Grupo de convergencia

En matemáticas, un grupo de convergencia o un grupo de convergencia discreto es un grupo que actúa por homeomorfismos en un espacio metrizable compacto de manera que generaliza las propiedades de la acción del grupo kleiniano por transformaciones de Möbius en el límite ideal del 3-espacio hiperbólico . La noción de grupo de convergencia fue introducida por Gehring y Martin (1987) ^[1] y desde entonces ha encontrado amplias aplicaciones en topología geométrica , análisis cuasiconformal y teoría de grupos geométricos . ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{3}}$

Definición formal

Sea un grupo que actúa por homeomorfismos sobre un espacio metrizable compacto . Esta acción se denomina acción de convergencia o acción de convergencia discreta (y, por tanto, se denomina grupo de convergencia o grupo de convergencia discreto para esta acción) si para cada secuencia infinita distinta de elementos existe una subsecuencia y puntos tales que las funciones convergen uniformemente sobre subconjuntos compactos a la función constante que envía a . Aquí, converger uniformemente sobre subconjuntos compactos significa que para cada entorno abierto de en y cada compacto existe un índice tal que para cada . Nótese que no se requiere que los "polos" asociados con la subsecuencia sean distintos. ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \gamma _{n}\in \Gamma }$ ${\displaystyle \gamma _{n_{k}},k=1,2,\dots }$ ${\displaystyle a,b\in M}$ ${\displaystyle \gamma _{n_{k}}{\big |}_{M\setminus \{a\}}}$ ${\displaystyle M\setminus \{a\}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle K\subset M\setminus \{a\}}$ ${\displaystyle k_{0}\geq 1}$ ${\displaystyle k\geq k_{0},}$ ${\displaystyle \gamma _{n_{k}}(K)\subseteq U}$ ${\displaystyle a,b\in M}$ ${\displaystyle \gamma _{n_{k}}}$

Reformulación en términos de la acción sobre triples distintos

La definición anterior de grupo de convergencia admite una reformulación equivalente útil en términos de la acción de sobre el "espacio de ternas distintas" de . Para un conjunto denotemos , donde . El conjunto se denomina "espacio de ternas distintas" para . ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \Theta (M):=M^{3}\setminus \Delta (M)}$ ${\displaystyle \Delta (M)=\{(a,b,c)\in M^{3}\mid \#\{a,b,c\}\leq 2\}}$ ${\displaystyle \Theta (M)}$ ${\displaystyle M}$

Entonces se sabe que se cumple la siguiente equivalencia: ^[2]

Sea un grupo que actúa por homeomorfismos sobre un espacio metrizable compacto con al menos dos puntos. Entonces esta acción es una acción de convergencia discreta si y solo si la acción inducida de sobre es propiamente discontinua . ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Theta (M)}$

Ejemplos

• La acción de un grupo kleiniano sobre transformaciones de Möbius es una acción de grupo de convergencia. ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}=\partial \mathbb {H} ^{3}}$
• La acción de un grupo hiperbólico de palabras mediante traducciones en su límite ideal es una acción de grupo de convergencia. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \partial G}$
• La acción de un grupo relativamente hiperbólico por traslaciones en su límite de Bowditch es una acción de grupo de convergencia. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \partial G}$
• Sea un espacio métrico hiperbólico-geodésico propio de Gromov y sea un grupo que actúa propiamente de manera discontinua por isometrías en . Entonces la acción de contorno correspondiente de en es una acción de convergencia discreta (Lema 2.11 de ^[2] ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \partial X}$

Clasificación de elementos en grupos de convergencia

Sea un grupo que actúa por homeomorfismos en un espacio metrizable compacto con al menos tres puntos, y sea . Entonces se sabe (Lema 3.1 en ^[2] o Lema 6.2 en ^[3] ) que ocurre exactamente una de las siguientes situaciones: ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$

(1) El elemento tiene orden finito en ; en este caso se llama elíptico . ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$

(2) El elemento tiene orden infinito en y el conjunto fijo es un único punto; en este caso se llama parabólico . ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \operatorname {Fix} _{M}(\gamma )}$ ${\displaystyle \gamma }$

(3) El elemento tiene orden infinito en y el conjunto fijo consta de dos puntos distintos; en este caso se llama loxodrómico . ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \operatorname {Fix} _{M}(\gamma )}$ ${\displaystyle \gamma }$

Además, para cada uno de los elementos y tienen el mismo tipo. También en los casos (2) y (3) (donde ) y el grupo actúa propiamente de forma discontinua sobre . Además, si es loxodrómica, entonces actúa propiamente de forma discontinua y cocompacta sobre . ${\displaystyle p\neq 0}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma ^{p}}$ ${\displaystyle \operatorname {Fix} _{M}(\gamma )=\operatorname {Fix} _{M}(\gamma ^{p})}$ ${\displaystyle p\neq 0}$ ${\displaystyle \langle \gamma \rangle }$ ${\displaystyle M\setminus \operatorname {Fix} _{M}(\gamma )}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \langle \gamma \rangle }$ ${\displaystyle M\setminus \operatorname {Fix} _{M}(\gamma )}$

Si es parabólica con un punto fijo , entonces para cada uno tiene Si es loxodrómica, entonces se puede escribir como tal que para cada uno tiene y para cada uno tiene , y estas convergencias son uniformes en subconjuntos compactos de . ${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$ ${\displaystyle a\in M}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\gamma ^{n}x=\lim _{n\to -\infty }\gamma ^{n}x=a}$ ${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$ ${\displaystyle \operatorname {Fix} _{M}(\gamma )}$ ${\displaystyle \operatorname {Fix} _{M}(\gamma )=\{a_{-},a_{+}\}}$ ${\displaystyle x\in M\setminus \{a_{-}\}}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\gamma ^{n}x=a_{+}}$ ${\displaystyle x\in M\setminus \{a_{+}\}}$ ${\displaystyle \lim _{n\to -\infty }\gamma ^{n}x=a_{-}}$ ${\displaystyle M\setminus \{a_{-},a_{+}\}}$

Grupos de convergencia uniforme

Una acción de convergencia discreta de un grupo sobre un espacio metrizable compacto se denomina uniforme (en cuyo caso se denomina grupo de convergencia uniforme ) si la acción de sobre es co-compacta . Por lo tanto, es un grupo de convergencia uniforme si y solo si su acción sobre es propiamente discontinua y co-compacta. ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Theta (M)}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Theta (M)}$

Puntos límite cónicos

Sea un grupo de convergencia discreto sobre un espacio metrizable compacto . Un punto se denomina punto límite cónico (a veces también llamado punto límite radial o punto de aproximación ) si existe una sucesión infinita de elementos distintos y puntos distintos tales que y para cada uno tiene . ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle \gamma _{n}\in \Gamma }$ ${\displaystyle a,b\in M}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\gamma _{n}x=a}$ ${\displaystyle y\in M\setminus \{x\}}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\gamma _{n}y=b}$

Un resultado importante de Tukia , ^[4] también obtenido independientemente por Bowditch , ^{[2] [5]} establece:

Una acción de grupo de convergencia discreta de un grupo en un espacio metrizable compacto es uniforme si y sólo si cada punto no aislado de es un punto límite cónico. ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Grupos hiperbólicos de palabras y sus límites

^{Gromov [6]} ya había observado que la acción natural de las traslaciones de un grupo hiperbólico de palabras en su frontera es una acción de convergencia uniforme (véase ^[2] para una prueba formal). Bowditch ^[5] demostró un recíproco importante, obteniendo así una caracterización topológica de los grupos hiperbólicos de palabras: ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \partial G}$

Teorema. Sea α un grupo de convergencia uniforme discreto en un espacio metrizable compacto sin puntos aislados. Entonces el grupo es hiperbólico y existe un homeomorfismo -equivariante α . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M\to \partial G}$

Acciones de convergencia en el círculo

Una acción isométrica de un grupo en el plano hiperbólico se denomina geométrica si esta acción es propiamente discontinua y cocompacta. Toda acción geométrica de sobre induce una acción de convergencia uniforme de sobre . Un resultado importante de Tukia (1986), ^[7] Gabai (1992), ^[8] Casson–Jungreis (1994), ^[9] y Freden (1995) ^[10] muestra que la inversa también se cumple: ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{2}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{2}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}=\partial H^{2}\approx \partial G}$

Teorema. Si es un grupo que actúa como un grupo de convergencia uniforme discreto sobre entonces esta acción es topológicamente conjugada a una acción inducida por una acción geométrica de sobre por isometrías. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{2}}$

Nótese que siempre que actúa geométricamente sobre , el grupo es virtualmente un grupo de superficie hiperbólica, es decir, contiene un subgrupo de índice finito isomorfo al grupo fundamental de una superficie hiperbólica cerrada. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{2}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Acciones de convergencia en la 2-esfera

Una de las reformulaciones equivalentes de la conjetura de Cannon , originalmente planteada por James W. Cannon en términos de grupos hiperbólicos de palabras con límites homeomorfos a , ^[11] dice que si es un grupo que actúa como un grupo de convergencia uniforme discreto sobre entonces esta acción es topológicamente conjugada a una acción inducida por una acción geométrica de sobre por isometrías. Esta conjetura aún permanece abierta. ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{3}}$

Aplicaciones y generalizaciones posteriores

• Yaman dio una caracterización de grupos relativamente hiperbólicos en términos de acciones de convergencia, ^[12] generalizando la caracterización de Bowditch de los grupos hiperbólicos de palabras como grupos de convergencia uniformes.
• Se pueden considerar versiones más generales de acciones grupales con "propiedad de convergencia" sin el supuesto de discreción. ^[13]
• La versión más general de la noción de mapa de Cannon-Thurston , definida originalmente en el contexto de los grupos kleinianos y de palabras hiperbólicas, se puede definir y estudiar en el contexto del establecimiento de grupos de convergencia. ^[14]

Referencias

1. Gehring, FW; Martin, GJ (1987). "Grupos cuasiconformales discretos I". Actas de la London Mathematical Society . 55 (2): 331–358. doi :10.1093/plms/s3-55_2.331. hdl : 2027.42/135296 .
2. Bowditch, BH (1999). "Grupos de convergencia y espacios de configuración". Teoría geométrica de grupos en Australia (Canberra, 1996) . De Gruyter Proceedings in Mathematics. de Gruyter, Berlín. págs. 23–54. doi :10.1515/9783110806861.23. ISBN 9783110806861.
3. Bowditch, BH (1999). "Estructuras arborescentes que surgen de grupos continuos y de convergencia". Memorias de la American Mathematical Society . 139 (662). doi :10.1090/memo/0662.
4. Tukia, Pekka (1998). "Puntos límite cónicos y grupos de convergencia uniforme". Journal für die reine und angewandte Mathematik . 1998 (501): 71–98. doi :10.1515/crll.1998.081.
5. Bowditch, Brian H. (1998). "Una caracterización topológica de grupos hiperbólicos". Revista de la Sociedad Americana de Matemáticas . 11 (3): 643–667. doi : 10.1090/S0894-0347-98-00264-1 .
6. Gromov, Mikhail (1987). "Grupos hiperbólicos". En Gersten, Steve M. (ed.). Ensayos sobre teoría de grupos . Publicaciones del Instituto de Investigación de Ciencias Matemáticas. Vol. 8. Nueva York: Springer. págs. 75–263. doi : 10.1007/978-1-4613-9586-7_3 . ISBN . 0-387-96618-8.Sr .  0919829.
7. Tukia, Pekka (1986). "Sobre grupos cuasiconformes". Revista de Análisis Matemático . 46 : 318–346. doi :10.1007/BF02796595.
8. Gabai, Davis (1992). "Los grupos de convergencia son grupos fuchsianos". Anales de Matemáticas . Segunda serie. 136 (3): 447–510. doi :10.2307/2946597. JSTOR  2946597.
9. Casson, Andrew; Jungreis, Douglas (1994). "Grupos de convergencia y variedades 3-fibradas de Seifert". Inventiones Mathematicae . 118 (3): 441–456. Bibcode :1994InMat.118..441C. doi :10.1007/BF01231540.
10. Freden, Eric M. (1995). «Los grupos con curvatura negativa tienen la propiedad de convergencia I» (PDF) . Annales Academiae Scientiarum Fennicae . Serie A. 20 (2): 333–348 . Consultado el 12 de septiembre de 2022 .
11. Cannon, James W. (1991). "La teoría de los espacios y grupos de curvatura negativa" (PDF) . Teoría ergódica, dinámica simbólica y espacios hiperbólicos (Trieste, 1989) . Oxford Sci. Publ., Oxford Univ. Press, Nueva York. pp. 315–369 . Consultado el 12 de septiembre de 2022 .
12. Yaman, Asli (2004). "Una caracterización topológica de grupos relativamente hiperbólicos". Journal für die reine und angewandte Mathematik . 2004 (566): 41–89. doi :10.1515/crll.2004.007.
13. Gerasimov, Victor (2009). "Los grupos de convergencia expansivos son relativamente hiperbólicos". Análisis geométrico y funcional . 19 (1): 137–169. doi :10.1007/s00039-009-0718-7.
14. Jeon, Woojin; Kapovich, Ilya ; Leininger, Christopher; Ohshika, Ken'ichi (2016). "Puntos límite cónicos y el mapa de Cannon-Thurston". Geometría conforme y dinámica . 20 (4): 58–80. arXiv : 1401.2638 . doi : 10.1090/ecgd/294 .