En matemáticas , específicamente en geometría de incidencia y especialmente en geometría proyectiva , un cuadrilátero completo es un sistema de objetos geométricos que consiste en cuatro puntos cualesquiera en un plano , de los cuales ninguno de los tres está en una línea común , y de las seis líneas que conectan los seis pares de puntos. Dualmente , un cuadrilátero completo es un sistema de cuatro líneas, de las cuales ninguna de las tres pasa por el mismo punto, y los seis puntos de intersección de estas líneas. El cuadrilátero completo fue llamado tetrastigma por Lachlan (1893), y el cuadrilátero completo fue llamado tetragrama ; esos términos ocasionalmente todavía se usan. El cuadrilátero completo también ha sido llamado configuración de Pasch , especialmente en el contexto de los sistemas triples de Steiner . [1]
Las seis líneas de un cuadrángulo completo se juntan en pares para formar tres puntos adicionales llamados puntos diagonales del cuadrángulo. De manera similar, entre los seis puntos de un cuadrilátero completo hay tres pares de puntos que no están conectados por líneas; los segmentos de línea que conectan estos pares se llaman diagonales . Para los puntos y líneas en el plano euclidiano, los puntos diagonales no pueden estar en una sola línea, y las diagonales no pueden tener un solo punto de triple cruce. Debido al descubrimiento del plano de Fano , una geometría finita en la que los puntos diagonales de un cuadrángulo completo son colineales , algunos autores han aumentado los axiomas de la geometría proyectiva con el axioma de Fano de que los puntos diagonales no son colineales, [2] mientras que otros han sido menos restrictivos.
GB Halsted introdujo un conjunto de expresiones contraídas para las partes de un cuadrángulo completo : llama a los vértices del cuadrángulo puntos y a los puntos diagonales codotes . Las líneas del espacio proyectivo se llaman rectas y en el cuadrángulo conectores . Halsted llama a las "líneas diagonales" de Coxeter conectores opuestos . Los conectores opuestos se cruzan en un codote. La configuración del cuadrángulo completo es un tetrastimo . [3]
Como sistemas de puntos y líneas en los que todos los puntos pertenecen al mismo número de líneas y todas las líneas contienen el mismo número de puntos, el cuadrángulo completo y el cuadrilátero completo forman ambos configuraciones proyectivas ; en la notación de configuraciones proyectivas, el cuadrángulo completo se escribe como (4 3 6 2 ) y el cuadrilátero completo se escribe como (6 2 4 3 ), donde los números en esta notación se refieren a los números de puntos, líneas por punto, líneas y puntos por línea de la configuración. El dual proyectivo de un cuadrángulo completo es un cuadrilátero completo, y viceversa. Para dos cuadrángulos completos cualesquiera, o dos cuadriláteros completos cualesquiera, existe una única transformación proyectiva que lleva una de las dos configuraciones a la otra. [4]
Karl von Staudt reformó los fundamentos matemáticos en 1847 con el cuadrángulo completo cuando señaló que una "propiedad armónica" podría basarse en concomitantes del cuadrángulo: cuando cada par de lados opuestos del cuadrángulo se intersecan en una línea, entonces las diagonales intersecan la línea en posiciones conjugadas armónicas proyectivas . Los cuatro puntos en la línea que se derivan de los lados y diagonales del cuadrángulo se denominan rango armónico . A través de la perspectividad y la proyectividad, la propiedad armónica es estable. Los desarrollos de la geometría y el álgebra modernos notan la influencia de von Staudt en Mario Pieri y Felix Klein .
En el plano euclidiano , las cuatro líneas de un cuadrilátero completo no deben incluir ningún par de líneas paralelas, de modo que cada par de líneas tiene un punto de cruce.
Wells (1991) describe varias propiedades adicionales de los cuadriláteros completos que involucran propiedades métricas del plano euclidiano , en lugar de ser puramente proyectivas. Los puntos medios de las diagonales son colineales y (como demostró Isaac Newton ) también colineales con el centro de una cónica que es tangente a las cuatro líneas del cuadrilátero. Tres de las líneas del cuadrilátero forman los lados de un triángulo; los ortocentros de los cuatro triángulos formados de esta manera se encuentran en una segunda línea, perpendicular a la que pasa por los puntos medios. Los círculos circunscritos de estos mismos cuatro triángulos se encuentran en un punto. Además, los tres círculos que tienen las diagonales como diámetros pertenecen a un lápiz común de círculos [5] cuyo eje es la línea que pasa por los ortocentros.
Los círculos polares de los triángulos de un cuadrilátero completo forman un sistema coaxial . [6] : p. 179