Brian Hayward Bowditch (nacido en 1961 [1] ) es un matemático británico conocido por sus contribuciones a la geometría y la topología , particularmente en las áreas de teoría de grupos geométricos y topología de baja dimensión . También es conocido por resolver [2] el problema del ángel . Bowditch tiene un nombramiento como profesor titular de Matemáticas en la Universidad de Warwick .
Brian Bowditch nació en 1961 en Neath , Gales. Obtuvo una licenciatura en la Universidad de Cambridge en 1983. [1] Posteriormente realizó estudios de doctorado en Matemáticas en la Universidad de Warwick bajo la supervisión de David Epstein , donde recibió un doctorado en 1988. [3] Bowditch luego tuvo puestos postdoctorales y de visita en el Instituto de Estudios Avanzados en Princeton , Nueva Jersey , la Universidad de Warwick, el Institut des Hautes Études Scientifiques en Bures-sur-Yvette , la Universidad de Melbourne y la Universidad de Aberdeen . [1] En 1992 recibió un nombramiento en la Universidad de Southampton , donde permaneció hasta 2007. En 2007 Bowditch se trasladó a la Universidad de Warwick, donde recibió un nombramiento de profesor titular en Matemáticas.
Bowditch recibió el premio Whitehead de la London Mathematical Society en 1997 por su trabajo en teoría de grupos geométricos y topología geométrica . [4] [5] Dio un discurso invitado en el Congreso Europeo de Matemáticas de 2004 en Estocolmo. [6] Bowditch es un ex miembro del Consejo Editorial de la revista Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse [7] y ex Asesor Editorial de la London Mathematical Society . [8]
Los primeros resultados notables de Bowditch incluyen la clarificación de la noción clásica de finitud geométrica para grupos kleinianos de dimensiones superiores en curvatura negativa constante y variable. En un artículo de 1993 [9] Bowditch demostró que cinco caracterizaciones estándar de finitud geométrica para grupos discretos de isometrías de 3-espacios hiperbólicos y planos hiperbólicos (incluida la definición en términos de tener un poliedro fundamental de lados finitos) siguen siendo equivalentes para grupos de isometrías de n -espacios hiperbólicos donde n ≥ 4. Demostró, sin embargo, que en dimensiones n ≥ 4 la condición de tener un dominio de Dirichlet de lados finitos ya no es equivalente a las nociones estándar de finitud geométrica. En un artículo posterior [10] Bowditch consideró un problema similar para grupos discretos de isometrías de la variedad de Hadamard de curvatura negativa pinzada (pero no necesariamente constante) y de dimensión arbitraria n ≥ 2. Demostró que cuatro de las cinco definiciones equivalentes de finitud geométrica consideradas en su artículo anterior siguen siendo equivalentes en esta configuración general, pero la condición de tener un poliedro fundamental de lados finitos ya no es equivalente a ellas.
Gran parte del trabajo de Bowditch en la década de 1990 se centró en el estudio de los límites en el infinito de los grupos hiperbólicos de palabras . Demostró la conjetura del punto de corte que dice que el límite de un grupo hiperbólico de palabras de un extremo no tiene ningún punto de corte global. Bowditch demostró por primera vez esta conjetura en los casos principales de un grupo hiperbólico de un extremo que no se divide en un subgrupo de dos extremos [11] (es decir, un subgrupo que contiene un subgrupo cíclico infinito de índice finito ) y también para grupos hiperbólicos de un extremo que son "fuertemente accesibles". [12] El caso general de la conjetura fue terminado poco después por G. Ananda Swarup [13], quien caracterizó el trabajo de Bowditch de la siguiente manera: "Los avances más significativos en esta dirección fueron llevados a cabo por Brian Bowditch en una brillante serie de artículos ([4]-[7]). Nos basamos en gran medida en su trabajo". Poco después del artículo de Swarup, Bowditch proporcionó una prueba alternativa de la conjetura del punto de corte en el caso general. [14] El trabajo de Bowditch se basó en extraer varias estructuras discretas similares a árboles a partir de la acción de un grupo hiperbólico de palabras en su límite.
Bowditch también demostró que (módulo unas pocas excepciones) el límite de un grupo hiperbólico de palabras de un solo extremo G tiene puntos de corte locales si y solo si G admite una división esencial, como un producto libre amalgamado o una extensión HNN , sobre un grupo cíclico virtualmente infinito. Esto le permitió a Bowditch producir [15] una teoría de descomposición JSJ para grupos hiperbólicos de palabras que era más canónica y más general (particularmente porque cubría grupos con torsión no trivial) que la teoría de descomposición JSJ original de Zlil Sela . [16] Una de las consecuencias del trabajo de Bowditch es que para los grupos hiperbólicos de palabras de un solo extremo (con unas pocas excepciones) tener una división esencial no trivial sobre un subgrupo virtualmente cíclico es un invariante cuasi-isométrico .
Bowditch también dio una caracterización topológica de los grupos hiperbólicos de palabras, resolviendo así una conjetura propuesta por Mikhail Gromov . Es decir, Bowditch demostró [17] que un grupo G es hiperbólico de palabras si y sólo si G admite una acción por homeomorfismos sobre un compactum metrisable perfecto M como un "grupo de convergencia uniforme", es decir, tal que la acción diagonal de G sobre el conjunto de ternas distintas de M es propiamente discontinua y co-compacta; además, en ese caso M es G -equivariantemente homeomorfo al límite ∂ G de G. Más tarde, basándose en este trabajo, el estudiante de doctorado de Bowditch, Yaman, dio una caracterización topológica de los grupos relativamente hiperbólicos . [18]
Gran parte del trabajo de Bowditch en la década de 2000 se refiere al estudio del complejo de curvas , con varias aplicaciones a 3-variedades , grupos de clases de mapeo y grupos kleinianos . El complejo de curvas C ( S ) de una superficie de tipo finito S , introducido por Harvey a fines de la década de 1970, [19] tiene el conjunto de clases de homotopía libre de curvas cerradas simples esenciales en S como el conjunto de vértices, donde varios vértices distintos abarcan un símplex si las curvas correspondientes se pueden realizar de manera disjunta. El complejo de curvas resultó ser una herramienta fundamental en el estudio de la geometría del espacio de Teichmüller , de los grupos de clases de mapeo y de los grupos kleinianos . En un artículo de 1999 [20] Howard Masur y Yair Minsky demostraron que para una superficie orientable de tipo finito S el complejo de curvas C ( S ) es hiperbólico de Gromov . Este resultado fue un componente clave en la prueba posterior de la conjetura de laminación final de Thurston , una solución que se basó en el trabajo combinado de Yair Minsky, Howard Masur, Jeffrey Brock y Richard Canary . [21] En 2006, Bowditch dio otra prueba [22] de hiperbolicidad del complejo de curvas. La prueba de Bowditch es más combinatoria y bastante diferente del argumento original de Masur-Minsky. El resultado de Bowditch también proporciona una estimación de la constante de hiperbolicidad del complejo de curvas que es logarítmica en complejidad de la superficie y también da una descripción de las geodésicas en el complejo de curvas en términos de los números de intersección. Un artículo posterior de 2008 de Bowditch [23] impulsó estas ideas más allá y obtuvo nuevos resultados de finitud cuantitativa con respecto a las llamadas "geodésicas ajustadas" en el complejo de curvas, una noción introducida por Masur y Minsky para combatir el hecho de que el complejo de curvas no es localmente finito. Como aplicación, Bowditch demostró que, con unas pocas excepciones de superficies de pequeña complejidad, la acción del grupo de clases de mapeo Mod( S ) sobre C ( S ) es "acilíndrica" y que las longitudes de traducción asintótica de los elementos pseudo-Anosov de Mod( S ) sobre C ( S ) son números racionales con denominadores acotados.
En un artículo de 2007 de Bowditch [2] se presenta una solución positiva del problema del ángel de John Conway : [24] Bowditch demostró [2] que un 4-ángel tiene una estrategia ganadora y puede evadir al diablo en el "juego del ángel". András Máthé [25] y Oddvar Kloster presentaron soluciones independientes al problema del ángel aproximadamente al mismo tiempo . [26]