Grupo relativamente hiperbólico

En matemáticas , el concepto de grupo relativamente hiperbólico es una generalización importante del concepto de grupo hiperbólico de la teoría de grupos geométricos . Los ejemplos motivadores de grupos relativamente hiperbólicos son los grupos fundamentales de variedades hiperbólicas completas no compactas de volumen finito.

Definición intuitiva

Un grupo G es relativamente hiperbólico con respecto a un subgrupo H si, después de contraer el gráfico de Cayley de G a lo largo de H - clases laterales , el gráfico resultante equipado con la métrica gráfica habitual se convierte en un espacio δ-hiperbólico y, además, satisface una condición técnica. lo que implica que las cuasigeodésicas con puntos finales comunes viajan a través de aproximadamente la misma colección de clases laterales y entran y salen de estas clases laterales aproximadamente en el mismo lugar.

Definición formal

Dado un grupo G generado finitamente con un gráfico de Cayley Γ ( G ) equipado con la métrica de trayectoria y un subgrupo H de G , se puede construir el gráfico cónico de Cayley de la siguiente manera: Para cada clase lateral izquierda gH , agregue un vértice v ( gH ) a el gráfico de Cayley Γ ( G ) y para cada elemento x de gH , agregue una arista e ( x ) de longitud 1/2 desde x hasta el vértice v ( gH ). Esto da como resultado un espacio métrico que puede no ser el adecuado (es decir, las bolas cerradas no necesitan ser compactas). ${\displaystyle {\hat {\Gamma }}(G,H)}$

La definición de grupo relativamente hiperbólico, tal como la formula Bowditch, es la siguiente. Se dice que un grupo G es hiperbólico en relación con un subgrupo H si el gráfico cónico de Cayley tiene las propiedades: ${\displaystyle {\hat {\Gamma }}(G,H)}$

• Es δ-hiperbólico y
• está bien : para cada número entero L, cada arista pertenece a un número finito de ciclos simples de longitud L.

Si sólo se cumple la primera condición, entonces se dice que el grupo G es relativamente hiperbólico débilmente con respecto a H.

La definición del gráfico cónico de Cayley se puede generalizar al caso de una colección de subgrupos y produce la noción correspondiente de hiperbolicidad relativa. Un grupo G que no contiene una colección de subgrupos con respecto a los cuales es relativamente hiperbólico se dice que es un grupo no relativamente hiperbólico.

Propiedades

• Si un grupo G es relativamente hiperbólico con respecto a un grupo hiperbólico H , entonces G mismo es hiperbólico.

• Si un grupo G es relativamente hiperbólico con respecto a un grupo H, entonces actúa como un grupo de convergencia geométricamente finito en un espacio compacto, su límite de Bowditch

• Si un grupo G es relativamente hiperbólico con respecto a un grupo H que tiene un problema verbal resoluble , entonces G tiene un problema verbal resoluble (Farb), y si H tiene un problema de conjugación resoluble , entonces G tiene un problema de conjugación resoluble (Bumagin)

• Si un grupo G es relativamente hiperbólico libre de torsión con respecto a un grupo H , y H tiene un espacio de clasificación finito , entonces también lo tiene G (Dahmani)

• Si un grupo G es relativamente hiperbólico con respecto a un grupo H que satisface la conjetura de Farrell-Jones , entonces G satisface la conjetura de Farrell-jones (Bartels).

• De manera más general, en muchos casos (pero no en todos, y no de manera fácil o sistemática), se puede sospechar que una propiedad satisfecha por todos los grupos hiperbólicos y por H se satisface por G

• El problema del isomorfismo para grupos relativamente hiperbólicos prácticamente libres de torsión cuando los subgrupos periféricos son nilpotentes generados finitamente (Dahmani, Touikan)

Ejemplos

• Cualquier grupo hiperbólico , como un grupo libre de rango finito o el grupo fundamental de una superficie hiperbólica, es hiperbólico en relación con el subgrupo trivial.
• El grupo fundamental de una variedad hiperbólica completa de volumen finito es hiperbólico en relación con su subgrupo de cúspides. Un resultado similar es válido para cualquier variedad de Riemann de volumen finito completa con curvatura seccional negativa pellizcada .
• El grupo abeliano libre Z ² de rango 2 es débilmente hiperbólico, pero no hiperbólico, en relación con el subgrupo cíclico Z : aunque la gráfica es hiperbólica, no está bien. ${\displaystyle {\hat {\Gamma }}(\mathbb {Z} ^{2},\mathbb {Z} )}$
• El producto libre de un grupo H con cualquier grupo hiperbólico, es relativamente hiperbólico, respecto a H
• Los grupos límite que aparecen como límites de grupos libres son relativamente hiperbólicos, en relación con algunos subgrupos abelianos libres.
• El producto semidirecto de un grupo libre por un grupo cíclico infinito es relativamente hiperbólico, en relación con algunos subgrupos canónicos.
• Los teoremas de combinación y las técnicas de pequeña cancelación permiten construir nuevos ejemplos a partir de los anteriores.
• El grupo de clases de mapeo de una superficie de tipo finito orientable es hiperbólico (cuando 3 g + n <5, donde g es el género y n es el número de pinchazos) o no es relativamente hiperbólico con respecto a ningún subgrupo.
• El grupo de automorfismo y el grupo de automorfismo externo de un grupo libre de rango finito al menos 3 no son relativamente hiperbólicos.

Referencias

• Mikhail Gromov , Grupos hiperbólicos , Ensayos sobre teoría de grupos, Matemáticas. Ciencia. Res. Inst. Publ., 8, 75-263, Springer, Nueva York, 1987.
• Denis Osin , Grupos relativamente hiperbólicos: geometría intrínseca, propiedades algebraicas y problemas algorítmicos, arXiv:math/0404040v1 (math.GR), abril de 2004.
• Benson Farb, Grupos relativamente hiperbólicos , Geom. Función. Anal. 8 (1998), 810–840.
• Jason Behrstock , Cornelia Druţu , Lee Mosher, Espacios métricos gruesos, hiperbolicidad relativa y rigidez cuasi isométrica, arXiv:math/0512592v5 (math.GT), diciembre de 2005.
• Daniel Groves y Jason Fox Manning, Dehn completando grupos relativamente hiperbólicos, arXiv:math/0601311v4 [math.GR], enero de 2007.