Norma T

Concepto de lógica difusa

En matemáticas , una t-norma (también T-norma o, sin abreviar, norma triangular ) es un tipo de operación binaria utilizada en el marco de los espacios métricos probabilísticos y en la lógica multivaluada , específicamente en la lógica difusa . Una t-norma generaliza la intersección en un retículo y la conjunción en lógica . El nombre norma triangular se refiere al hecho de que en el marco de los espacios métricos probabilísticos las t-normas se utilizan para generalizar la desigualdad triangular de los espacios métricos ordinarios .

Definición

Una t-norma es una función T: [0, 1] × [0, 1] → [0, 1] que satisface las siguientes propiedades:

• Conmutatividad : T( a , b ) = T( b , a )
• Monotonía : T( a , b ) ≤ T( c , d ) si a ≤ c y b ≤ d
• Asociatividad : T( a , T( b , c )) = T(T( a , b ), c ​​)
• El número 1 actúa como elemento identidad : T( a , 1) = a

Dado que una norma t es una operación algebraica binaria en el intervalo [0, 1], la notación algebraica infija también es común, y la norma t generalmente se denota por  . ${\displaystyle *}$

Las condiciones definitorias de la t-norma son exactamente las de un monoide abeliano parcialmente ordenado en el intervalo unitario real [0, 1]. (Cf.  grupo ordenado .) La operación monoidal de cualquier monoide abeliano parcialmente ordenado L es por lo tanto llamada por algunos autores una norma triangular en L .

Clasificación de las normas t

Una norma t se denomina continua si es continua como función, en la topología de intervalo habitual en [0, 1] ² . (De manera similar para la continuidad izquierda y derecha ).

Una norma t se llama estricta si es continua y estrictamente monótona .

Una norma t se llama nilpotente si es continua y cada x en el intervalo abierto (0, 1) es nilpotente , es decir, hay un número natural n tal que x ... x ( n  veces) es igual a 0. ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle *}$

Una t-norma se llama arquimediana si tiene la propiedad arquimediana , es decir, si para cada x , y en el intervalo abierto (0, 1) existe un número natural n tal que x ... x ( n  veces) es menor o igual a y . ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle *}$

El ordenamiento parcial habitual de las t-normas es puntual , es decir,

T ₁ ≤ T ₂   si T ₁ ( a , b ) ≤ T ₂ ( a , b ) para todos los a , b en [0, 1].

Como funciones, las normas t puntuales mayores se denominan a veces más fuertes que las puntuales menores. Sin embargo, en la semántica de la lógica difusa, cuanto mayor es la norma t, más débil (en términos de fuerza lógica) es la conjunción que representa.

Ejemplos destacados

Gráfica de la norma t mínima (3D y contornos)

• La norma t mínima también se denomina norma t de Gödel , ya que es la semántica estándar para la conjunción en la lógica difusa de Gödel . Además, aparece en la mayoría de las lógicas difusas basadas en normas t como la semántica estándar para la conjunción débil. Es la norma t más grande puntualmente (consulte las propiedades de las normas t a continuación). ${\displaystyle \top _{\mathrm {min} }(a,b)=\min\{a,b\},}$

Gráfica del producto t-norma

• Norma t del producto (el producto ordinario de números reales). Además de otros usos, la norma t del producto es la semántica estándar para la conjunción fuerte en la lógica difusa del producto . Es una norma t de Arquímedes estricta. ${\displaystyle \top _{\mathrm {prod} }(a,b)=a\cdot b}$

Gráfico de la norma t de Łukasiewicz

• Norma t de Łukasiewicz El nombre proviene del hecho de que la norma t es la semántica estándar para la conjunción fuerte en la lógica difusa de Łukasiewicz . Es una norma t de Arquímedes nilpotente, puntualmente más pequeña que la norma t del producto. ${\displaystyle \top _{\mathrm {Luk} }(a,b)=\max\{0,a+b-1\}.}$

Gráfica de la norma t drástica. La función es discontinua en las rectas 0 < x = 1 y 0 < y = 1.

• Norma t drástica

${\displaystyle \top _{\mathrm {D} }(a,b)={\begin{cases}b&{\mbox{if }}a=1\\a&{\mbox{if }}b=1\\0&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}$

El nombre refleja el hecho de que la norma t drástica es la norma t más pequeña puntualmente (ver las propiedades de las normas t a continuación). Es una norma t de Arquímedes continua por la derecha.

Gráfica del mínimo nilpotente. La función es discontinua en la recta 0 < x = 1 − y < 1.

• Mínimo nilpotente

${\displaystyle \top _{\mathrm {nM} }(a,b)={\begin{cases}\min(a,b)&{\mbox{if }}a+b>1\\0&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}}$

es un ejemplo estándar de una norma t que es continua por la izquierda, pero no continua. A pesar de su nombre, el mínimo nilpotente no es una norma t nilpotente.

Gráfica del producto de Hamacher

• Producto Hamacher

${\displaystyle \top _{\mathrm {H} _{0}}(a,b)={\begin{cases}0&{\mbox{if }}a=b=0\\{\frac {ab}{a+b-ab}}&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}}$

es una norma t de Arquímedes estricta y un representante importante de las clases paramétricas de las normas t de Hamacher y las normas t de Schweizer–Sklar .

Propiedades de las normas t

La norma t drástica es la norma t más pequeña puntualmente y la mínima es la norma t más grande puntualmente:

${\displaystyle \top _{\mathrm {D} }(a,b)\leq \top (a,b)\leq \mathrm {\top _{min}} (a,b),}$para cualquier norma t y todos los a , b en [0, 1]. ${\displaystyle \top }$

Para cada t-norma T, el número 0 actúa como elemento nulo: T( a , 0) = 0 para todo a en [0, 1].

Una t-norma T tiene divisores de cero si y sólo si tiene elementos nilpotentes ; cada elemento nilpotente de T es también un divisor de cero de T. El conjunto de todos los elementos nilpotentes es un intervalo [0,  a ] o [0,  a ), para algún a en [0, 1].

Propiedades de las normas t continuas

Aunque las funciones reales de dos variables pueden ser continuas en cada variable sin ser continuas en [0, 1] ² , este no es el caso con las normas t: una norma t T es continua si y solo si es continua en una variable, es decir, si y solo si las funciones f _y ( x ) = T( x , y ) son continuas para cada y en [0, 1]. Teoremas análogos se cumplen para la continuidad izquierda y derecha de una norma t.

Una norma t continua es arquimediana si y sólo si 0 y 1 son sus únicos idempotentes .

Una t-norma arquimediana continua es estricta si 0 es su único elemento nilpotente ; en caso contrario es nilpotente. Por definición, además, una t-norma arquimediana continua T es nilpotente si y solo si cada x  < 1 es un elemento nilpotente de T. Por lo tanto, con una t-norma arquimediana continua T, todos o ninguno de los elementos de (0, 1) son nilpotentes. Si es el caso de que todos los elementos en (0, 1) sean nilpotentes, entonces la t-norma es isomorfa a la t-norma de Łukasiewicz; es decir, existe una función estrictamente creciente f tal que

${\displaystyle \top (x,y)=f^{-1}(\top _{\mathrm {Luk} }(f(x),f(y))).}$

Si, por otra parte, se da el caso de que no hay elementos nilpotentes de T, la t-norma es isomorfa a la t-norma producto. En otras palabras, todas las t-normas nilpotentes son isomorfas, siendo la t-norma de Łukasiewicz su representante prototípico; y todas las t-normas estrictas son isomorfas, siendo la t-norma producto su ejemplo prototípico. La t-norma de Łukasiewicz es en sí misma isomorfa a la t-norma producto socavada en 0,25, es decir, a la función p ( x ,  y ) = max(0,25, x  ⋅  y ) en [0,25, 1] ^​​2 .

Para cada norma t continua, el conjunto de sus idempotentes es un subconjunto cerrado de [0, 1]. Su complemento —el conjunto de todos los elementos que no son idempotentes— es, por tanto, una unión de un número contable de intervalos abiertos no superpuestos. La restricción de la norma t a cualquiera de estos intervalos (incluidos sus puntos finales) es arquimediana y, por tanto, isomorfa a la norma t de Łukasiewicz o a la norma t del producto. Para tales x , y que no caen en el mismo intervalo abierto de no idempotentes, la norma t se evalúa como el mínimo de x e y . Estas condiciones dan en realidad una caracterización de las normas t continuas, llamada teorema de Mostert-Shields , ya que cada norma t continua puede descomponerse de esta manera, y la construcción descrita siempre produce una norma t continua. El teorema también puede formularse de la siguiente manera:

Una t-norma es continua si y sólo si es isomorfa a una suma ordinal del mínimo, Łukasiewicz y el producto t-norma.

No se conoce un teorema de caracterización similar para normas t no continuas (ni siquiera para las continuas por la izquierda), solo se han encontrado algunos métodos no exhaustivos para la construcción de normas t .

Residuo

Para cualquier norma t continua por la izquierda , existe una operación binaria única en [0, 1] tal que ${\displaystyle \top }$ ${\displaystyle \Rightarrow }$

${\displaystyle \top (z,x)\leq y}$Si y sólo si ${\displaystyle z\leq (x\Rightarrow y)}$

para todo x , y , z en [0, 1]. Esta operación se denomina residuo de la norma t. En la notación de prefijo, el residuo de una norma t se denota a menudo con o con la letra R. ${\displaystyle \top }$ ${\displaystyle {\vec {\top }}}$

El intervalo [0, 1] equipado con una norma t y su residuo forma una red residual . La relación entre una norma t T y su residuo R es una instancia de adjunción (específicamente, una conexión de Galois ): el residuo forma un adjunto derecho R( x , –) al funtor T(–, x ) para cada x en la red [0, 1] tomada como una categoría de conjunto parcial .

En la semántica estándar de las lógicas difusas basadas en la norma t, donde la conjunción es interpretada por una norma t, el residuo juega el papel de implicación (a menudo llamada R-implicación ).

Propiedades básicas de los residuos

Si es el residuo de una t-norma continua por la izquierda , entonces ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle \top }$

${\displaystyle (x\Rightarrow y)=\sup\{z\mid \top (z,x)\leq y\}.}$

En consecuencia, para todo x , y en el intervalo unitario,

${\displaystyle (x\Rightarrow y)=1}$Si y sólo si ${\displaystyle x\leq y}$

y

${\displaystyle (1\Rightarrow y)=y.}$

Si es una t-norma continua por la izquierda y su residuo, entonces ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle \Rightarrow }$

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\min(x,y)&\geq &x*(x\Rightarrow y)\\\max(x,y)&=&\min((x\Rightarrow y)\Rightarrow y,(y\Rightarrow x)\Rightarrow x).\end{array}}}$

Si es continua, entonces la igualdad se cumple en la primera. ${\displaystyle *}$

Residuo de normas t comunes continuas por la izquierda

Si x ≤ y , entonces R( x , y ) = 1 para cualquier residuo R. Por lo tanto, la siguiente tabla proporciona los valores de los residuos prominentes sólo para x > y .

Conormas T

Las conormas t (también llamadas normas S ) son duales a las normas t según la operación de inversión de orden que asigna 1 – x a x en [0, 1]. Dada una norma t , la conorma complementaria se define por ${\displaystyle \top }$

${\displaystyle \bot (a,b)=1-\top (1-a,1-b).}$

Esto generaliza las leyes de De Morgan .

De ello se deduce que una t-conorma satisface las siguientes condiciones, que pueden utilizarse para una definición axiomática equivalente de las t-conormas independientemente de las t-normas:

• Conmutatividad: ⊥( a , b ) = ⊥( b , a )
• Monotonía: ⊥( a , b ) ≤ ⊥( c , d ) si a ≤ c y b ≤ d
• Asociatividad: ⊥( a , ⊥( b , c )) = ⊥(⊥( a , b ), c ​​)
• Elemento identidad: ⊥( a , 0) = a

Las t-conormas se utilizan para representar la disyunción lógica en la lógica difusa y la unión en la teoría de conjuntos difusos .

Ejemplos de t-conormas

Las t-conormas importantes son aquellas duales con t-normas prominentes:

Gráfica de la t-conorma máxima (3D y contornos)

• La conorma t máxima , dual de la norma t mínima, es la conorma t más pequeña (ver las propiedades de las conormas t a continuación). Es la semántica estándar para la disyunción en la lógica difusa de Gödel y para la disyunción débil en todas las lógicas difusas basadas en normas t. ${\displaystyle \bot _{\mathrm {max} }(a,b)=\max\{a,b\}}$

Gráfica de la suma probabilística

• La suma probabilística es dual a la norma t del producto. En teoría de la probabilidad, expresa la probabilidad de la unión de eventos independientes . También es la semántica estándar para la disyunción fuerte en aquellas extensiones de la lógica difusa del producto en las que es definible (por ejemplo, aquellas que contienen negación involutiva). ${\displaystyle \bot _{\mathrm {sum} }(a,b)=a+b-a\cdot b=1-(1-a)\cdot (1-b)}$

Gráfica de la conorma t de suma acotada

• La suma acotada es dual con respecto a la norma t de Łukasiewicz. Es la semántica estándar para la disyunción fuerte en la lógica difusa de Łukasiewicz . ${\displaystyle \bot _{\mathrm {Luk} }(a,b)=\min\{a+b,1\}}$

Gráfica de la conorma t drástica. La función es discontinua en las rectas 1 > x = 0 y 1 > y = 0.

• Conorm-t drástica

${\displaystyle \bot _{\mathrm {D} }(a,b)={\begin{cases}b&{\mbox{if }}a=0\\a&{\mbox{if }}b=0\\1&{\mbox{otherwise,}}\end{cases}}}$

dual a la t-norma drástica, es la t-conorma más grande (ver las propiedades de las t-conormas a continuación).

Gráfica del máximo nilpotente. La función es discontinua en la recta 0 < x = 1 – y < 1.

• Máximo nilpotente , dual al mínimo nilpotente:

${\displaystyle \bot _{\mathrm {nM} }(a,b)={\begin{cases}\max(a,b)&{\mbox{if }}a+b<1\\1&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}$

Gráfica de la suma de Einstein

• Suma de Einstein (compara la fórmula de adición de velocidad bajo la relatividad especial)

${\displaystyle \bot _{\mathrm {H} _{2}}(a,b)={\frac {a+b}{1+ab}}}$

es un dual de una de las normas t de Hamacher .

Propiedades de las t-conormas

Muchas propiedades de las t-conormas se pueden obtener dualizando las propiedades de las t-normas, por ejemplo:

• Para cualquier t-conorma ⊥, el número 1 es un elemento aniquilador: ⊥( a , 1) = 1, para cualquier a en [0, 1].
• Dualmente para las t-normas, todas las t-conormas están limitadas por la t-conorma máxima y drástica:

${\displaystyle \mathrm {\bot _{max}} (a,b)\leq \bot (a,b)\leq \bot _{\mathrm {D} }(a,b)}$, para cualquier t-conorma y todos los a , b en [0, 1]. ${\displaystyle \bot }$

Otras propiedades resultan de las relaciones entre t-normas y t-conormas o de su interacción con otros operadores, por ejemplo:

• Una t-norma T se distribuye sobre una t-conorma ⊥, es decir,

T( x , ⊥( y , z )) = ⊥(T( x , y ), T( x , z )) para todos los x , y , z en [0, 1],

si y solo si ⊥ es la t-conorma máxima. Dualmente, cualquier t-conorma se distribuye sobre el mínimo, pero no sobre ninguna otra t-norma.

Negadores no estándar

Un negador es una función monótonamente decreciente tal que y . Un negador n se llama ${\displaystyle n\colon [0,1]\to [0,1]}$ ${\displaystyle n(0)=1}$ ${\displaystyle n(1)=0}$

• estricto en caso de estricta monotonía, y
• fuerte si es estricto e involutivo , es decir, para todo en [0, 1]. ${\displaystyle n(n(x))=x}$ ${\displaystyle x}$

El negador estándar (canónico) es , que es estricto y fuerte. Como el negador estándar se utiliza en la definición anterior de un par t-norma/t-conorma, esto se puede generalizar de la siguiente manera: ${\displaystyle n(x)=1-x,\ x\in [0,1]}$

Un triplete de De Morgan es un triplete (T,⊥, n ) tal que ^[1]

1. T es una norma t
2. ⊥ es una t-conorma según la definición axiomática de t-conormas mencionada anteriormente
3. n es un negador fuerte
4. ${\displaystyle \forall a,b\in [0,1]\colon \ n({\perp }(a,b))=\top (n(a),n(b))}$.

Véase también

• Construcción de normas t
• Lógica difusa de norma T

Referencias

1. Ismat Beg, Samina Ashraf: Medidas de similitud para conjuntos difusos, en: Applied and Computational Mathematics, marzo de 2009, disponible en Research Gate desde el 23 de noviembre de 2016

• Klement, Erich Peter; Mesiar, Radko; y Pap, Endre (2000), Normas triangulares . Dordrecht: Kluwer. ISBN  0-7923-6416-3 .
• Hájek, Petr (1998), Metamatemáticas de la lógica difusa . Dordrecht: Kluwer. ISBN 0-7923-5238-6 
• Cignoli, Roberto LO; D'Ottaviano, Itala ML ; y Mundici, Daniele (2000), Fundamentos algebraicos del razonamiento polivalente . Dordrecht: Kluwer. ISBN 0-7923-6009-5 
• Fodor, János (2004), "Normas t continuas por la izquierda en lógica difusa: una visión general". Acta Polytechnica Hungarica 1 (2), ISSN  1785-8860 [1]