En geometría , el círculo polar de un triángulo es el círculo cuyo centro es el ortocentro del triángulo y cuyo radio al cuadrado es
donde A, B, C denotan tanto los vértices del triángulo como las medidas de los ángulos en esos vértices; H es el ortocentro (la intersección de las altitudes del triángulo ); D, E, F son los pies de las altitudes desde los vértices A, B, C respectivamente; R es el circunradio del triángulo (el radio de su círculo circunscrito ); y a, b, c son las longitudes de los lados del triángulo opuestos a los vértices A, B, C respectivamente. [1] : pág. 176
Las primeras partes de la fórmula del radio reflejan el hecho de que el ortocentro divide las altitudes en pares de segmentos de productos iguales. La fórmula trigonométrica para el radio muestra que el círculo polar tiene existencia real sólo si el triángulo es obtuso , por lo que uno de sus ángulos es obtuso y por tanto tiene un coseno negativo .
Dos círculos polares cualesquiera de dos triángulos en un sistema ortocéntrico son ortogonales . [1] : pág. 177
Los círculos polares de los triángulos de un cuadrilátero completo forman un sistema coaxial . [1] : pág. 179
La circunferencia circunstante de un triángulo, su circunferencia de nueve puntos , su circunferencia polar y la circunferencia circunstante de su triángulo tangencial son coaxiales. [2] : pág. 241
![{\displaystyle \displaystyle {\begin{aligned}r^{2}&={\overline {HA}}\times {\overline {HD}}={\overline {HB}}\times {\overline {HE} }={\overline {HC}}\times {\overline {HF}}\\[4pt]&=-4R^{2}\cos A\cos B\cos C\\[4pt]&=4R^{ 2}-{\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/324e26fa5cbad3b3df49752b826167addcf416da)