Lógicas difusas de norma T

Las lógicas difusas de norma T son una familia de lógicas no clásicas , informalmente delimitadas por tener una semántica que toma el intervalo unitario real [0, 1] para el sistema de valores de verdad y funciones llamadas normas t para interpretaciones permisibles de conjunción . Se utilizan principalmente en lógica difusa aplicada y teoría de conjuntos difusos como base teórica para el razonamiento aproximado.

Las lógicas difusas de norma T pertenecen a clases más amplias de lógicas difusas y lógicas de muchos valores . Para generar una implicación de buen comportamiento , generalmente se requiere que las normas t sean continuas por la izquierda ; Las lógicas de normas t continuas por la izquierda pertenecen además a la clase de lógicas subestructurales , entre las cuales están marcadas con la validez de la ley de prelinealidad , ( A  →  B ) ∨ ( B  →  A ). Se estudian tanto la lógica difusa de norma t proposicional como la de primer orden (o de orden superior ), así como sus expansiones mediante operadores modales y de otro tipo. Las lógicas que restringen la semántica de la norma t a un subconjunto del intervalo unitario real (por ejemplo, las lógicas de Łukasiewicz con valores finitos ) generalmente también se incluyen en la clase.

Ejemplos importantes de lógica difusa de norma t son la lógica de norma t monoidal (MTL) de todas las normas t continuas a la izquierda, la lógica básica (BL) de todas las normas t continuas, la lógica difusa del producto de la norma t del producto o la Lógica mínima nilpotente de la norma t mínima nilpotente. Algunas lógicas motivadas independientemente también pertenecen a las lógicas difusas de la norma t, por ejemplo, la lógica de Łukasiewicz (que es la lógica de la norma t de Łukasiewicz) o la lógica de Gödel-Dummett (que es la lógica de la norma t mínima).

Motivación

Como miembros de la familia de lógicas difusas , las lógicas difusas de norma t apuntan principalmente a generalizar la lógica clásica de dos valores admitiendo valores de verdad intermedios entre 1 (verdad) y 0 (falsedad) que representan grados de verdad de las proposiciones. Se supone que los grados son números reales del intervalo unitario [0, 1]. En la lógica difusa proposicional de norma t, se estipula que los conectivos proposicionales son verdaderamente funcionales , es decir, el valor de verdad de una proposición compleja formada por un conectivo proposicional a partir de algunas proposiciones constituyentes es una función (llamada función de verdad del conectivo) de los valores de verdad de las proposiciones constituyentes. Las funciones de verdad operan sobre el conjunto de grados de verdad (en la semántica estándar, sobre el intervalo [0, 1]); por tanto, la función de verdad de un conectivo proposicional n -ario c es una función F _c : [0, 1] ⁿ → [0, 1]. Las funciones de verdad generalizan tablas de verdad de conectivos proposicionales que, según la lógica clásica, operan en el sistema más amplio de valores de verdad.

Las lógicas difusas de norma T imponen ciertas restricciones naturales a la función de verdad de la conjunción . Se supone que la función de verdad de la conjunción satisface las siguientes condiciones: ${\displaystyle *\colon [0,1]^{2}\to [0,1]}$

• Conmutatividad , es decir, para todo x e y en [0, 1]. Esto expresa el supuesto de que el orden de las proposiciones difusas es irrelevante en conjunción, incluso si se admiten grados de verdad intermedios. ${\displaystyle x*y=y*x}$
• Asociatividad , es decir, para todo x , y y z en [0, 1]. Esto expresa la suposición de que el orden en que se realiza la conjunción es irrelevante, incluso si se admiten grados de verdad intermedios. ${\displaystyle (x*y)*z=x*(y*z)}$
• Monotonía , es decir, si entonces para todo x , y y z en [0, 1]. Esto expresa la suposición de que aumentar el grado de verdad de una conjunción no debería disminuir el grado de verdad de la conjunción. ${\displaystyle x\leq y}$ ${\displaystyle x*z\leq y*z}$
• Neutralidad de 1 , es decir, para todo x en [0, 1]. Este supuesto corresponde a considerar el grado de verdad 1 como verdad plena, cuya conjunción no disminuye el valor de verdad de la otra conjunción. Junto con las condiciones anteriores, esta condición asegura que también para todo x en [0, 1], lo que corresponde a considerar el grado de verdad 0 como falsedad total, cuya conjunción es siempre completamente falsa. ${\displaystyle 1*x=x}$ ${\displaystyle 0*x=0}$
• Continuidad de la función (las condiciones anteriores reducen este requisito a la continuidad en cualquiera de los argumentos). Informalmente, esto expresa la suposición de que los cambios microscópicos de los grados de verdad de las conjunciones no deberían resultar en un cambio macroscópico del grado de verdad de su conjunción. Esta condición, entre otras cosas, asegura un buen comportamiento de la implicación (residual) derivada de la conjunción; Sin embargo, para garantizar el buen comportamiento, la continuidad izquierda (en cualquier argumento) de la función es suficiente. ^[1] En general, en lógicas difusas de norma t, solo se requiere continuidad izquierda de , lo que expresa la suposición de que una disminución microscópica del grado de verdad de una conjunción no debería disminuir macroscópicamente el grado de verdad de la conjunción. ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle *}$

Estos supuestos hacen que la función de verdad de la conjunción sea una norma t continua por la izquierda , lo que explica el nombre de la familia de lógicas difusas ( basada en norma t ). Las lógicas particulares de la familia pueden hacer más suposiciones sobre el comportamiento de la conjunción (por ejemplo, la lógica de Gödel-Dummett requiere su idempotencia ) u otros conectivos (por ejemplo, la lógica IMTL (lógica involutiva de norma t monoidal) requiere la involutividad de la negación) .

Todas las normas t continuas por la izquierda tienen un residuo único , es decir, una función binaria tal que para todos x , y y z en [0, 1], ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle \Rightarrow }$

${\displaystyle x*y\leq z}$si y solo si ${\displaystyle x\leq y\Rightarrow z.}$

El residuo de una norma t continua a la izquierda se puede definir explícitamente como

${\displaystyle (x\Rightarrow y)=\sup\{z\mid z*x\leq y\}.}$

Esto asegura que el residuo sea la función puntual más grande tal que para todos x e y ,

${\displaystyle x*(x\Rightarrow y)\leq y.}$

Esto último puede interpretarse como una versión difusa de la regla de inferencia modus ponens . Por tanto, el residuo de una norma t continua por la izquierda puede caracterizarse como la función más débil que hace válido el modus ponens difuso, lo que la convierte en una función de verdad adecuada para su implicación en lógica difusa. La continuidad izquierda de la norma t es la condición necesaria y suficiente para que se mantenga esta relación entre una conjunción de norma t y su implicación residual.

Las funciones de verdad de otros conectivos proposicionales se pueden definir mediante la norma t y su residuo, por ejemplo la negación residual o la equivalencia bi-residual. Las funciones de verdad de los conectivos proposicionales también se pueden introducir mediante definiciones adicionales: las más habituales son las mínimas (que desempeña el papel de otro conectivo conjuntivo), el máximo (que desempeña el papel de conectivo disyuntivo), o el operador Baaz Delta, definido en [0, 1] como si y de otra manera. De esta manera, una norma t continua por la izquierda, su residuo y las funciones de verdad de conectivos proposicionales adicionales determinan los valores de verdad de fórmulas proposicionales complejas en [0, 1]. ${\displaystyle \neg x=(x\Rightarrow 0)}$ ${\displaystyle x\Leftrightarrow y=(x\Rightarrow y)*(y\Rightarrow x).}$ ${\displaystyle \Delta x=1}$ ${\displaystyle x=1}$ ${\displaystyle \Delta x=0}$

Las fórmulas que siempre se evalúan como 1 se denominan tautologías con respecto a la norma t continua a la izquierda dada o tautologías. El conjunto de todas las tautologías se denomina lógica de la norma t, ya que estas fórmulas representan las leyes de la lógica difusa (determinada por la norma t) que se cumplen (hasta el grado 1) independientemente de los grados de verdad de las fórmulas atómicas . Algunas fórmulas son tautologías con respecto a una clase más amplia de normas t continuas de izquierda; el conjunto de tales fórmulas se llama lógica de la clase. Las lógicas de normas t importantes son las lógicas de normas t particulares o clases de normas t, por ejemplo: ${\displaystyle *,}$ ${\displaystyle *{\mbox{-}}}$ ${\displaystyle *{\mbox{-}}}$ ${\displaystyle *,}$

• La lógica de Łukasiewicz es la lógica de la norma t de Łukasiewicz ${\displaystyle x*y=\max(x+y-1,0)}$
• La lógica de Gödel-Dummett es la lógica de la norma t mínima ${\displaystyle x*y=\min(x,y)}$
• La lógica difusa del producto es la lógica de la norma t del producto. ${\displaystyle x*y=x\cdot y}$
• Lógica de norma t monoidal MTL es la lógica de (la clase de) todas las normas t continuas a la izquierda
• La lógica difusa básica BL es la lógica de (la clase de) todas las normas t continuas

Resulta que muchas lógicas de normas t particulares y clases de normas t son axiomatizables. El teorema de completitud del sistema axiomático con respecto a la semántica de la norma t correspondiente en [0, 1] se denomina entonces completitud estándar de la lógica. Además de la semántica estándar de valores reales en [0, 1], la lógica es sólida y completa con respecto a la semántica algebraica general, formada por clases adecuadas de redes residuales integrales acotadas conmutativas prelineales .

Historia

Algunas lógicas difusas de norma t particulares se han introducido e investigado mucho antes de que se reconociera la familia (incluso antes de que surgieran las nociones de lógica difusa o norma t ):

• La lógica de Łukasiewicz (la lógica de la norma t de Łukasiewicz) fue definida originalmente por Jan Łukasiewicz (1920) como una lógica de tres valores ; ^[2] Posteriormente se generalizó a variantes con valores n (para todos los n finitos ), así como a variantes con valores infinitos, tanto proposicionales como de primer orden. ^[3]
• La lógica de Gödel-Dummett (la lógica de la norma t mínima) estaba implícita en la prueba de Gödel de 1932 del valor infinito de la lógica intuicionista . ^[4] Más tarde (1959) fue estudiado explícitamente por Dummett, quien demostró un teorema de completitud para la lógica. ^[5]

Un estudio sistemático de lógicas difusas de normas t particulares y sus clases comenzó con la monografía Metamathematics of Fuzzy Logic de Hájek (1998) , que presentó la noción de la lógica de una norma t continua, la lógica de las tres normas t continuas básicas. normas (Łukasiewicz, Gödel y producto), y la lógica difusa 'básica' BL de todas las t-normas continuas (todas ellas proposicionales y de primer orden). El libro también inició la investigación de la lógica difusa como lógica no clásica con cálculos de estilo Hilbert, semántica algebraica y propiedades metamatemáticas conocidas de otras lógicas (teoremas de completitud, teoremas de deducción , complejidad , etc.).

Desde entonces, se han introducido una gran cantidad de lógicas difusas de norma t y se han investigado sus propiedades metamatemáticas. Algunas de las lógicas difusas de norma t más importantes fueron introducidas en 2001 por Esteva y Godo ( MTL , IMTL, SMTL, NM, WNM), ^[1] Esteva, Godo y Montagna (proposicional ŁΠ), ^[6] y Cintula. (ŁΠ de primer orden). ^[7]

lenguaje lógico

El vocabulario lógico de las lógicas difusas proposicionales de norma t comprende de forma estándar los siguientes conectivos:

• Implicación ( binaria ). En el contexto de lógicas difusas distintas a las basadas en normas t, la implicación basada en normas t a veces se denomina implicación residual o implicación R , ya que su semántica estándar es el residuo de la norma t que realiza una conjunción fuerte. ${\displaystyle \rightarrow }$
• Conjunción fuerte (binaria). En el contexto de la lógica subestructural, el signo y los nombres de conjunción grupal , intensional , multiplicativa o paralela se utilizan a menudo para conjunción fuerte. ${\displaystyle \And }$ ${\displaystyle \otimes }$
• Conjunción débil (binaria), también llamada conjunción reticular (como siempre se realiza mediante la operación reticular de meet en semántica algebraica). En el contexto de la lógica subestructural, los nombres de conjunción aditiva , extensional o comparativa se utilizan a veces para la conjunción reticular. En la lógica BL y sus extensiones (aunque no en las lógicas de norma t en general), la conjunción débil se puede definir en términos de implicación y conjunción fuerte, por La presencia de dos conectivos de conjunción es una característica común de las lógicas subestructurales libres de contracción . ${\displaystyle \wedge }$ $${\displaystyle A\wedge B\equiv A{\mathbin {\And }}(A\rightarrow B).}$$
• Abajo ( nular ); o son signos alternativos comunes y cero un nombre alternativo común para la constante proposicional (ya que las constantes inferior y cero de las lógicas subestructurales coinciden en las lógicas difusas de norma t). La proposición representa la falsedad o absurdum y corresponde al valor de verdad clásico falso . ${\displaystyle \bot }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle {\overline {0}}}$ ${\displaystyle \bot }$
• Negación ( unaria ), a veces llamada negación residual si se consideran otras conectivas de negación, tal como se define a partir de la implicación residual por la reductio ad absurdum: ${\displaystyle \neg }$ $${\displaystyle \neg A\equiv A\rightarrow \bot }$$
• Equivalencia (binaria), definida como En la lógica t-norma, la definición es equivalente a ${\displaystyle \leftrightarrow }$ $${\displaystyle A\leftrightarrow B\equiv (A\rightarrow B)\wedge (B\rightarrow A)}$$ ${\displaystyle (A\rightarrow B){\mathbin {\And }}(B\rightarrow A).}$
• Disyunción (débil) (binaria), también llamada disyunción reticular (como siempre se realiza mediante la operación reticular de unión en semántica algebraica). En la lógica de la norma t se puede definir en términos de otros conectivos como ${\displaystyle \vee }$ $${\displaystyle A\vee B\equiv ((A\rightarrow B)\rightarrow B)\wedge ((B\rightarrow A)\rightarrow A)}$$
• Top (nular), también llamado uno y denotado por o (ya que las constantes top y cero de las lógicas subestructurales coinciden en las lógicas difusas de norma t). La proposición corresponde al valor de verdad clásico verdadero y en la lógica de la norma t puede definirse como ${\displaystyle \top }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\overline {1}}}$ ${\displaystyle \top }$ $${\displaystyle \top \equiv \bot \rightarrow \bot .}$$

Algunas lógicas proposicionales de normas t añaden más conectivos proposicionales al lenguaje anterior, con mayor frecuencia los siguientes:

• El conectivo Delta es un conectivo unario que afirma la verdad clásica de una proposición, ya que las fórmulas de la forma se comportan como en la lógica clásica. También llamado Delta de Baaz , ya que Matthias Baaz lo utilizó por primera vez para la lógica de Gödel-Dummett . ^[8] La expansión de una lógica de norma t por el conectivo Delta generalmente se denota por ${\displaystyle \triangle }$ ${\displaystyle \triangle A}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L_{\triangle }.}$
• Las constantes de verdad son conectivos nulos que representan valores de verdad particulares entre 0 y 1 en la semántica estándar de valores reales. Para el número real , la constante de verdad correspondiente generalmente se denota por. En la mayoría de los casos, se suman las constantes de verdad de todos los números racionales. Se supone que el sistema de todas las constantes de verdad en el lenguaje satisface los axiomas contables : ^[9] etc. para todos los conectivos proposicionales y todas las constantes de verdad definibles en el lenguaje. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle {\overline {r}}.}$ $${\displaystyle {\overline {r{\mathbin {\And }}s}}\leftrightarrow ({\overline {r}}{\mathbin {\And }}{\overline {s}}),}$$ $${\displaystyle {\overline {r\rightarrow s}}\leftrightarrow ({\overline {r}}{\mathbin {\rightarrow }}{\overline {s}}),}$$
• La negación involutiva (unaria) se puede agregar como una negación adicional a las lógicas t-norma cuya negación residual no es en sí misma involutiva , es decir, si no obedece la ley de la doble negación . Una lógica de norma t expandida con negación involutiva generalmente se denota y se llama con involución . ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle \neg \neg A\leftrightarrow A}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L_{\sim }}$ ${\displaystyle L}$
• Fuerte disyunción (binaria). En el contexto de la lógica subestructural también se le llama disyunción grupal , intensional , multiplicativa o paralela . Aunque es estándar en lógicas subestructurales libres de contracciones, en lógicas difusas de norma t generalmente se usa solo en presencia de negación involutiva, lo que lo hace definible (y por lo tanto axiomatizable) por la ley de Morgan de conjunción fuerte: ${\displaystyle \oplus }$ $${\displaystyle A\oplus B\equiv \mathrm {\sim } (\mathrm {\sim } A{\mathbin {\And }}\mathrm {\sim } B).}$$
• "Conjunciones adicionales de norma t e implicaciones residuales" . Algunas lógicas de normas t expresivamente fuertes, por ejemplo la lógica ŁΠ, tienen más de una conjunción fuerte o implicación residual en su lenguaje. En la semántica estándar de valores reales, todas esas conjunciones fuertes se realizan mediante diferentes normas t y las implicaciones residuales mediante sus residuos.

Las fórmulas bien formadas de lógicas proposicionales de normas t se definen a partir de variables proposicionales (generalmente muchas contables ) mediante los conectivos lógicos anteriores, como es habitual en la lógica proposicional . Para guardar paréntesis, es común utilizar el siguiente orden de precedencia:

• Conectivos unarios (se unen más estrechamente)
• Conectivos binarios distintos de implicación y equivalencia
• Implicación y equivalencia (se unen de manera más flexible)

Las variantes de primer orden de la lógica t-norma emplean el lenguaje lógico habitual de la lógica de primer orden con los conectivos proposicionales anteriores y los siguientes cuantificadores :

• Cuantificador general ${\displaystyle \forall }$
• Cuantificador existencial ${\displaystyle \exists }$

La variante de primer orden de una lógica proposicional de norma t generalmente se denota por ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L\forall .}$

Semántica

La semántica algebraica se utiliza predominantemente para lógicas difusas proposicionales de norma t, con tres clases principales de álgebras con respecto a las cuales una lógica difusa de norma t es completa : ${\displaystyle L}$

• Semántica general , formada por todas las álgebras , es decir, todas las álgebras para las que la lógica es sólida . ${\displaystyle L}$
• Semántica lineal , formada por todas las álgebras lineales , es decir, todas las álgebras cuyo orden reticular es lineal . ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$
• Semántica estándar , formada por todas las -álgebras estándar , es decir, todas las -álgebras cuya reducción reticular es el intervalo unitario real [0, 1] con el orden habitual. En las álgebras estándar , la interpretación de la conjunción fuerte es una norma t continua por la izquierda y la interpretación de la mayoría de los conectivos proposicionales está determinada por la norma t (de ahí los nombres lógica basada en normas t y álgebras de normas t , que también se utiliza para -álgebras en la red [0, 1]). Sin embargo, en lógicas de normas t con conectivos adicionales, la interpretación del valor real de los conectivos adicionales puede estar restringida por condiciones adicionales para que el álgebra de normas t se llame estándar: por ejemplo, en álgebras estándar de la lógica con involución, Se requiere que la interpretación de la negación involutiva adicional sea la involución estándar en lugar de otras involuciones que también pueden interpretarse sobre t- álgebras normales . ^[10] En general, por lo tanto, la definición de álgebras de normas t estándar debe darse explícitamente para lógicas de normas t con conectivos adicionales. ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L_{\sim }}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle f_{\sim }(x)=1-x,}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle L_{\sim }}$

Bibliografía

• Esteva F. y Godo L., 2001, "Lógica basada en normas t monoidales: hacia una lógica de normas t continuas a la izquierda". Conjuntos y sistemas difusos 124 : 271–288.
• Flaminio T. y Marchioni E., 2006, Lógicas basadas en normas T con una negación involutiva independiente. Conjuntos y sistemas difusos 157 : 3125–3144.
• Gottwald S. & Hájek P., 2005, Lógica difusa matemática basada en normas triangulares. En EP Klement & R. Mesiar (eds.), Aspectos lógicos, algebraicos, analíticos y probabilísticos de las normas triangulares , págs. Elsevier, Ámsterdam 2005.
• Hájek P., 1998, Metamatemáticas de la lógica difusa . Dordrecht: Kluwer. ISBN  0-7923-5238-6 .

Referencias

1. Esteva y Godó (2001)
2. Łukasiewicz J., 1920, O logice trojwartosciowej (polaco, sobre la lógica de tres valores). Ruch filozoficzny 5 :170–171.
3. Hay, LS, 1963, Axiomatización del cálculo de predicados de valores infinitos. Revista de lógica simbólica 28 : 77–86.
4. Gödel K., 1932, Zum intuitionistischen Aussagenkalkül, Anzeiger Akademie der Wissenschaften Wien 69 : 65–66.
5. Dummett M., 1959, Cálculo proposicional con matriz numerable, Journal of Symbolic Logic 27 : 97–106
6. Esteva F., Godo L. y Montagna F., 2001, Las lógicas ŁΠ y ŁΠ½: dos sistemas difusos completos que unen a Łukasiewicz y la lógica de productos, Archive for Mathematical Logic 40 : 39–67.
7. Cintula P., 2001, La lógica proposicional y de predicados ŁΠ y ŁΠ½, Fuzzy Sets and Systems 124 : 289–302.
8. Baaz M., 1996, Lógica de Gödel de valores infinitos con proyecciones 0-1 y relativizaciones. En P. Hájek (ed.), Gödel'96: Fundamentos lógicos de las matemáticas, la informática y la física , Springer, Lecture Notes in Logic 6 : 23–33
9. Hajek (1998)
10. Flaminio y Marchioni (2006)