Secuencia exacta de la cirugía

Herramienta para clasificar variedades dentro de un tipo de homotopía en dim > 4

En la teoría matemática de la cirugía, la secuencia exacta de cirugía es la principal herramienta técnica para calcular el conjunto de estructura de cirugía de una variedad compacta de dimensión . El conjunto de estructura de cirugía de una variedad compacta de dimensión . es un conjunto puntiagudo que clasifica las variedades de dimensión . dentro del tipo de homotopía de . ${\displaystyle >4}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}(X)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$

La idea básica es que para calcular es suficiente entender los otros términos de la secuencia, que son generalmente más fáciles de determinar. Estos son, por un lado, los invariantes normales que forman grupos de cohomología generalizada , y por lo tanto, se pueden usar herramientas estándar de topología algebraica para calcularlos, al menos en principio. Por otro lado, están los L-grupos que se definen algebraicamente en términos de formas cuadráticas o en términos de complejos de cadena con estructura cuadrática. Se sabe mucho sobre estos grupos. Otra parte de la secuencia son las aplicaciones de obstrucción quirúrgica de invariantes normales a los L-grupos. Para estas aplicaciones hay ciertas fórmulas de clases características , que permiten calcularlas en algunos casos. El conocimiento de estos tres componentes, es decir: las aplicaciones normales, los L-grupos y las aplicaciones de obstrucción quirúrgica es suficiente para determinar el conjunto de estructura (al menos hasta problemas de extensión). ${\displaystyle {\mathcal {S}}(X)}$

En la práctica, hay que proceder caso por caso, para cada variedad es una tarea única determinar la secuencia exacta de la operación, véanse algunos ejemplos a continuación. Observe también que existen versiones de la secuencia exacta de la operación según la categoría de variedades con las que trabajemos: lisas (DIFF), PL o topológicas y si tenemos en cuenta o no la torsión de Whitehead (decoraciones o ). ${\displaystyle {\mathcal {}}X}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle h}$

El trabajo original de 1962 de Browder y Novikov sobre la existencia y unicidad de variedades dentro de un tipo de homotopía simplemente conexa fue reformulado por Sullivan en 1966 como una secuencia exacta de cirugía . En 1970, Wall desarrolló la teoría de cirugía no simplemente conexa y la secuencia exacta de cirugía para variedades con grupo fundamental arbitrario .

Definición

La secuencia exacta de la cirugía se define como

${\displaystyle \cdots \to {\mathcal {N}}_{\partial }(X\times I)\to L_{n+1}(\pi _{1}(X))\to {\mathcal {S}}(X)\to {\mathcal {N}}(X)\to L_{n}(\pi _{1}(X))}$

dónde:

Las entradas y son los grupos abelianos de invariantes normales , ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\partial }(X\times I)}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(X)}$

Las entradas y son los grupos L asociados al anillo de grupo , ${\displaystyle {\mathcal {}}L_{n+1}(\pi _{1}(X))}$ ${\displaystyle {\mathcal {}}L_{n}(\pi _{1}(X))}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [\pi _{1}(X)]}$

Los mapas y son los mapas de obstrucción quirúrgica , ${\displaystyle \theta \colon {\mathcal {N}}_{\partial }(X\times I)\to L_{n+1}(\pi _{1}(X))}$ ${\displaystyle \theta \colon {\mathcal {N}}(X)\to L_{n}(\pi _{1}(X))}$

Las flechas y se explicarán a continuación. ${\displaystyle \partial \colon L_{n+1}(\pi _{1}(X))\to {\mathcal {S}}(X)}$ ${\displaystyle \eta \colon {\mathcal {S}}(X)\to {\mathcal {N}}(X)}$

Versiones

Existen varias versiones de la secuencia exacta de la cirugía. Se puede trabajar en cualquiera de las tres categorías de variedades: diferenciables (suaves), PL, topológicas. Otra posibilidad es trabajar con las decoraciones o . ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle h}$

Las entradas

Invariantes normales

Una función normal de grado uno consta de los siguientes datos: una variedad cerrada orientada en -dimensional , una función que es de grado uno (es decir ), y una función de fibrado desde el fibrado tangente estable de a algún fibrado sobre . Dos de estas funciones son equivalentes si existe un bordismo normal entre ellas (es decir, un bordismo de las fuentes cubiertas por datos de fibrado adecuados). Las clases de equivalencia de funciones normales de grado uno se denominan invariantes normales . ${\displaystyle (f,b)\colon M\to X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{*}([M])=[X]}$ ${\displaystyle b\colon TM\oplus \varepsilon ^{k}\to \xi }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle X}$

Cuando se definen de esta manera, los invariantes normales son simplemente un conjunto puntiagudo, con el punto base dado por . Sin embargo, la construcción de Pontrjagin-Thom da una estructura de un grupo abeliano. De hecho, tenemos una biyección no natural. ${\displaystyle {\mathcal {N}}(X)}$ ${\displaystyle (id,id)}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(X)}$

${\displaystyle {\mathcal {N}}(X)\cong [X,G/O]}$

donde denota la fibra de homotopía de la función , que es un espacio de bucle infinito y, por lo tanto, las funciones en él definen una teoría de cohomología generalizada. Existen identificaciones correspondientes de los invariantes normales con cuando se trabaja con variedades PL y con cuando se trabaja con variedades topológicas. ${\displaystyle G/O}$ ${\displaystyle J\colon BO\to BG}$ ${\displaystyle [X,G/PL]}$ ${\displaystyle [X,G/TOP]}$

Grupos L

Los grupos - se definen algebraicamente en términos de formas cuadráticas o en términos de complejos de cadena con estructura cuadrática. Consulte el artículo principal para obtener más detalles. Aquí solo serán importantes las propiedades de los grupos L que se describen a continuación. ${\displaystyle L}$

Mapas de obstrucciones quirúrgicas

El mapa es en primera instancia un mapa de teoría de conjuntos (es decir, no necesariamente un homomorfismo) con la siguiente propiedad (cuando : ${\displaystyle \theta \colon {\mathcal {N}}(X)\to L_{n}(\pi _{1}(X))}$ ${\displaystyle n\geq 5}$

Un mapa normal de grado uno normalmente es cobordante a una equivalencia de homotopía si y solo si la imagen en . ${\displaystyle (f,b)\colon M\to X}$ ${\displaystyle \theta (f,b)=0}$ ${\displaystyle L_{n}(\mathbb {Z} [\pi _{1}(X)])}$

La flecha de invariantes normales η : S ( X ) → N ( X ) {\displaystyle \eta \colon {\mathcal {S}}(X)\to {\mathcal {N}}(X)}

Cualquier equivalencia de homotopía define un mapa normal de grado uno. ${\displaystyle f\colon M\to X}$

La flecha de obstrucción quirúrgica ∂ : L n + 1 ( π 1 ( X ) ) → S ( X ) {\displaystyle \partial \colon L_{n+1}(\pi _{1}(X))\to {\mathcal {S}}(X)}

Esta flecha describe en realidad una acción del grupo sobre el conjunto, más que un simple mapa. La definición se basa en el teorema de realización de los elementos de los grupos, que dice lo siguiente: ${\displaystyle L_{n+1}(\pi _{1}(X))}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}(X)}$ ${\displaystyle L}$

Sea una variedad -dimensional con y sea . Entonces existe una función normal de grado uno de variedades con contorno ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \pi _{1}(M)\cong \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle x\in L_{n+1}(\pi _{1}(X))}$

${\displaystyle (F,B)\colon (W,M,M')\to (M\times I,M\times 0,M\times 1)}$

con las siguientes propiedades:

1. ${\displaystyle \theta (F,B)=x\in L_{n+1}(\pi _{1}(X))}$

2. es un difeomorfismo ${\displaystyle F_{0}\colon M\to M\times 0}$

3. es una equivalencia de homotopía de variedades cerradas ${\displaystyle F_{1}\colon M'\to M\times 1}$

Sea un elemento en y sea . Entonces se define como . ${\displaystyle f\colon M\to X}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}(X)}$ ${\displaystyle x\in L_{n+1}(\pi _{1}(X))}$ ${\displaystyle \partial (f,x)}$ ${\displaystyle f\circ F_{1}\colon M'\to X}$

La exactitud

Recordemos que el conjunto de estructuras quirúrgicas es solo un conjunto puntiagudo y que el mapa de obstrucciones quirúrgicas podría no ser un homomorfismo. Por lo tanto, es necesario explicar qué se entiende cuando se habla de "secuencia exacta". Por lo tanto, la secuencia exacta quirúrgica es una secuencia exacta en el siguiente sentido: ${\displaystyle \theta }$

Para un invariante normal tenemos si y solo si . Para dos estructuras de variedad tenemos si y solo si existe tal que . Para un elemento tenemos si y solo si . ${\displaystyle z\in {\mathcal {N}}(X)}$ ${\displaystyle z\in \mathrm {Im} (\eta )}$ ${\displaystyle \theta (z)=0}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in {\mathcal {S}}(X)}$ ${\displaystyle \eta (x_{1})=\eta (x_{2})}$ ${\displaystyle u\in L_{n+1}(\pi _{1}(X))}$ ${\displaystyle \partial (u,x_{1})=x_{2}}$ ${\displaystyle u\in L_{n+1}(\pi _{1}(X))}$ ${\displaystyle \partial (u,\mathrm {id} )=\mathrm {id} }$ ${\displaystyle u\in \mathrm {Im} (\theta )}$

Versiones revisadas

En la categoría topológica, el mapa de obstrucción de la cirugía se puede convertir en un homomorfismo. Esto se logra colocando una estructura de grupo abeliano alternativa sobre los invariantes normales, como se describe aquí . Además, la secuencia exacta de la cirugía se puede identificar con la secuencia exacta de la cirugía algebraica de Ranicki, que es una secuencia exacta de grupos abelianos por definición. Esto le da al conjunto de estructuras la estructura de un grupo abeliano. Sin embargo, cabe señalar que hasta la fecha no existe una descripción geométrica satisfactoria de esta estructura de grupo abeliano. ${\displaystyle {\mathcal {S}}(X)}$

Clasificación de variedades

La respuesta a las cuestiones organizativas de la teoría de la cirugía puede formularse en términos de la secuencia exacta de la cirugía. En ambos casos, la respuesta se da en forma de una teoría de obstrucción en dos etapas.

La cuestión de la existencia. Sea un complejo de Poincaré finito. Es homotópicamente equivalente a una variedad si y solo si se cumplen las dos condiciones siguientes. En primer lugar, debe tener una reducción de fibrado vectorial de su fibración normal de Spivak. Esta condición también se puede formular diciendo que el conjunto de invariantes normales no está vacío. En segundo lugar, debe haber un invariante normal tal que . Equivalentemente, la función de obstrucción quirúrgica alcanza . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(X)}$ ${\displaystyle x\in {\mathcal {N}}(X)}$ ${\displaystyle \theta (x)=0}$ ${\displaystyle \theta \colon {\mathcal {N}}(X)\rightarrow L_{n}(\pi _{1}(X))}$ ${\displaystyle 0\in L_{n}(\pi _{1}(X))}$

La cuestión de unicidad. Sean y representan dos elementos en el conjunto de estructura de cirugía . La cuestión de si representan el mismo elemento se puede responder en dos etapas de la siguiente manera. Primero debe haber un cobordismo normal entre las aplicaciones normales de grado uno inducidas por y , esto significa en . Denotemos el cobordismo normal . Si la obstrucción de cirugía en para hacer que este cobordismo normal sea un h-cobordismo (o s-cobordismo ) relativo al límite se desvanece, entonces y de hecho representan el mismo elemento en el conjunto de estructura de cirugía . ${\displaystyle f\colon M\to X}$ ${\displaystyle f'\colon M'\to X}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}(X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {}}f}$ ${\displaystyle {\mathcal {}}f'}$ ${\displaystyle {\mathcal {}}\eta (f)=\eta (f')}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(X)}$ ${\displaystyle (F,B)\colon (W,M,M')\to (X\times I,X\times 0,X\times 1)}$ ${\displaystyle {\mathcal {}}\theta (F,B)}$ ${\displaystyle {\mathcal {}}L_{n+1}(\pi _{1}(X))}$ ${\displaystyle {\mathcal {}}f}$ ${\displaystyle {\mathcal {}}f'}$

Cirugía de fibración de Quinn

En su tesis escrita bajo la dirección de Browder , Frank Quinn introdujo una secuencia de fibras de modo que la secuencia exacta más larga de la cirugía es la secuencia inducida en los grupos de homotopía. ^[1]

Ejemplos

1.Esferas de homotopía

Este es un ejemplo de la categoría suave . ${\displaystyle n\geq 5}$

La idea de la secuencia exacta de la cirugía está implícitamente presente ya en el artículo original de Kervaire y Milnor sobre los grupos de esferas de homotopía. En la terminología actual tenemos

${\displaystyle {\mathcal {S}}^{DIFF}(S^{n})=\Theta ^{n}}$

${\displaystyle {\mathcal {N}}^{DIFF}(S^{n})=\Omega _{n}^{alm}}$el grupo de cobordismo de variedades casi enmarcadas, ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\partial }^{DIFF}(S^{n}\times I)=\Omega _{n+1}^{alm}}$

${\displaystyle L_{n}(1)=\mathbb {Z} ,0,\mathbb {Z} _{2},0}$donde mod (recuerde la -periodicidad de los L-grupos ) ${\displaystyle n\equiv 0,1,2,3}$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle 4}$

La secuencia exacta de la cirugía en este caso es una secuencia exacta de grupos abelianos. Además de las identificaciones anteriores, tenemos

${\displaystyle bP^{n+1}=\mathrm {ker} (\eta \colon {\mathcal {S}}^{DIFF}(S^{n})\to {\mathcal {N}}^{DIFF}(S^{n}))=\mathrm {coker} (\theta \colon {\mathcal {N}}_{\partial }^{DIFF}(S^{n}\times I)\to L_{n+1}(1))}$

Como los grupos L de dimensión impar son triviales, se obtienen estas secuencias exactas:

${\displaystyle 0\to \Theta ^{4i}\to \Omega _{4i}^{alm}\to \mathbb {Z} \to bP^{4i}\to 0}$

${\displaystyle 0\to \Theta ^{4i-2}\to \Omega _{4i-2}^{alm}\to \mathbb {Z} /2\to bP^{4i-2}\to 0}$

${\displaystyle 0\to bP^{2j}\to \Theta ^{2j-1}\to \Omega _{2j-1}^{alm}\to 0}$

Los resultados de Kervaire y Milnor se obtienen estudiando el mapa medio en las dos primeras secuencias y relacionando los grupos con la teoría de homotopía estable. ${\displaystyle \Omega _{i}^{alm}}$

2. Esferas topológicas

La conjetura generalizada de Poincaré en dimensión se puede expresar diciendo que . Se ha demostrado para cualquier mediante el trabajo de Smale, Freedman y Perelman. De la secuencia exacta de cirugía para para en la categoría topológica vemos que ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{TOP}(S^{n})=0}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle n\geq 5}$

${\displaystyle \theta \colon {\mathcal {N}}^{TOP}(S^{n})\to L_{n}(1)}$

es un isomorfismo. (De hecho, esto se puede ampliar mediante algunos métodos ad hoc). ${\displaystyle n\geq 1}$

3. Complejoespacios proyectivosen la categoría topológica

El espacio proyectivo complejo es una variedad topológica de dimensión . Además, se sabe que en el caso de la categoría topológica, el mapa de obstrucción quirúrgica es siempre sobreyectivo. Por lo tanto, tenemos ${\displaystyle \mathbb {C} P^{n}}$ ${\displaystyle (2n)}$ ${\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {C} P^{n})=1}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)=1}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {S}}^{TOP}(\mathbb {C} P^{n})\to {\mathcal {N}}^{TOP}(\mathbb {C} P^{n})\to L_{2n}(1)\to 0}$

Del trabajo de Sullivan se puede calcular

${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mathbb {C} P^{n})\cong \oplus _{i=1}^{\lfloor n/2\rfloor }\mathbb {Z} \oplus \oplus _{i=1}^{\lfloor (n+1)/2\rfloor }\mathbb {Z} _{2}}$y por lo tanto ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {C} P^{n})\cong \oplus _{i=1}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }\mathbb {Z} \oplus \oplus _{i=1}^{\lfloor n/2\rfloor }\mathbb {Z} _{2}}$

4.AsféricoVariedades en la categoría topológica

Una variedad asférica -dimensional es una variedad -tal que para . Por lo tanto, el único grupo de homotopía no trivial es ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \pi _{i}(X)=0}$ ${\displaystyle i\geq 2}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$

Una forma de enunciar la conjetura de Borel es decir que para ello tenemos que el grupo de Whitehead es trivial y que ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Wh(\pi _{1}(X))}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}(X)=0}$

Esta conjetura fue probada en muchos casos especiales: por ejemplo, cuando es , cuando es el grupo fundamental de una variedad de curvatura negativa o cuando es un grupo hiperbólico de palabras o un grupo CAT(0). ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$

La afirmación equivale a demostrar que el mapa de obstrucción quirúrgica a la derecha del conjunto de estructura quirúrgica es inyectivo y que el mapa de obstrucción quirúrgica a la izquierda del conjunto de estructura quirúrgica es sobreyectivo. La mayoría de las demostraciones de los resultados mencionados anteriormente se realizan estudiando estos mapas o estudiando los mapas de ensamblaje con los que se pueden identificar. Ver más detalles en Conjetura de Borel , Conjetura de Farrell-Jones .

Referencias

1. Quinn, Frank (1971), Una formulación geométrica de la cirugía (PDF) , Topología de variedades, Proc. Univ. Georgia 1969, 500-511 (1971)

• Browder, William (1972), Cirugía en variedades simplemente conexas , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , MR  0358813
• Lück, Wolfgang (2002), Introducción básica a la teoría de la cirugía (PDF) , ICTP Lecture Notes Series 9, Band 1, de la escuela "High-dimensional manifold theory" en Trieste, mayo/junio de 2001, Abdus Salam International Centre for Theoretical Physics, Trieste 1-224
• Ranicki, Andrew (1992), Teoría L algebraica y variedades topológicas (PDF) , Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 102, Cambridge University Press
• Ranicki, Andrew (2002), Cirugía algebraica y geométrica (PDF) , Oxford Mathematical Monographs, Clarendon Press, ISBN 978-0-19-850924-0, Sr.  2061749
• Wall, CTC (1999), Cirugía en variedades compactas , Mathematical Surveys and Monographs, vol. 69 (2.ª ed.), Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-0942-6, Sr.  1687388