia de la lógica subestructural débil y la lógica MTL más débil, la conjunción débil se puede definir en BL como ${\displaystyle \wedge }$

${\displaystyle A\wedge B\equiv A\otimes (A\rightarrow B)}$

• Negación ( unaria ), definida como ${\displaystyle \neg }$

${\displaystyle \neg A\equiv A\rightarrow \bot }$

• Equivalencia (binaria), definida como ${\displaystyle \leftrightarrow }$

${\displaystyle A\leftrightarrow B\equiv (A\rightarrow B)\wedge (B\rightarrow A)}$

Al igual que en MTL, la definición es equivalente a ${\displaystyle (A\rightarrow B)\otimes (B\rightarrow A).}$

• Disyunción (débil) (binaria), también llamada disyunción reticular (ya que siempre se realiza mediante la operación reticular de unión en semántica algebraica), definida como ${\displaystyle \vee }$

${\displaystyle A\vee B\equiv ((A\rightarrow B)\rightarrow B)\wedge ((B\rightarrow A)\rightarrow A)}$

• Superior (nulario), también llamado uno y denotado por o (ya que las constantes superior y cero de las lógicas subestructurales coinciden en MTL), definido como ${\displaystyle \top }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\overline {1}}}$

${\displaystyle \top \equiv \bot \rightarrow \bot }$

Las fórmulas bien formadas de BL se definen como es habitual en la lógica proposicional . Para ahorrar paréntesis, es habitual utilizar el siguiente orden de precedencia:

• Conectivos unarios (se unen más estrechamente)
• Conectivas binarias distintas de la implicación y la equivalencia
• Implicación y equivalencia (vinculación más débil)

Axiomas

Petr Hájek (1998) introdujo un sistema de deducción al estilo de Hilbert para BL . Su regla de derivación única es modus ponens :

de y derivar ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\rightarrow B}$ ${\displaystyle B.}$

Los siguientes son sus esquemas axiomáticos :

${\displaystyle {\begin{array}{ll}{\rm {(BL1)}}\colon &(A\rightarrow B)\rightarrow ((B\rightarrow C)\rightarrow (A\rightarrow C))\\{\rm {(BL2)}}\colon &A\otimes B\rightarrow A\\{\rm {(BL3)}}\colon &A\otimes B\rightarrow B\otimes A\\{\rm {(BL4)}}\colon &A\otimes (A\rightarrow B)\rightarrow B\otimes (B\rightarrow A)\\{\rm {(BL5a)}}\colon &(A\rightarrow (B\rightarrow C))\rightarrow (A\otimes B\rightarrow C)\\{\rm {(BL5b)}}\colon &(A\otimes B\rightarrow C)\rightarrow (A\rightarrow (B\rightarrow C))\\{\rm {(BL6)}}\colon &((A\rightarrow B)\rightarrow C)\rightarrow (((B\rightarrow A)\rightarrow C)\rightarrow C)\\{\rm {(BL7)}}\colon &\bot \rightarrow A\end{array}}}$

Se demostró que los axiomas (BL2) y (BL3) del sistema axiomático original eran redundantes (Chvalovský, 2012) y (Cintula, 2005). Se demostró que todos los demás axiomas eran independientes (Chvalovský, 2012).

Semántica

Al igual que en otras lógicas difusas proposicionales de norma t , la semántica algebraica se utiliza predominantemente para BL, con tres clases principales de álgebras con respecto a las cuales la lógica es completa :

• Semántica general , formada por todas las álgebras BL , es decir, todas las álgebras para las que la lógica es sólida.
• Semántica lineal , formada por todas las álgebras BL lineales , es decir, todas las álgebras BL cuyo orden reticular es lineal
• Semántica estándar , formada por todas las álgebras BL estándar , es decir, todas las álgebras BL cuya reduccion reticular es el intervalo unitario real [0, 1] con el orden usual; están determinadas de forma única por la función que interpreta la conjunción fuerte, que puede ser cualquier norma t continua .

Bibliografía

• Hájek P., 1998, Metamatemáticas de la lógica difusa . Dordrecht: Kluwer.
• Ono, H., 2003, "Lógicas subestructurales y redes residuales: una introducción". En FV Hendricks, J. Malinowski (eds.): Tendencias en lógica: 50 años de Studia Logica, Tendencias en lógica 20 : 177–212.
• Cintula P., 2005, "Nota breve: Sobre la redundancia del axioma (A3) en BL y MTL". Soft Computing 9 : 942.
• Chvalovský K., 2012, "Sobre la independencia de los axiomas en BL y MTL". Fuzzy Sets and Systems 197 : 123–129, doi :10.1016/j.fss.2011.10.018.

Referencias

1. Ono (2003).