Construcción de normas t

Matemáticas

En matemáticas, las normas t son un tipo especial de operaciones binarias en el intervalo unitario real [0, 1]. Varias construcciones de normas t , ya sea por definición explícita o por transformación de funciones previamente conocidas, proporcionan una plenitud de ejemplos y clases de normas t. Esto es importante, por ejemplo, para encontrar contraejemplos o proporcionar normas t con propiedades particulares para su uso en aplicaciones de ingeniería de lógica difusa . Las principales formas de construir normas t incluyen el uso de generadores , la definición de clases paramétricas de normas t, rotaciones o sumas ordinales de normas t.

Se pueden encontrar antecedentes relevantes en el artículo sobre normas t .

Generadores de normas t

El método de construcción de normas t mediante generadores consiste en utilizar una función unaria ( generador ) para transformar alguna función binaria conocida (la mayoría de las veces, suma o multiplicación) en una norma t.

Para permitir el uso de generadores no biyectivos, que no tienen la función inversa , se emplea la siguiente noción de función pseudoinversa :

Sea f :[ a ,  b ] →[ c ,  d ] una función monótona entre dos subintervalos cerrados de recta real extendida . La función pseudoinversa de f es la función f  ⁽⁻¹⁾ : [ c ,  d ] → [ a ,  b ] definida como

${\displaystyle f^{(-1)}(y)={\begin{cases}\sup\{x\in [a,b]\mid f(x)<y\}&{\text{for }}f{\text{ non-decreasing}}\\\sup\{x\in [a,b]\mid f(x)>y\}&{\text{for }}f{\text{ non-increasing.}}\end{cases}}}$

Generadores de aditivos

La construcción de normas t mediante generadores aditivos se basa en el siguiente teorema:

Sea f : [0, 1] → [0, +∞] una función estrictamente decreciente tal que f (1) = 0 y f ( x ) + f ( y ) esté en el rango de f o igual a f (0 ⁺ ) o +∞ para todo x , y en [0, 1]. Entonces la función T : [0, 1] ² → [0, 1] definida como

T ( x , y ) = f  ^(-1) ( f ( x ) + f ( y ))

es una norma t.

Alternativamente, se puede evitar el uso de la noción de función pseudoinversa teniendo . El residuo correspondiente se puede expresar entonces como . Y el biresiduo como . ${\displaystyle T(x,y)=f^{-1}\left(\min \left(f(0^{+}),f(x)+f(y)\right)\right)}$ ${\displaystyle (x\Rightarrow y)=f^{-1}\left(\max \left(0,f(y)-f(x)\right)\right)}$ ${\displaystyle (x\Leftrightarrow y)=f^{-1}\left(\left|f(x)-f(y)\right|\right)}$

Si una t-norma T resulta de la última construcción mediante una función f que es continua por la derecha en 0, entonces f se llama generador aditivo de T.

Ejemplos:

• La función f ( x ) = 1 – x para x en [0, 1] es un generador aditivo de la norma t de Łukasiewicz.
• La función f definida como f ( x ) = –log( x ) si 0 < x ≤ 1 y f (0) = +∞ es un generador aditivo del producto t-norma.
• La función f definida como f ( x ) = 2 – x si 0 ≤ x < 1 y f (1) = 0 es un generador aditivo de la norma t drástica.

Las propiedades básicas de los generadores aditivos se resumen en el siguiente teorema:

Sea f : [0, 1] → [0, +∞] un generador aditivo de una t-norma T . Entonces:

• T es una norma t de Arquímedes.
• T es continua si y sólo si f es continua.
• T es estrictamente monótono si y sólo si f (0) = +∞.
• Cada elemento de (0, 1) es un elemento nilpotente de T si y sólo si f(0) < +∞.
• El múltiplo de f por una constante positiva también es un generador aditivo de T.
• T no tiene idempotentes no triviales. (En consecuencia, por ejemplo, la norma t mínima no tiene generador de aditivos).

Generadores multiplicativos

El isomorfismo entre la suma en [0, +∞] y la multiplicación en [0, 1] por el logaritmo y la función exponencial permite transformaciones bidireccionales entre generadores aditivos y multiplicativos de una norma t. Si f es un generador aditivo de una t-norma T , entonces la función h : [0, 1] → [0, 1] definida como h ( x ) = e ^{− f  ( x )} es un generador multiplicativo de T , que es, una función h tal que

• h es estrictamente creciente
• h (1) = 1
• h ( x ) · h ( y ) está en el rango de h o igual a 0 o h (0+) para todo x , y en [0, 1]
• h es continua por la derecha en 0
• T ( x , y ) = h  ⁽⁻¹⁾ ( h ( x ) · h ( y )).

Viceversa, si h es un generador multiplicativo de T , entonces f : [0, 1] → [0, +∞] definido por f ( x ) = −log( h (x)) es un generador aditivo de T .

Clases paramétricas de normas t.

Muchas familias de normas t relacionadas se pueden definir mediante una fórmula explícita que depende de un parámetro p . Esta sección enumera las familias parametrizadas de normas t más conocidas. En la lista se utilizarán las siguientes definiciones:

• Una familia de t-normas T _p parametrizada por p es creciente si T _p ( x , y ) ≤ T _q ( x , y ) para todo x , y en [0, 1] siempre que p ≤ q (de manera similar para decrecientes y estrictamente creciente o decreciente).
• Una familia de t-normas T _p es continua con respecto al parámetro p si

${\displaystyle \lim _{p\to p_{0}}T_{p}=T_{p_{0}}}$

para todos los valores p ₀ del parámetro.

Normas t Schweizer-Sklar

Gráfica (3D y contornos) de la norma t de Schweizer-Sklar con p = 2

La familia de normas t de Schweizer-Sklar , introducida por Berthold Schweizer y Abe Sklar a principios de la década de 1960, viene dada por la definición paramétrica

${\displaystyle T_{p}^{\mathrm {SS} }(x,y)={\begin{cases}T_{\min }(x,y)&{\text{if }}p=-\infty \\(x^{p}+y^{p}-1)^{1/p}&{\text{if }}-\infty <p<0\\T_{\mathrm {prod} }(x,y)&{\text{if }}p=0\\(\max(0,x^{p}+y^{p}-1))^{1/p}&{\text{if }}0<p<+\infty \\T_{\mathrm {D} }(x,y)&{\text{if }}p=+\infty .\end{cases}}}$

Una norma t de Schweizer-Sklar es ${\displaystyle T_{p}^{\mathrm {SS} }}$

• Arquímedes si y sólo si p > −∞
• Continuo si y sólo si p < +∞
• Estricto si y sólo si −∞ < p ≤ 0 (para p = −1 es el producto de Hamacher)
• Nilpotente si y sólo si 0 < p < +∞ (para p = 1 es la norma t de Łukasiewicz).

La familia es estrictamente decreciente para p ≥ 0 y continua con respecto a p en [−∞, +∞]. Un generador aditivo para for −∞ < p < +∞ es ${\displaystyle T_{p}^{\mathrm {SS} }}$

${\displaystyle f_{p}^{\mathrm {SS} }(x)={\begin{cases}-\log x&{\text{if }}p=0\\{\frac {1-x^{p}}{p}}&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

Normas t de Hamacher

La familia de normas t de Hamacher , introducida por Horst Hamacher a finales de la década de 1970, viene dada por la siguiente definición paramétrica para 0 ≤ p ≤ +∞:

${\displaystyle T_{p}^{\mathrm {H} }(x,y)={\begin{cases}T_{\mathrm {D} }(x,y)&{\text{if }}p=+\infty \\0&{\text{if }}p=x=y=0\\{\frac {xy}{p+(1-p)(x+y-xy)}}&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

La norma t se llama producto de Hamacher. ${\displaystyle T_{0}^{\mathrm {H} }}$

Las normas t de Hamacher son las únicas normas t que son funciones racionales. La norma t de Hamacher es estricta si y sólo si p < +∞ (para p = 1 es el producto de la norma t). La familia es estrictamente decreciente y continua con respecto a p . Un generador aditivo de para p < +∞ es ${\displaystyle T_{p}^{\mathrm {H} }}$ ${\displaystyle T_{p}^{\mathrm {H} }}$

${\displaystyle f_{p}^{\mathrm {H} }(x)={\begin{cases}{\frac {1-x}{x}}&{\text{if }}p=0\\\log {\frac {p+(1-p)x}{x}}&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

Frank t-normas

La familia de normas t de Frank , introducida por MJ Frank a finales de los años 1970, viene dada por la definición paramétrica para 0 ≤ p ≤ +∞ de la siguiente manera:

${\displaystyle T_{p}^{\mathrm {F} }(x,y)={\begin{cases}T_{\mathrm {min} }(x,y)&{\text{if }}p=0\\T_{\mathrm {prod} }(x,y)&{\text{if }}p=1\\T_{\mathrm {Luk} }(x,y)&{\text{if }}p=+\infty \\\log _{p}\left(1+{\frac {(p^{x}-1)(p^{y}-1)}{p-1}}\right)&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

La norma t de Frank es estricta si p < +∞. La familia es estrictamente decreciente y continua con respecto a p . Un generador de aditivos para es ${\displaystyle T_{p}^{\mathrm {F} }}$ ${\displaystyle T_{p}^{\mathrm {F} }}$

${\displaystyle f_{p}^{\mathrm {F} }(x)={\begin{cases}-\log x&{\text{if }}p=1\\1-x&{\text{if }}p=+\infty \\\log {\frac {p-1}{p^{x}-1}}&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

Normas t de Yager

Gráfica de la norma t de Yager con p = 2

La familia de normas t de Yager , introducida a principios de la década de 1980 por Ronald R. Yager , viene dada para 0 ≤ p ≤ +∞ por

${\displaystyle T_{p}^{\mathrm {Y} }(x,y)={\begin{cases}T_{\mathrm {D} }(x,y)&{\text{if }}p=0\\\max \left(0,1-((1-x)^{p}+(1-y)^{p})^{1/p}\right)&{\text{if }}0<p<+\infty \\T_{\mathrm {min} }(x,y)&{\text{if }}p=+\infty \end{cases}}}$

La norma t de Yager es nilpotente si y sólo si 0 < p < +∞ (para p = 1 es la norma t de Łukasiewicz). La familia es estrictamente creciente y continua con respecto a p . La norma t de Yager para 0 < p < +∞ surge de la norma t de Łukasiewicz elevando su generador aditivo a la potencia de p . Un generador aditivo de para 0 < p < +∞ es ${\displaystyle T_{p}^{\mathrm {Y} }}$ ${\displaystyle T_{p}^{\mathrm {Y} }}$ ${\displaystyle T_{p}^{\mathrm {Y} }}$

${\displaystyle f_{p}^{\mathrm {Y} }(x)=(1-x)^{p}.}$

Normas t de Aczél-Alsina

La familia de normas t de Aczél-Alsina , introducida a principios de la década de 1980 por János Aczél y Claudi Alsina, está dada para 0 ≤ p ≤ +∞ por

${\displaystyle T_{p}^{\mathrm {AA} }(x,y)={\begin{cases}T_{\mathrm {D} }(x,y)&{\text{if }}p=0\\e^{-\left(|-\log x|^{p}+|-\log y|^{p}\right)^{1/p}}&{\text{if }}0<p<+\infty \\T_{\mathrm {min} }(x,y)&{\text{if }}p=+\infty \end{cases}}}$

La norma t de Aczél-Alsina es estricta si y solo si 0 < p < +∞ (para p = 1 es el producto de la norma t). La familia es estrictamente creciente y continua con respecto a p . La norma t de Aczél-Alsina para 0 < p < +∞ surge del producto norma t elevando su generador aditivo a la potencia de p . Un generador aditivo de para 0 < p < +∞ es ${\displaystyle T_{p}^{\mathrm {AA} }}$ ${\displaystyle T_{p}^{\mathrm {AA} }}$ ${\displaystyle T_{p}^{\mathrm {AA} }}$

${\displaystyle f_{p}^{\mathrm {AA} }(x)=(-\log x)^{p}.}$

Normas t Dombi

La familia de normas t de Dombi , introducida por József Dombi (1982), viene dada para 0 ≤ p ≤ +∞ por

${\displaystyle T_{p}^{\mathrm {D} }(x,y)={\begin{cases}0&{\text{if }}x=0{\text{ or }}y=0\\T_{\mathrm {D} }(x,y)&{\text{if }}p=0\\T_{\mathrm {min} }(x,y)&{\text{if }}p=+\infty \\{\frac {1}{1+\left(\left({\frac {1-x}{x}}\right)^{p}+\left({\frac {1-y}{y}}\right)^{p}\right)^{1/p}}}&{\text{otherwise.}}\\\end{cases}}}$

La norma t de Dombi es estricta si y sólo si 0 < p < +∞ (para p = 1 es el producto de Hamacher). La familia es estrictamente creciente y continua con respecto a p . La norma t de Dombi para 0 < p < +∞ surge de la norma t del producto de Hamacher al elevar su generador aditivo a la potencia de p . Un generador aditivo de para 0 < p < +∞ es ${\displaystyle T_{p}^{\mathrm {D} }}$ ${\displaystyle T_{p}^{\mathrm {D} }}$ ${\displaystyle T_{p}^{\mathrm {D} }}$

${\displaystyle f_{p}^{\mathrm {D} }(x)=\left({\frac {1-x}{x}}\right)^{p}.}$

Normas t de Sugeno-Weber

La familia de normas t de Sugeno-Weber fue introducida a principios de la década de 1980 por Siegfried Weber; Las normas t duales ya fueron definidas a principios de la década de 1970 por Michio Sugeno. Está dado para −1 ≤ p ≤ +∞ por

${\displaystyle T_{p}^{\mathrm {SW} }(x,y)={\begin{cases}T_{\mathrm {D} }(x,y)&{\text{if }}p=-1\\\max \left(0,{\frac {x+y-1+pxy}{1+p}}\right)&{\text{if }}-1<p<+\infty \\T_{\mathrm {prod} }(x,y)&{\text{if }}p=+\infty \end{cases}}}$

La norma t de Sugeno-Weber es nilpotente si y sólo si −1 < p < +∞ (para p = 0 es la norma t de Łukasiewicz). La familia es estrictamente creciente y continua con respecto a p . Un generador aditivo de for 0 < p < +∞ [sic] es ${\displaystyle T_{p}^{\mathrm {SW} }}$ ${\displaystyle T_{p}^{\mathrm {SW} }}$

${\displaystyle f_{p}^{\mathrm {SW} }(x)={\begin{cases}1-x&{\text{if }}p=0\\1-\log _{1+p}(1+px)&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

Sumas ordinales

La suma ordinal construye una norma t a partir de una familia de normas t, reduciéndolas a subintervalos disjuntos del intervalo [0, 1] y completando la norma t utilizando el mínimo en el resto del cuadrado unitario. Se basa en el siguiente teorema:

Sea Ti para _i en un conjunto de índices I una familia de t-normas y ( a _i ,  b _i ) una familia de subintervalos abiertos disjuntos (no vacíos) por pares de [0, 1] . Entonces la función T : [0, 1] ² → [0, 1] definida como

${\displaystyle T(x,y)={\begin{cases}a_{i}+(b_{i}-a_{i})\cdot T_{i}\left({\frac {x-a_{i}}{b_{i}-a_{i}}},{\frac {y-a_{i}}{b_{i}-a_{i}}}\right)&{\text{if }}x,y\in [a_{i},b_{i}]^{2}\\\min(x,y)&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

es una norma t.

Suma ordinal de la norma t de Łukasiewicz en el intervalo [0,05, 0,45] y el producto de la norma t en el intervalo [0,55, 0,95]

_{La norma t} resultante se llama suma ordinal de los sumandos ( T _i , ai _, bi ) para i en I , denotada por

${\displaystyle T=\bigoplus \nolimits _{i\in I}(T_{i},a_{i},b_{i}),}$

o si soy finito. ${\displaystyle (T_{1},a_{1},b_{1})\oplus \dots \oplus (T_{n},a_{n},b_{n})}$

Las sumas ordinales de t-normas disfrutan de las siguientes propiedades:

• Cada norma t es una suma ordinal trivial de sí misma en todo el intervalo [0, 1].
• La suma ordinal vacía (para el conjunto de índices vacío) produce la norma t mínima T _min . Los sumandos con la norma t mínima se pueden agregar u omitir arbitrariamente sin cambiar la norma t resultante.
• Se puede suponer sin pérdida de generalidad que el conjunto de índices es contable , ya que la línea real solo puede contener como máximo muchos subintervalos disjuntos de manera contable.
• Una suma ordinal de t-norma es continua si y sólo si cada sumando es una t-norma continua. (De manera análoga a la continuidad por la izquierda).
• Una suma ordinal es de Arquímedes si y sólo si es una suma trivial de una norma t de Arquímedes en todo el intervalo unitario.
• Una suma ordinal tiene cero divisores si y sólo si para algún índice i , a _i = 0 y Ti tiene _cero divisores. (De manera análoga a los elementos nilpotentes).

Si es una norma t continua por la izquierda, entonces su residuo R viene dado de la siguiente manera: ${\displaystyle T=\bigoplus \nolimits _{i\in I}(T_{i},a_{i},b_{i})}$

${\displaystyle R(x,y)={\begin{cases}1&{\text{if }}x\leq y\\a_{i}+(b_{i}-a_{i})\cdot R_{i}\left({\frac {x-a_{i}}{b_{i}-a_{i}}},{\frac {y-a_{i}}{b_{i}-a_{i}}}\right)&{\text{if }}a_{i}<y<x\leq b_{i}\\y&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

donde Ri _es el residuo de Ti , _para cada i en I.

Sumas ordinales de normas t continuas

La suma ordinal de una familia de normas t continuas es una norma t continua. Según el teorema de Mostert-Shields, cada norma t continua se puede expresar como la suma ordinal de las normas t continuas de Arquímedes. Dado que estos últimos son nilpotentes (y luego isomorfos a la norma t de Łukasiewicz) o estrictos (luego isomorfos a la norma t del producto), cada norma t continua es isomorfa a la suma ordinal de Łukasiewicz y las normas t del producto.

Ejemplos importantes de sumas ordinales de normas t continuas son los siguientes:

• Las normas t de Dubois-Prade , introducidas por Didier Dubois y Henri Prade a principios de la década de 1980, son las sumas ordinales del producto norma t en [0,  p ] para un parámetro p en [0, 1] y el (predeterminado) norma t mínima en el resto del intervalo unitario. La familia de normas t de Dubois-Prade es decreciente y continua con respecto a p ..
• Las normas t de Mayor-Torrens , introducidas por Gaspar Mayor y Joan Torrens a principios de la década de 1990, son las sumas ordinales de la norma t de Łukasiewicz en [0,  p ] para un parámetro p en [0, 1] y el (predeterminado) norma t mínima en el resto del intervalo unitario. La familia de normas t de Mayor-Torrens es decreciente y continua con respecto a p ..

Rotaciones

La construcción de normas t por rotación fue introducida por Sándor Jenei (2000). Se basa en el siguiente teorema:

Sea T una norma t continua por la izquierda sin divisores de cero , N : [0, 1] → [0, 1] la función que asigna 1 − x a x y t = 0,5. Sea T ₁ la transformación lineal de T en [ t , 1] y luego la función ${\displaystyle R_{T_{1}}(x,y)=\sup\{z\mid T_{1}(z,x)\leq y\}.}$

${\displaystyle T_{\mathrm {rot} }={\begin{cases}T_{1}(x,y)&{\text{if }}x,y\in (t,1]\\N(R_{T_{1}}(x,N(y)))&{\text{if }}x\in (t,1]{\text{ and }}y\in [0,t]\\N(R_{T_{1}}(y,N(x)))&{\text{if }}x\in [0,t]{\text{ and }}y\in (t,1]\\0&{\text{if }}x,y\in [0,t]\end{cases}}}$

es una norma t continua a la izquierda, llamada rotación de la norma t T .

El mínimo nilpotente como rotación de la norma t mínima

Geométricamente, la construcción se puede describir como primero reduciendo la norma t T al intervalo [0.5, 1] ​​y luego girándola en el ángulo 2π/3 en ambas direcciones alrededor de la línea que conecta los puntos (0, 0, 1) y (1, 1, 0).

Rotaciones de Łukasiewicz , producto , mínimo nilpotente y norma t drástica

El teorema se puede generalizar tomando para N cualquier negación fuerte , es decir, una función continua involutiva estrictamente decreciente en [0, 1], y para t tomando el único punto fijo de  N.

La norma t resultante disfruta de la siguiente propiedad de invariancia de rotación con respecto a  N :

T ( x , y ) ≤ z si y solo si T ( y , N ( z )) ≤ N ( x ) para todo x , y , z en [0, 1].

La negación inducida por T _rot es la función N , es decir, N ( x ) = R _rot ( x , 0) para todo x , donde R _rot es el residuo de  T _rot .

Ver también

• norma T
• Lógicas difusas de norma T

Referencias

• Klement, Erich Peter; Mesiar, Radko; y Pap, Endre (2000), Normas triangulares . Dordrecht: Kluwer. ISBN  0-7923-6416-3 .
• Fodor, János (2004), "Normas t continuas de izquierda en lógica difusa: una descripción general". Acta Polytechnica Hungarica 1 (2), ISSN 1785-8860 [1]
• Dombi, József (1982), "Una clase general de operadores difusos, la clase DeMorgan de operadores difusos y medidas de borrosidad inducidas por operadores difusos". Conjuntos y sistemas difusos 8 , 149–163.
• Jenei, Sándor (2000), "Estructura de normas t continuas de izquierda con fuertes negaciones inducidas. (I) Construcción de rotación". Revista de lógica no clásica aplicada 10 , 83–92.
• Navara, Mirko (2007), "Normas y conormas triangulares", Scholarpedia [2].