A menudo es útil describir el comportamiento de una función cuando el argumento o el valor de la función se vuelven "infinitamente grandes" en algún sentido. Por ejemplo, considere la función definida por
Al unir los elementos y a él se permite la formulación de un "límite en el infinito", con propiedades topológicas similares a las de
Para hacer las cosas completamente formales, la definición de secuencias de Cauchy permite definir como el conjunto de todas las secuencias de números racionales tales que cada está asociado con un correspondiente para el cual para todos. La definición de se puede construir de manera similar.
Medida e integración
En teoría de la medida , suele ser útil permitir conjuntos que tengan medidas infinitas e integrales cuyo valor pueda ser infinito.
Estas medidas surgen naturalmente del cálculo. Por ejemplo, al asignar una medida que concuerde con la duración habitual de los intervalos , esta medida debe ser mayor que cualquier número real finito. Además, al considerar integrales impropias , como
Surge el valor "infinito". Finalmente, a menudo es útil considerar el límite de una secuencia de funciones, como
En esta topología, un conjunto es una vecindad de si y sólo si contiene un conjunto para algún número real. La noción de vecindad de se puede definir de manera similar. Usando esta caracterización de vecindades reales extendidas, los límites que tienden a o y los límites "iguales" a y se reducen a la definición topológica general de límites, en lugar de tener una definición especial en el sistema de números reales.
Operaciones aritmeticas
Las operaciones aritméticas de se pueden extender parcialmente a lo siguiente: [2]
Cuando se trata de números reales extendidos positivos y negativos, la expresión generalmente se deja sin definir, porque, si bien es cierto que para cada secuencia real distinta de cero que converge a la secuencia recíproca eventualmente está contenida en cada vecindad de ella, no es cierto que la secuencia debe converger a cualquiera de los dos Dicho de otra manera, si una función continua alcanza un cero en un cierto valor entonces no tiene por qué ser el caso que tiende a cualquiera de los dos o en el límite como tiende a Este es el caso de los límites de la función identidad cuando tiende a y de (para esta última función, ni ni es un límite de incluso si solo se consideran valores positivos de).
Sin embargo, en contextos donde solo se consideran valores no negativos, a menudo es conveniente definir. Por ejemplo, cuando se trabaja con series de potencias , el radio de convergencia de una serie de potencias con coeficientes a menudo se define como el recíproco del límite supremo de la secuencia . Por lo tanto, si se permite tomar el valor , entonces se puede usar esta fórmula independientemente de si el límite supremo lo es o no.
Propiedades algebraicas
Con estas definiciones, ni siquiera es un semigrupo , y mucho menos un grupo , un anillo o un campo como en el caso de Sin embargo, tiene varias propiedades convenientes:
y son iguales o ambos indefinidos.
y son iguales o ambos indefinidos.
y son iguales o ambos indefinidos.
y son iguales o ambos indefinidos
y son iguales si ambos están definidos.
Si y si ambos y están definidos, entonces
Si y y si ambos y están definidos, entonces
En general, todas las leyes de la aritmética son válidas en —siempre que todas las expresiones que aparecen estén definidas.
Misceláneas
Se pueden ampliar continuamente varias funciones estableciendo límites. Por ejemplo, se pueden definir los puntos extremos de las siguientes funciones como:
También se pueden eliminar algunas singularidades . Por ejemplo, la función se puede extender continuamente a (según algunas definiciones de continuidad), estableciendo el valor en for y for y. Por otro lado, la función no se puede extender continuamente, porque la función se aproxima desde abajo , y como enfoques desde arriba, es decir, la función que no converge al mismo valor que su variable independiente se acerca al mismo elemento de dominio tanto desde el lado del valor positivo como del negativo.
Un sistema de líneas reales similar pero diferente, la línea real proyectivamente extendida , no distingue entre y (es decir, el infinito no tiene signo). [5] Como resultado, una función puede tener un límite en la recta real proyectivamente extendida, mientras que en el sistema de números reales extendido sólo el valor absoluto de la función tiene un límite, por ejemplo en el caso de la función en . en la línea real proyectivamente extendida, y corresponden solo a un límite de la derecha y uno de la izquierda, respectivamente, existiendo el límite completo solo cuando los dos son iguales. Por tanto, las funciones y no pueden hacerse continuas en la línea real proyectivamente extendida.
^ Algunos autores utilizan el sistema de números reales afinamente extendido y la recta numérica real afinamente extendida , aunque los números reales extendidos no forman una recta afín .
^ Leído como "infinito positivo" e "infinito negativo" respectivamente.
Referencias
^ Wilkins, David (2007). "Sección 6: El sistema de números reales ampliado" (PDF) . matemáticas.tcd.ie . Consultado el 3 de diciembre de 2019 .
^ abc Weisstein, Eric W. "Números reales afines extendidos". mathworld.wolfram.com . Consultado el 3 de diciembre de 2019 .
^ Oden, J. Tinsley; Demkowicz, Leszek (16 de enero de 2018). Análisis funcional aplicado (3 ed.). Chapman y Hall/CRC. pag. 74.ISBN9781498761147. Consultado el 8 de diciembre de 2019 .
^ "número real extendido en nLab". ncatlab.org . Consultado el 3 de diciembre de 2019 .
^ Weisstein, Eric W. "Números reales extendidos proyectivamente". mathworld.wolfram.com . Consultado el 3 de diciembre de 2019 .
Otras lecturas
Aliprantis, Charalambos D.; Burkinshaw, Owen (1998), Principios del análisis real (3ª ed.), San Diego, CA: Academic Press, Inc., p. 29, ISBN 0-12-050257-7, señor 1669668
David W. Cantrell. "Números reales afines extendidos". MundoMatemático .